Theorem iap0 9231

Description: The imaginary unit _i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	|- _i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8634	. . . 4 |- 1 # 0
2	1	olci 733	. . 3 |- ( 0 # 0 \/ 1 # 0 )
3		0re 8043	. . . 4 |- 0 e. RR
4		1re 8042	. . . 4 |- 1 e. RR
5		apreim 8647	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) ) )
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 |- ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) )
7	2, 6	mpbir 146	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) )
8		ax-icn 7991	. . . . 5 |- _i e. CC
9	8	mulridi 8045	. . . 4 |- ( _i x. 1 ) = _i
10	9	oveq2i 5936	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = ( 0 + _i )
11	8	addlidi 8186	. . 3 |- ( 0 + _i ) = _i
12	10, 11	eqtri 2217	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = _i
13		it0e0 9229	. . . 4 |- ( _i x. 0 ) = 0
14	13	oveq2i 5936	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = ( 0 + 0 )
15		00id 8184	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
16	14, 15	eqtri 2217	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4063	1 |- _i # 0

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   _ici 7898   + caddc 7899   x. cmul 7901   # cap 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626

This theorem is referenced by:  2muliap0  9232  irec  10748  iexpcyc  10753  imval  11032  imre  11033  reim  11034  crim  11040  cjreb  11048  tanval2ap  11895  tanval3ap  11896  efival  11914