Theorem ipsaddgd 12928

Description: The additive operation of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipsstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
ipsstrd.r	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
ipsstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
ipsstrd.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
ipsstrd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ipsaddgd	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐴))

Proof of Theorem ipsaddgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgslid 12863	. 2 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
2		ipspart.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
3		ipsstrd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ipsstrd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		ipsstrd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
6		ipsstrd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
7		ipsstrd.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
8		ipsstrd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 12926	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)
10	1	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
11		opexg 4271	. . . . 5 ⊢ (((+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
12	10, 4, 11	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
13		tpid2g 3746	. . . 4 ⊢ (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩})
14		elun1 3339	. . . 4 ⊢ (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
15	12, 13, 14	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
16	15, 2	eleqtrrdi 2298	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐴)
17	1, 9, 4, 16	opelstrsl 12865	1 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ∪ cun 3163  {ctp 3634  ⟨cop 3635  ‘cfv 5268  1c1 7908  ℕcn 9018  8c8 9075  ndxcnx 12748  Slot cslot 12750  Basecbs 12751  +_gcplusg 12828  ._rcmulr 12829  Scalarcsca 12831   ·_𝑠 cvsca 12832  ·_𝑖cip 12833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-fz 10113  df-struct 12753  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-sca 12844  df-vsca 12845  df-ip 12846

This theorem is referenced by: (None)