ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iap0 Unicode version

Theorem iap0 9101
Description: The imaginary unit  _i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
iap0  |-  _i #  0

Proof of Theorem iap0
StepHypRef Expression
1 1ap0 8509 . . . 4  |-  1 #  0
21olci 727 . . 3  |-  ( 0 #  0  \/  1 #  0 )
3 0re 7920 . . . 4  |-  0  e.  RR
4 1re 7919 . . . 4  |-  1  e.  RR
5 apreim 8522 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( 0  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )  -> 
( ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  <->  ( 0 #  0  \/  1 #  0 ) ) )
63, 4, 3, 3, 5mp4an 425 . . 3  |-  ( ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  <->  ( 0 #  0  \/  1 #  0 ) )
72, 6mpbir 145 . 2  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )
8 ax-icn 7869 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
98mulid1i 7922 . . . 4  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
109oveq2i 5864 . . 3  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) )  =  ( 0  +  _i )
118addid2i 8062 . . 3  |-  ( 0  +  _i )  =  _i
1210, 11eqtri 2191 . 2  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) )  =  _i
13 it0e0 9099 . . . 4  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
1413oveq2i 5864 . . 3  |-  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  =  ( 0  +  0 )
15 00id 8060 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1614, 15eqtri 2191 . 2  |-  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  =  0
177, 12, 163brtr3i 4018 1  |-  _i #  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    \/ wo 703    e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   _ici 7776    + caddc 7777    x. cmul 7779   # cap 8500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501
This theorem is referenced by:  2muliap0  9102  irec  10575  iexpcyc  10580  imval  10814  imre  10815  reim  10816  crim  10822  cjreb  10830  tanval2ap  11676  tanval3ap  11677  efival  11695
  Copyright terms: Public domain W3C validator