ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  irec GIF version

Theorem irec 10019
Description: The reciprocal of i. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
irec (1 / i) = -i

Proof of Theorem irec
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7419 . . . 4 i ∈ ℂ
21, 1mulneg2i 7862 . . 3 (i · -i) = -(i · i)
3 ixi 8036 . . . 4 (i · i) = -1
4 ax-1cn 7417 . . . . 5 1 ∈ ℂ
51, 1mulcli 7472 . . . . 5 (i · i) ∈ ℂ
64, 5negcon2i 7744 . . . 4 (1 = -(i · i) ↔ (i · i) = -1)
73, 6mpbir 144 . . 3 1 = -(i · i)
82, 7eqtr4i 2111 . 2 (i · -i) = 1
9 negicn 7662 . . 3 -i ∈ ℂ
10 iap0 8609 . . 3 i # 0
114, 1, 9, 10divmulapi 8207 . 2 ((1 / i) = -i ↔ (i · -i) = 1)
128, 11mpbir 144 1 (1 / i) = -i
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1289  (class class class)co 5634  1c1 7330  ici 7331   · cmul 7334  -cneg 7633   / cdiv 8113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114
This theorem is referenced by:  imre  10250  crim  10257
  Copyright terms: Public domain W3C validator