Theorem imcj 10919

Description: Imaginary part of a complex conjugate. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imcj	|- ( A e. CC -> ( Im ` ( * ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )

Proof of Theorem imcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 10897	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2	1	recnd 8017	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3		ax-icn 7937	. . . . . 6 |- _i e. CC
4		imcl 10898	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5	4	recnd 8017	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6		mulcl 7969	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7	3, 5, 6	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8	2, 7	negsubd 8305	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
9		mulneg2 8384	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
10	3, 5, 9	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
11	10	oveq2d 5913	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
12		remim 10904	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
13	8, 11, 12	3eqtr4rd 2233	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) )
14	13	fveq2d 5538	. 2 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( * ` A ) ) = ( Im ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) )
15	4	renegcld 8368	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
16		crim 10902	. . 3 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ -u ( Im ` A ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
17	1, 15, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
18	14, 17	eqtrd 2222	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( * ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   _ici 7844   + caddc 7845   x. cmul 7847   - cmin 8159   -ucneg 8160   *ccj 10883   Recre 10884   Imcim 10885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-2 9009  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888

This theorem is referenced by:  cjcj  10927  ipcnval  10930  imcji  10964  imcjd  10994