Theorem nn01to3 9436

Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn01to3	|- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )

Proof of Theorem nn01to3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 983	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> 1 <_ N )
2		simp1 982	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N e. NN0 )
3		1z 9104	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
4		nn0z 9098	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
5		zleloe 9125	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
6	3, 4, 5	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
8	1, 7	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 < N \/ 1 = N ) )
9		1nn0 9017	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
10		nn0ltp1le 9140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
11	9, 10	mpan 421	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
12		df-2 8803	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
13	12	breq1i 3944	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 <_ N <-> ( 1 + 1 ) <_ N )
14	11, 13	syl6bbr 197	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> 2 <_ N ) )
15		2z 9106	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
16		zleloe 9125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
17	15, 4, 16	sylancr 411	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
18	14, 17	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
19	18	orbi1d 781	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) <-> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) ) )
20	2, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) <-> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) ) )
21	8, 20	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) )
22	21	orcomd 719	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
23		orcom 718	. . . . 5 |- ( ( 2 < N \/ 2 = N ) <-> ( 2 = N \/ 2 < N ) )
24	23	orbi2i 752	. . . 4 |- ( ( 1 = N \/ ( 2 < N \/ 2 = N ) ) <-> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
25	22, 24	sylib 121	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
26		3orass 966	. . 3 |- ( ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) <-> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
27	25, 26	sylibr 133	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) )
28		3mix1 1151	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
29	28	eqcoms 2143	. . . 4 |- ( 1 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
31		3mix2 1152	. . . . 5 |- ( N = 2 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
32	31	eqcoms 2143	. . . 4 |- ( 2 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
33	32	a1i 9	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
34		simp3 984	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N <_ 3 )
35	34	biantrurd 303	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 3 <_ N <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
36		2nn0 9018	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
37		nn0ltp1le 9140	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 < N <-> ( 2 + 1 ) <_ N ) )
38	36, 37	mpan 421	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 2 < N <-> ( 2 + 1 ) <_ N ) )
39		df-3 8804	. . . . . . . 8 |- 3 = ( 2 + 1 )
40	39	breq1i 3944	. . . . . . 7 |- ( 3 <_ N <-> ( 2 + 1 ) <_ N )
41	38, 40	syl6bbr 197	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 < N <-> 3 <_ N ) )
42	2, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N <-> 3 <_ N ) )
43	2	nn0red 9055	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N e. RR )
44		3re 8818	. . . . . 6 |- 3 e. RR
45		letri3 7869	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( N = 3 <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
46	43, 44, 45	sylancl 410	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 3 <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
47	35, 42, 46	3bitr4d 219	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N <-> N = 3 ) )
48		3mix3 1153	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
49	47, 48	syl6bi 162	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
50	30, 33, 49	3jaod 1283	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
51	27, 50	mpd 13	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   \/ w3o 962   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   <_ cle 7825   2c2 8795   3c3 8796   NN0cn0 9001   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by: (None)