Theorem nn0lt10b 9705

Description: A nonnegative integer less than 1 is 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt10b	|- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> N = 0 ) )

Proof of Theorem nn0lt10b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9551	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		0re 8316	. . . 4 |- 0 e. RR
3		letri3 8396	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
4	2, 3	mpan2 429	. . 3 |- ( N e. RR -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
6		nn0ge0 9567	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
7	6	biantrud 304	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
8		nn0z 9643	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
9		0z 9634	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
10		zleltp1 9679	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( N <_ 0 <-> N < ( 0 + 1 ) ) )
11	9, 10	mpan2 429	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N <_ 0 <-> N < ( 0 + 1 ) ) )
12		0p1e1 9397	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
13	12	breq2i 4133	. . . 4 |- ( N < ( 0 + 1 ) <-> N < 1 )
14	11, 13	bitrdi 196	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N <_ 0 <-> N < 1 ) )
15	8, 14	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> N < 1 ) )
16	5, 7, 15	3bitr2rd 217	1 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   NN0cn0 9542   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  nn0lt2  9706  nn0le2is012  9707  fz1n  10427