Theorem iap0 9061

Description: The imaginary unit _i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	|- _i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8469	. . . 4 |- 1 # 0
2	1	olci 722	. . 3 |- ( 0 # 0 \/ 1 # 0 )
3		0re 7880	. . . 4 |- 0 e. RR
4		1re 7879	. . . 4 |- 1 e. RR
5		apreim 8482	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) ) -> ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) ) )
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 424	. . 3 |- ( ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) ) <-> ( 0 # 0 \/ 1 # 0 ) )
7	2, 6	mpbir 145	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) # ( 0 + ( _i x. 0 ) )
8		ax-icn 7829	. . . . 5 |- _i e. CC
9	8	mulid1i 7882	. . . 4 |- ( _i x. 1 ) = _i
10	9	oveq2i 5837	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = ( 0 + _i )
11	8	addid2i 8022	. . 3 |- ( 0 + _i ) = _i
12	10, 11	eqtri 2178	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = _i
13		it0e0 9059	. . . 4 |- ( _i x. 0 ) = 0
14	13	oveq2i 5837	. . 3 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = ( 0 + 0 )
15		00id 8020	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
16	14, 15	eqtri 2178	. 2 |- ( 0 + ( _i x. 0 ) ) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 3995	1 |- _i # 0

Syntax hints:   <-> wb 104   \/ wo 698   e. wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   RRcr 7733   0cc0 7734   1c1 7735   _ici 7736   + caddc 7737   x. cmul 7739   # cap 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-ltxr 7919  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461

This theorem is referenced by:  2muliap0  9062  irec  10527  iexpcyc  10532  imval  10761  imre  10762  reim  10763  crim  10769  cjreb  10777  tanval2ap  11621  tanval3ap  11622  efival  11640