Theorem ipsscad 13393

Description: The set of scalars of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipsstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
ipsstrd.r	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
ipsstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
ipsstrd.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
ipsstrd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ipsscad	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘𝐴))

Proof of Theorem ipsscad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 13366	. 2 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
2		ipspart.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
3		ipsstrd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ipsstrd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		ipsstrd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
6		ipsstrd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
7		ipsstrd.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
8		ipsstrd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 13389	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)
10	1	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
11		opexg 4344	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → ⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ V)
12	10, 6, 11	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ V)
13		tpid1g 3804	. . . 4 ⊢ (⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ V → ⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
14		elun2 3387	. . . 4 ⊢ (⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} → ⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
15	12, 13, 14	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
16	15, 2	eleqtrrdi 2326	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩ ∈ 𝐴)
17	1, 9, 6, 16	opelstrsl 13327	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ∪ cun 3209  {ctp 3691  ⟨cop 3692  ‘cfv 5352  1c1 8128  ℕcn 9237  8c8 9294  ndxcnx 13209  Slot cslot 13211  Basecbs 13212  +_gcplusg 13290  ._rcmulr 13291  Scalarcsca 13293   ·_𝑠 cvsca 13294  ·_𝑖cip 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-struct 13214  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-ip 13308

This theorem is referenced by: (None)