Theorem ipsscad 12641

Description: The set of scalars of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipsstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
ipsstrd.r	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
ipsstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
ipsstrd.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
ipsstrd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ipsscad	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘𝐴))

Proof of Theorem ipsscad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 12614	. 2 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
2		ipspart.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
3		ipsstrd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ipsstrd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		ipsstrd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
6		ipsstrd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
7		ipsstrd.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
8		ipsstrd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 12637	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)
10	1	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
11		opexg 4230	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → ⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ V)
12	10, 6, 11	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ V)
13		tpid1g 3706	. . . 4 ⊢ (⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ V → ⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
14		elun2 3305	. . . 4 ⊢ (⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} → ⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
15	12, 13, 14	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
16	15, 2	eleqtrrdi 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ 𝐴)
17	1, 9, 6, 16	opelstrsl 12576	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ∪ cun 3129  {ctp 3596  ⟨cop 3597  ‘cfv 5218  1c1 7815  ℕcn 8922  8c8 8979  ndxcnx 12462  Slot cslot 12464  Basecbs 12465  +_gcplusg 12539  ._rcmulr 12540  Scalarcsca 12542   ·_𝑠 cvsca 12543  ·_𝑖cip 12544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012  df-struct 12467  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-sca 12555  df-vsca 12556  df-ip 12557

This theorem is referenced by: (None)