Theorem imcj 10852

Description: Imaginary part of a complex conjugate. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imcj	|- ( A e. CC -> ( Im ` ( * ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )

Proof of Theorem imcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 10830	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2	1	recnd 7960	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3		ax-icn 7881	. . . . . 6 |- _i e. CC
4		imcl 10831	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5	4	recnd 7960	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6		mulcl 7913	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7	3, 5, 6	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8	2, 7	negsubd 8248	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
9		mulneg2 8327	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
10	3, 5, 9	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
11	10	oveq2d 5881	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
12		remim 10837	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
13	8, 11, 12	3eqtr4rd 2219	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) )
14	13	fveq2d 5511	. 2 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( * ` A ) ) = ( Im ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) )
15	4	renegcld 8311	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
16		crim 10835	. . 3 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ -u ( Im ` A ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
17	1, 15, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
18	14, 17	eqtrd 2208	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( * ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2146   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   _ici 7788   + caddc 7789   x. cmul 7791   - cmin 8102   -ucneg 8103   *ccj 10816   Recre 10817   Imcim 10818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-2 8951  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821

This theorem is referenced by:  cjcj  10860  ipcnval  10863  imcji  10897  imcjd  10927