Theorem nn01to3 9740

Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn01to3	|- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )

Proof of Theorem nn01to3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1001	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> 1 <_ N )
2		simp1 1000	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N e. NN0 )
3		1z 9400	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
4		nn0z 9394	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
5		zleloe 9421	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
8	1, 7	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 < N \/ 1 = N ) )
9		1nn0 9313	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
10		nn0ltp1le 9437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
11	9, 10	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
12		df-2 9097	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
13	12	breq1i 4052	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 <_ N <-> ( 1 + 1 ) <_ N )
14	11, 13	bitr4di 198	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> 2 <_ N ) )
15		2z 9402	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
16		zleloe 9421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
17	15, 4, 16	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
18	14, 17	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
19	18	orbi1d 793	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) <-> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) ) )
20	2, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) <-> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) ) )
21	8, 20	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) )
22	21	orcomd 731	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
23		orcom 730	. . . . 5 |- ( ( 2 < N \/ 2 = N ) <-> ( 2 = N \/ 2 < N ) )
24	23	orbi2i 764	. . . 4 |- ( ( 1 = N \/ ( 2 < N \/ 2 = N ) ) <-> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
25	22, 24	sylib 122	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
26		3orass 984	. . 3 |- ( ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) <-> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
27	25, 26	sylibr 134	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) )
28		3mix1 1169	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
29	28	eqcoms 2208	. . . 4 |- ( 1 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
31		3mix2 1170	. . . . 5 |- ( N = 2 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
32	31	eqcoms 2208	. . . 4 |- ( 2 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
33	32	a1i 9	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
34		simp3 1002	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N <_ 3 )
35	34	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 3 <_ N <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
36		2nn0 9314	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
37		nn0ltp1le 9437	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 < N <-> ( 2 + 1 ) <_ N ) )
38	36, 37	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 2 < N <-> ( 2 + 1 ) <_ N ) )
39		df-3 9098	. . . . . . . 8 |- 3 = ( 2 + 1 )
40	39	breq1i 4052	. . . . . . 7 |- ( 3 <_ N <-> ( 2 + 1 ) <_ N )
41	38, 40	bitr4di 198	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 < N <-> 3 <_ N ) )
42	2, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N <-> 3 <_ N ) )
43	2	nn0red 9351	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N e. RR )
44		3re 9112	. . . . . 6 |- 3 e. RR
45		letri3 8155	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( N = 3 <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
46	43, 44, 45	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 3 <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
47	35, 42, 46	3bitr4d 220	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N <-> N = 3 ) )
48		3mix3 1171	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
49	47, 48	biimtrdi 163	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
50	30, 33, 49	3jaod 1317	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
51	27, 50	mpd 13	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   \/ w3o 980   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946   RRcr 7926   1c1 7928   + caddc 7930   < clt 8109   <_ cle 8110   2c2 9089   3c3 9090   NN0cn0 9297   ZZcz 9374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-n0 9298  df-z 9375

This theorem is referenced by: (None)