Theorem iap0 8700

Description: The imaginary unit _i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	|- _i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8128	. . . 4 |- 1 # 0
2	1	olci 687	. . 3 |- ( 0 # 0 \/ 1 # 0 )
3		0re 7549	. . . 4 |- 0 e. RR
4		1re 7548	. . . 4 |- 1 e. RR
5		apreim 8141	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) ) )
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 419	. . 3 |- ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) )
7	2, 6	mpbir 145	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) )
8		ax-icn 7501	. . . . 5 |- _i e. CC
9	8	mulid1i 7551	. . . 4 |- ( _i x. 1 ) = _i
10	9	oveq2i 5677	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = ( 0 + _i )
11	8	addid2i 7686	. . 3 |- ( 0 + _i ) = _i
12	10, 11	eqtri 2109	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = _i
13		it0e0 8698	. . . 4 |- ( _i x. 0 ) = 0
14	13	oveq2i 5677	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = ( 0 + 0 )
15		00id 7684	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
16	14, 15	eqtri 2109	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 3878	1 |- _i # 0

Syntax hints:   <-> wb 104   \/ wo 665   e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   RRcr 7410   0cc0 7411   1c1 7412   _ici 7413   + caddc 7414   x. cmul 7416   # cap 8119

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-ltxr 7588  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120

This theorem is referenced by:  2muliap0  8701  irec  10115  iexpcyc  10120  imval  10345  imre  10346  reim  10347  crim  10353  cjreb  10361  tanval2ap  11065  tanval3ap  11066  efival  11084