Theorem iap0 9295

Description: The imaginary unit _i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	|- _i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8698	. . . 4 |- 1 # 0
2	1	olci 734	. . 3 |- ( 0 # 0 \/ 1 # 0 )
3		0re 8107	. . . 4 |- 0 e. RR
4		1re 8106	. . . 4 |- 1 e. RR
5		apreim 8711	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) ) )
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 |- ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) )
7	2, 6	mpbir 146	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) )
8		ax-icn 8055	. . . . 5 |- _i e. CC
9	8	mulridi 8109	. . . 4 |- ( _i x. 1 ) = _i
10	9	oveq2i 5978	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = ( 0 + _i )
11	8	addlidi 8250	. . 3 |- ( 0 + _i ) = _i
12	10, 11	eqtri 2228	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = _i
13		it0e0 9293	. . . 4 |- ( _i x. 0 ) = 0
14	13	oveq2i 5978	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = ( 0 + 0 )
15		00id 8248	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
16	14, 15	eqtri 2228	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4088	1 |- _i # 0

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 710   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   _ici 7962   + caddc 7963   x. cmul 7965   # cap 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690

This theorem is referenced by:  2muliap0  9296  irec  10821  iexpcyc  10826  imval  11276  imre  11277  reim  11278  crim  11284  cjreb  11292  tanval2ap  12139  tanval3ap  12140  efival  12158