Theorem iap0 8943

Description: The imaginary unit _i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	|- _i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8352	. . . 4 |- 1 # 0
2	1	olci 721	. . 3 |- ( 0 # 0 \/ 1 # 0 )
3		0re 7766	. . . 4 |- 0 e. RR
4		1re 7765	. . . 4 |- 1 e. RR
5		apreim 8365	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) ) )
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 423	. . 3 |- ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) )
7	2, 6	mpbir 145	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) )
8		ax-icn 7715	. . . . 5 |- _i e. CC
9	8	mulid1i 7768	. . . 4 |- ( _i x. 1 ) = _i
10	9	oveq2i 5785	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = ( 0 + _i )
11	8	addid2i 7905	. . 3 |- ( 0 + _i ) = _i
12	10, 11	eqtri 2160	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = _i
13		it0e0 8941	. . . 4 |- ( _i x. 0 ) = 0
14	13	oveq2i 5785	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = ( 0 + 0 )
15		00id 7903	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
16	14, 15	eqtri 2160	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 3957	1 |- _i # 0

Syntax hints:   <-> wb 104   \/ wo 697   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   _ici 7622   + caddc 7623   x. cmul 7625   # cap 8343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-ltxr 7805  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344

This theorem is referenced by:  2muliap0  8944  irec  10392  iexpcyc  10397  imval  10622  imre  10623  reim  10624  crim  10630  cjreb  10638  tanval2ap  11420  tanval3ap  11421  efival  11439