Theorem nn0lt10b 9292

Description: A nonnegative integer less than 1 is 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt10b	|- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> N = 0 ) )

Proof of Theorem nn0lt10b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9144	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		0re 7920	. . . 4 |- 0 e. RR
3		letri3 8000	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
4	2, 3	mpan2 423	. . 3 |- ( N e. RR -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
6		nn0ge0 9160	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
7	6	biantrud 302	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
8		nn0z 9232	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
9		0z 9223	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
10		zleltp1 9267	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( N <_ 0 <-> N < ( 0 + 1 ) ) )
11	9, 10	mpan2 423	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N <_ 0 <-> N < ( 0 + 1 ) ) )
12		0p1e1 8992	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
13	12	breq2i 3997	. . . 4 |- ( N < ( 0 + 1 ) <-> N < 1 )
14	11, 13	bitrdi 195	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N <_ 0 <-> N < 1 ) )
15	8, 14	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> N < 1 ) )
16	5, 7, 15	3bitr2rd 216	1 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   NN0cn0 9135   ZZcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  nn0lt2  9293  nn0le2is012  9294  fz1n  10000