Theorem iap0 9167

Description: The imaginary unit _i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	|- _i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8572	. . . 4 |- 1 # 0
2	1	olci 733	. . 3 |- ( 0 # 0 \/ 1 # 0 )
3		0re 7982	. . . 4 |- 0 e. RR
4		1re 7981	. . . 4 |- 1 e. RR
5		apreim 8585	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) ) )
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 |- ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) )
7	2, 6	mpbir 146	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) )
8		ax-icn 7931	. . . . 5 |- _i e. CC
9	8	mulid1i 7984	. . . 4 |- ( _i x. 1 ) = _i
10	9	oveq2i 5903	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = ( 0 + _i )
11	8	addid2i 8125	. . 3 |- ( 0 + _i ) = _i
12	10, 11	eqtri 2210	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = _i
13		it0e0 9165	. . . 4 |- ( _i x. 0 ) = 0
14	13	oveq2i 5903	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = ( 0 + 0 )
15		00id 8123	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
16	14, 15	eqtri 2210	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4047	1 |- _i # 0

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892   RRcr 7835   0cc0 7836   1c1 7837   _ici 7838   + caddc 7839   x. cmul 7841   # cap 8563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-ltxr 8022  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564

This theorem is referenced by:  2muliap0  9168  irec  10646  iexpcyc  10651  imval  10886  imre  10887  reim  10888  crim  10894  cjreb  10902  tanval2ap  11748  tanval3ap  11749  efival  11767