Theorem irec 10782

Description: The reciprocal of i. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
irec	⊢ (1 / i) = -i

Proof of Theorem irec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8019	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1, 1	mulneg2i 8476	. . 3 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
3		ixi 8655	. . . 4 ⊢ (i · i) = -1
4		ax-1cn 8017	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	1, 1	mulcli 8076	. . . . 5 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
6	4, 5	negcon2i 8354	. . . 4 ⊢ (1 = -(i · i) ↔ (i · i) = -1)
7	3, 6	mpbir 146	. . 3 ⊢ 1 = -(i · i)
8	2, 7	eqtr4i 2228	. 2 ⊢ (i · -i) = 1
9		negicn 8272	. . 3 ⊢ -i ∈ ℂ
10		iap0 9259	. . 3 ⊢ i # 0
11	4, 1, 9, 10	divmulapi 8838	. 2 ⊢ ((1 / i) = -i ↔ (i · -i) = 1)
12	8, 11	mpbir 146	1 ⊢ (1 / i) = -i

Syntax hints:   = wceq 1372  (class class class)co 5943  1c1 7925  ici 7926   · cmul 7929  -cneg 8243   / cdiv 8744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745

This theorem is referenced by:  imre  11104  crim  11111