Theorem irec 10806

Description: The reciprocal of i. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
irec	⊢ (1 / i) = -i

Proof of Theorem irec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8040	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1, 1	mulneg2i 8497	. . 3 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
3		ixi 8676	. . . 4 ⊢ (i · i) = -1
4		ax-1cn 8038	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	1, 1	mulcli 8097	. . . . 5 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
6	4, 5	negcon2i 8375	. . . 4 ⊢ (1 = -(i · i) ↔ (i · i) = -1)
7	3, 6	mpbir 146	. . 3 ⊢ 1 = -(i · i)
8	2, 7	eqtr4i 2230	. 2 ⊢ (i · -i) = 1
9		negicn 8293	. . 3 ⊢ -i ∈ ℂ
10		iap0 9280	. . 3 ⊢ i # 0
11	4, 1, 9, 10	divmulapi 8859	. 2 ⊢ ((1 / i) = -i ↔ (i · -i) = 1)
12	8, 11	mpbir 146	1 ⊢ (1 / i) = -i

Syntax hints:   = wceq 1373  (class class class)co 5957  1c1 7946  ici 7947   · cmul 7950  -cneg 8264   / cdiv 8765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766

This theorem is referenced by:  imre  11237  crim  11244