ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iap0 Unicode version

Theorem iap0 9061
Description: The imaginary unit  _i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
iap0  |-  _i #  0

Proof of Theorem iap0
StepHypRef Expression
1 1ap0 8469 . . . 4  |-  1 #  0
21olci 722 . . 3  |-  ( 0 #  0  \/  1 #  0 )
3 0re 7880 . . . 4  |-  0  e.  RR
4 1re 7879 . . . 4  |-  1  e.  RR
5 apreim 8482 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( 0  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )  -> 
( ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  <->  ( 0 #  0  \/  1 #  0 ) ) )
63, 4, 3, 3, 5mp4an 424 . . 3  |-  ( ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  <->  ( 0 #  0  \/  1 #  0 ) )
72, 6mpbir 145 . 2  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )
8 ax-icn 7829 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
98mulid1i 7882 . . . 4  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
109oveq2i 5837 . . 3  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) )  =  ( 0  +  _i )
118addid2i 8022 . . 3  |-  ( 0  +  _i )  =  _i
1210, 11eqtri 2178 . 2  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) )  =  _i
13 it0e0 9059 . . . 4  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
1413oveq2i 5837 . . 3  |-  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  =  ( 0  +  0 )
15 00id 8020 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1614, 15eqtri 2178 . 2  |-  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  =  0
177, 12, 163brtr3i 3995 1  |-  _i #  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    \/ wo 698    e. wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   RRcr 7733   0cc0 7734   1c1 7735   _ici 7736    + caddc 7737    x. cmul 7739   # cap 8460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-ltxr 7919  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461
This theorem is referenced by:  2muliap0  9062  irec  10527  iexpcyc  10532  imval  10761  imre  10762  reim  10763  crim  10769  cjreb  10777  tanval2ap  11621  tanval3ap  11622  efival  11640
  Copyright terms: Public domain W3C validator