Theorem iap0 9478

Description: The imaginary unit _i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	|- _i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8881	. . . 4 |- 1 # 0
2	1	olci 740	. . 3 |- ( 0 # 0 \/ 1 # 0 )
3		0re 8290	. . . 4 |- 0 e. RR
4		1re 8289	. . . 4 |- 1 e. RR
5		apreim 8894	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) ) )
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 |- ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) )
7	2, 6	mpbir 146	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) )
8		ax-icn 8238	. . . . 5 |- _i e. CC
9	8	mulridi 8292	. . . 4 |- ( _i x. 1 ) = _i
10	9	oveq2i 6069	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = ( 0 + _i )
11	8	addlidi 8432	. . 3 |- ( 0 + _i ) = _i
12	10, 11	eqtri 2255	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = _i
13		it0e0 9476	. . . 4 |- ( _i x. 0 ) = 0
14	13	oveq2i 6069	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = ( 0 + 0 )
15		00id 8430	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
16	14, 15	eqtri 2255	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4143	1 |- _i # 0

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 716   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   _ici 8145   + caddc 8146   x. cmul 8148   # cap 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873

This theorem is referenced by:  2muliap0  9479  irec  11025  iexpcyc  11030  imval  11560  imre  11561  reim  11562  crim  11568  cjreb  11576  tanval2ap  12424  tanval3ap  12425  efival  12443