Theorem nn01to3 9682

Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn01to3	|- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )

Proof of Theorem nn01to3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1000	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> 1 <_ N )
2		simp1 999	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N e. NN0 )
3		1z 9343	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
4		nn0z 9337	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
5		zleloe 9364	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
8	1, 7	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 < N \/ 1 = N ) )
9		1nn0 9256	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
10		nn0ltp1le 9379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
11	9, 10	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
12		df-2 9041	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
13	12	breq1i 4036	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 <_ N <-> ( 1 + 1 ) <_ N )
14	11, 13	bitr4di 198	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> 2 <_ N ) )
15		2z 9345	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
16		zleloe 9364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
17	15, 4, 16	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
18	14, 17	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
19	18	orbi1d 792	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) <-> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) ) )
20	2, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) <-> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) ) )
21	8, 20	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) )
22	21	orcomd 730	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
23		orcom 729	. . . . 5 |- ( ( 2 < N \/ 2 = N ) <-> ( 2 = N \/ 2 < N ) )
24	23	orbi2i 763	. . . 4 |- ( ( 1 = N \/ ( 2 < N \/ 2 = N ) ) <-> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
25	22, 24	sylib 122	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
26		3orass 983	. . 3 |- ( ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) <-> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
27	25, 26	sylibr 134	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) )
28		3mix1 1168	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
29	28	eqcoms 2196	. . . 4 |- ( 1 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
31		3mix2 1169	. . . . 5 |- ( N = 2 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
32	31	eqcoms 2196	. . . 4 |- ( 2 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
33	32	a1i 9	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
34		simp3 1001	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N <_ 3 )
35	34	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 3 <_ N <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
36		2nn0 9257	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
37		nn0ltp1le 9379	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 < N <-> ( 2 + 1 ) <_ N ) )
38	36, 37	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 2 < N <-> ( 2 + 1 ) <_ N ) )
39		df-3 9042	. . . . . . . 8 |- 3 = ( 2 + 1 )
40	39	breq1i 4036	. . . . . . 7 |- ( 3 <_ N <-> ( 2 + 1 ) <_ N )
41	38, 40	bitr4di 198	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 < N <-> 3 <_ N ) )
42	2, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N <-> 3 <_ N ) )
43	2	nn0red 9294	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N e. RR )
44		3re 9056	. . . . . 6 |- 3 e. RR
45		letri3 8100	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( N = 3 <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
46	43, 44, 45	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 3 <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
47	35, 42, 46	3bitr4d 220	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N <-> N = 3 ) )
48		3mix3 1170	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
49	47, 48	biimtrdi 163	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
50	30, 33, 49	3jaod 1315	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
51	27, 50	mpd 13	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   \/ w3o 979   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   2c2 9033   3c3 9034   NN0cn0 9240   ZZcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by: (None)