ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ipsmulrd GIF version

Theorem ipsmulrd 12601
Description: The multiplicative operation of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ipspart.a 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b (𝜑𝐵𝑉)
ipsstrd.p (𝜑+𝑊)
ipsstrd.r (𝜑×𝑋)
ipsstrd.s (𝜑𝑆𝑌)
ipsstrd.x (𝜑·𝑄)
ipsstrd.i (𝜑𝐼𝑍)
Assertion
Ref Expression
ipsmulrd (𝜑× = (.r𝐴))

Proof of Theorem ipsmulrd
StepHypRef Expression
1 mulrslid 12566 . 2 (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2 ipspart.a . . 3 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
3 ipsstrd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 ipsstrd.p . . 3 (𝜑+𝑊)
5 ipsstrd.r . . 3 (𝜑×𝑋)
6 ipsstrd.s . . 3 (𝜑𝑆𝑌)
7 ipsstrd.x . . 3 (𝜑·𝑄)
8 ipsstrd.i . . 3 (𝜑𝐼𝑍)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ipsstrd 12598 . 2 (𝜑𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)
101simpri 113 . . . . 5 (.r‘ndx) ∈ ℕ
11 opexg 4225 . . . . 5 (((.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ ×𝑋) → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ V)
1210, 5, 11sylancr 414 . . . 4 (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ V)
13 tpid3g 3706 . . . 4 (⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ V → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩})
14 elun1 3302 . . . 4 (⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
1512, 13, 143syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
1615, 2eleqtrrdi 2271 . 2 (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ 𝐴)
171, 9, 5, 16opelstrsl 12549 1 (𝜑× = (.r𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  cun 3127  {ctp 3593  cop 3594  cfv 5212  1c1 7800  cn 8905  8c8 8962  ndxcnx 12439  Slot cslot 12441  Basecbs 12442  +gcplusg 12515  .rcmulr 12516  Scalarcsca 12518   ·𝑠 cvsca 12519  ·𝑖cip 12520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-tp 3599  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-5 8967  df-6 8968  df-7 8969  df-8 8970  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-fz 9993  df-struct 12444  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448  df-plusg 12528  df-mulr 12529  df-sca 12531  df-vsca 12532  df-ip 12533
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator