Theorem nn0lt10b 9543

Description: A nonnegative integer less than 1 is 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt10b	|- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> N = 0 ) )

Proof of Theorem nn0lt10b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9394	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		0re 8162	. . . 4 |- 0 e. RR
3		letri3 8243	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 |- ( N e. RR -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
6		nn0ge0 9410	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
7	6	biantrud 304	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
8		nn0z 9482	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
9		0z 9473	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
10		zleltp1 9518	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( N <_ 0 <-> N < ( 0 + 1 ) ) )
11	9, 10	mpan2 425	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N <_ 0 <-> N < ( 0 + 1 ) ) )
12		0p1e1 9240	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
13	12	breq2i 4091	. . . 4 |- ( N < ( 0 + 1 ) <-> N < 1 )
14	11, 13	bitrdi 196	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N <_ 0 <-> N < 1 ) )
15	8, 14	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> N < 1 ) )
16	5, 7, 15	3bitr2rd 217	1 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010   RRcr 8014   0cc0 8015   1c1 8016   + caddc 8018   < clt 8197   <_ cle 8198   NN0cn0 9385   ZZcz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463

This theorem is referenced by:  nn0lt2  9544  nn0le2is012  9545  fz1n  10257