Theorem nn0lt10b 9262

Description: A nonnegative integer less than 1 is 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt10b	|- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> N = 0 ) )

Proof of Theorem nn0lt10b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9114	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		0re 7890	. . . 4 |- 0 e. RR
3		letri3 7970	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
4	2, 3	mpan2 422	. . 3 |- ( N e. RR -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
6		nn0ge0 9130	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
7	6	biantrud 302	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
8		nn0z 9202	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
9		0z 9193	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
10		zleltp1 9237	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( N <_ 0 <-> N < ( 0 + 1 ) ) )
11	9, 10	mpan2 422	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N <_ 0 <-> N < ( 0 + 1 ) ) )
12		0p1e1 8962	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
13	12	breq2i 3984	. . . 4 |- ( N < ( 0 + 1 ) <-> N < 1 )
14	11, 13	bitrdi 195	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N <_ 0 <-> N < 1 ) )
15	8, 14	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> N < 1 ) )
16	5, 7, 15	3bitr2rd 216	1 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1342   e. wcel 2135   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   RRcr 7743   0cc0 7744   1c1 7745   + caddc 7747   < clt 7924   <_ cle 7925   NN0cn0 9105   ZZcz 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183

This theorem is referenced by:  nn0lt2  9263  nn0le2is012  9264  fz1n  9969