Theorem iap0 9334

Description: The imaginary unit _i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	|- _i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8737	. . . 4 |- 1 # 0
2	1	olci 737	. . 3 |- ( 0 # 0 \/ 1 # 0 )
3		0re 8146	. . . 4 |- 0 e. RR
4		1re 8145	. . . 4 |- 1 e. RR
5		apreim 8750	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) ) )
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 |- ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) )
7	2, 6	mpbir 146	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) )
8		ax-icn 8094	. . . . 5 |- _i e. CC
9	8	mulridi 8148	. . . 4 |- ( _i x. 1 ) = _i
10	9	oveq2i 6012	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = ( 0 + _i )
11	8	addlidi 8289	. . 3 |- ( 0 + _i ) = _i
12	10, 11	eqtri 2250	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = _i
13		it0e0 9332	. . . 4 |- ( _i x. 0 ) = 0
14	13	oveq2i 6012	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = ( 0 + 0 )
15		00id 8287	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
16	14, 15	eqtri 2250	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4112	1 |- _i # 0

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 713   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   _ici 8001   + caddc 8002   x. cmul 8004   # cap 8728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729

This theorem is referenced by:  2muliap0  9335  irec  10861  iexpcyc  10866  imval  11361  imre  11362  reim  11363  crim  11369  cjreb  11377  tanval2ap  12224  tanval3ap  12225  efival  12243