ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iap0 Unicode version

Theorem iap0 9167
Description: The imaginary unit  _i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
iap0  |-  _i #  0

Proof of Theorem iap0
StepHypRef Expression
1 1ap0 8572 . . . 4  |-  1 #  0
21olci 733 . . 3  |-  ( 0 #  0  \/  1 #  0 )
3 0re 7982 . . . 4  |-  0  e.  RR
4 1re 7981 . . . 4  |-  1  e.  RR
5 apreim 8585 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( 0  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )  -> 
( ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  <->  ( 0 #  0  \/  1 #  0 ) ) )
63, 4, 3, 3, 5mp4an 427 . . 3  |-  ( ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  <->  ( 0 #  0  \/  1 #  0 ) )
72, 6mpbir 146 . 2  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )
8 ax-icn 7931 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
98mulid1i 7984 . . . 4  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
109oveq2i 5903 . . 3  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) )  =  ( 0  +  _i )
118addid2i 8125 . . 3  |-  ( 0  +  _i )  =  _i
1210, 11eqtri 2210 . 2  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) )  =  _i
13 it0e0 9165 . . . 4  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
1413oveq2i 5903 . . 3  |-  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  =  ( 0  +  0 )
15 00id 8123 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1614, 15eqtri 2210 . 2  |-  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  =  0
177, 12, 163brtr3i 4047 1  |-  _i #  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 105    \/ wo 709    e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892   RRcr 7835   0cc0 7836   1c1 7837   _ici 7838    + caddc 7839    x. cmul 7841   # cap 8563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-ltxr 8022  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564
This theorem is referenced by:  2muliap0  9168  irec  10646  iexpcyc  10651  imval  10886  imre  10887  reim  10888  crim  10894  cjreb  10902  tanval2ap  11748  tanval3ap  11749  efival  11767
  Copyright terms: Public domain W3C validator