Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ipsmulrd GIF version

Theorem ipsmulrd 12117
 Description: The multiplicative operation of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ipspart.a 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b (𝜑𝐵𝑉)
ipsstrd.p (𝜑+𝑊)
ipsstrd.r (𝜑×𝑋)
ipsstrd.s (𝜑𝑆𝑌)
ipsstrd.x (𝜑·𝑄)
ipsstrd.i (𝜑𝐼𝑍)
Assertion
Ref Expression
ipsmulrd (𝜑× = (.r𝐴))

Proof of Theorem ipsmulrd
StepHypRef Expression
1 mulrslid 12085 . 2 (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2 ipspart.a . . 3 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
3 ipsstrd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 ipsstrd.p . . 3 (𝜑+𝑊)
5 ipsstrd.r . . 3 (𝜑×𝑋)
6 ipsstrd.s . . 3 (𝜑𝑆𝑌)
7 ipsstrd.x . . 3 (𝜑·𝑄)
8 ipsstrd.i . . 3 (𝜑𝐼𝑍)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ipsstrd 12114 . 2 (𝜑𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)
101simpri 112 . . . . 5 (.r‘ndx) ∈ ℕ
11 opexg 4150 . . . . 5 (((.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ ×𝑋) → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ V)
1210, 5, 11sylancr 410 . . . 4 (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ V)
13 tpid3g 3638 . . . 4 (⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ V → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩})
14 elun1 3243 . . . 4 (⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
1512, 13, 143syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
1615, 2eleqtrrdi 2233 . 2 (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), × ⟩ ∈ 𝐴)
171, 9, 5, 16opelstrsl 12069 1 (𝜑× = (.r𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ∪ cun 3069  {ctp 3529  ⟨cop 3530  ‘cfv 5123  1c1 7633  ℕcn 8732  8c8 8789  ndxcnx 11970  Slot cslot 11972  Basecbs 11973  +gcplusg 12035  .rcmulr 12036  Scalarcsca 12038   ·𝑠 cvsca 12039  ·𝑖cip 12040 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-5 8794  df-6 8795  df-7 8796  df-8 8797  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-struct 11975  df-ndx 11976  df-slot 11977  df-base 11979  df-plusg 12048  df-mulr 12049  df-sca 12051  df-vsca 12052  df-ip 12053 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator