ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iap0 Unicode version

Theorem iap0 8700
Description: The imaginary unit  _i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
iap0  |-  _i #  0

Proof of Theorem iap0
StepHypRef Expression
1 1ap0 8128 . . . 4  |-  1 #  0
21olci 687 . . 3  |-  ( 0 #  0  \/  1 #  0 )
3 0re 7549 . . . 4  |-  0  e.  RR
4 1re 7548 . . . 4  |-  1  e.  RR
5 apreim 8141 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( 0  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )  -> 
( ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  <->  ( 0 #  0  \/  1 #  0 ) ) )
63, 4, 3, 3, 5mp4an 419 . . 3  |-  ( ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  <->  ( 0 #  0  \/  1 #  0 ) )
72, 6mpbir 145 . 2  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )
8 ax-icn 7501 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
98mulid1i 7551 . . . 4  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
109oveq2i 5677 . . 3  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) )  =  ( 0  +  _i )
118addid2i 7686 . . 3  |-  ( 0  +  _i )  =  _i
1210, 11eqtri 2109 . 2  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) )  =  _i
13 it0e0 8698 . . . 4  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
1413oveq2i 5677 . . 3  |-  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  =  ( 0  +  0 )
15 00id 7684 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1614, 15eqtri 2109 . 2  |-  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  =  0
177, 12, 163brtr3i 3878 1  |-  _i #  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    \/ wo 665    e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   RRcr 7410   0cc0 7411   1c1 7412   _ici 7413    + caddc 7414    x. cmul 7416   # cap 8119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-ltxr 7588  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120
This theorem is referenced by:  2muliap0  8701  irec  10115  iexpcyc  10120  imval  10345  imre  10346  reim  10347  crim  10353  cjreb  10361  tanval2ap  11065  tanval3ap  11066  efival  11084
  Copyright terms: Public domain W3C validator