Theorem nn01to3 10017

Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn01to3	|- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )

Proof of Theorem nn01to3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1029	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> 1 <_ N )
2		simp1 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N e. NN0 )
3		1z 9670	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
4		nn0z 9664	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
5		zleloe 9691	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
6	3, 4, 5	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
8	1, 7	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 < N \/ 1 = N ) )
9		1nn0 9579	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
10		nn0ltp1le 9707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
11	9, 10	mpan 428	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
12		df-2 9363	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
13	12	breq1i 4137	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 <_ N <-> ( 1 + 1 ) <_ N )
14	11, 13	bitr4di 198	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> 2 <_ N ) )
15		2z 9672	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
16		zleloe 9691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
17	15, 4, 16	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
18	14, 17	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
19	18	orbi1d 803	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) <-> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) ) )
20	2, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) <-> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) ) )
21	8, 20	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) )
22	21	orcomd 741	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
23		orcom 740	. . . . 5 |- ( ( 2 < N \/ 2 = N ) <-> ( 2 = N \/ 2 < N ) )
24	23	orbi2i 774	. . . 4 |- ( ( 1 = N \/ ( 2 < N \/ 2 = N ) ) <-> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
25	22, 24	sylib 122	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
26		3orass 1012	. . 3 |- ( ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) <-> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
27	25, 26	sylibr 134	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) )
28		3mix1 1197	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
29	28	eqcoms 2241	. . . 4 |- ( 1 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
31		3mix2 1198	. . . . 5 |- ( N = 2 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
32	31	eqcoms 2241	. . . 4 |- ( 2 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
33	32	a1i 9	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
34		simp3 1030	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N <_ 3 )
35	34	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 3 <_ N <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
36		2nn0 9580	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
37		nn0ltp1le 9707	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 < N <-> ( 2 + 1 ) <_ N ) )
38	36, 37	mpan 428	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 2 < N <-> ( 2 + 1 ) <_ N ) )
39		df-3 9364	. . . . . . . 8 |- 3 = ( 2 + 1 )
40	39	breq1i 4137	. . . . . . 7 |- ( 3 <_ N <-> ( 2 + 1 ) <_ N )
41	38, 40	bitr4di 198	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 < N <-> 3 <_ N ) )
42	2, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N <-> 3 <_ N ) )
43	2	nn0red 9621	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N e. RR )
44		3re 9378	. . . . . 6 |- 3 e. RR
45		letri3 8406	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( N = 3 <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
46	43, 44, 45	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 3 <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
47	35, 42, 46	3bitr4d 220	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N <-> N = 3 ) )
48		3mix3 1199	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
49	47, 48	biimtrdi 163	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
50	30, 33, 49	3jaod 1345	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
51	27, 50	mpd 13	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   <_ cle 8361   2c2 9355   3c3 9356   NN0cn0 9563   ZZcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by: (None)