Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ipsmulrd GIF version

Theorem ipsmulrd 11787
 Description: The multiplicative operation of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ipspart.a 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b (𝜑𝐵𝑉)
ipsstrd.p (𝜑+𝑊)
ipsstrd.r (𝜑×𝑋)
ipsstrd.s (𝜑𝑆𝑌)
ipsstrd.x (𝜑·𝑄)
ipsstrd.i (𝜑𝐼𝑍)
Assertion
Ref Expression
ipsmulrd (𝜑× = (.r𝐴))

Proof of Theorem ipsmulrd
StepHypRef Expression
1 mulrslid 11755 . 2 (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2 ipspart.a . . 3 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
3 ipsstrd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 ipsstrd.p . . 3 (𝜑+𝑊)
5 ipsstrd.r . . 3 (𝜑×𝑋)
6 ipsstrd.s . . 3 (𝜑𝑆𝑌)
7 ipsstrd.x . . 3 (𝜑·𝑄)
8 ipsstrd.i . . 3 (𝜑𝐼𝑍)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ipsstrd 11784 . 2 (𝜑𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)
101simpri 112 . . . . 5 (.r‘ndx) ∈ ℕ
11 opexg 4079 . . . . 5 (((.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ ×𝑋) → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ V)
1210, 5, 11sylancr 406 . . . 4 (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ V)
13 tpid3g 3577 . . . 4 (⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ V → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩})
14 elun1 3182 . . . 4 (⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
1512, 13, 143syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
1615, 2syl6eleqr 2188 . 2 (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ 𝐴)
171, 9, 5, 16opelstrsl 11739 1 (𝜑× = (.r𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633   ∪ cun 3011  {ctp 3468  ⟨cop 3469  ‘cfv 5049  1c1 7448  ℕcn 8520  8c8 8577  ndxcnx 11640  Slot cslot 11642  Basecbs 11643  +gcplusg 11705  .rcmulr 11706  Scalarcsca 11708   ·𝑠 cvsca 11709  ·𝑖cip 11710 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-tp 3474  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-5 8582  df-6 8583  df-7 8584  df-8 8585  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-struct 11645  df-ndx 11646  df-slot 11647  df-base 11649  df-plusg 11718  df-mulr 11719  df-sca 11721  df-vsca 11722  df-ip 11723 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator