Theorem nn01to3 9555

Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn01to3	|- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )

Proof of Theorem nn01to3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 988	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> 1 <_ N )
2		simp1 987	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N e. NN0 )
3		1z 9217	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
4		nn0z 9211	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
5		zleloe 9238	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
6	3, 4, 5	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
8	1, 7	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 < N \/ 1 = N ) )
9		1nn0 9130	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
10		nn0ltp1le 9253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
11	9, 10	mpan 421	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
12		df-2 8916	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
13	12	breq1i 3989	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 <_ N <-> ( 1 + 1 ) <_ N )
14	11, 13	bitr4di 197	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> 2 <_ N ) )
15		2z 9219	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
16		zleloe 9238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
17	15, 4, 16	sylancr 411	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
18	14, 17	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
19	18	orbi1d 781	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) <-> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) ) )
20	2, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) <-> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) ) )
21	8, 20	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) \/ 1 = N ) )
22	21	orcomd 719	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
23		orcom 718	. . . . 5 |- ( ( 2 < N \/ 2 = N ) <-> ( 2 = N \/ 2 < N ) )
24	23	orbi2i 752	. . . 4 |- ( ( 1 = N \/ ( 2 < N \/ 2 = N ) ) <-> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
25	22, 24	sylib 121	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
26		3orass 971	. . 3 |- ( ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) <-> ( 1 = N \/ ( 2 = N \/ 2 < N ) ) )
27	25, 26	sylibr 133	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) )
28		3mix1 1156	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
29	28	eqcoms 2168	. . . 4 |- ( 1 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 1 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
31		3mix2 1157	. . . . 5 |- ( N = 2 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
32	31	eqcoms 2168	. . . 4 |- ( 2 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
33	32	a1i 9	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 = N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
34		simp3 989	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N <_ 3 )
35	34	biantrurd 303	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 3 <_ N <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
36		2nn0 9131	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
37		nn0ltp1le 9253	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 < N <-> ( 2 + 1 ) <_ N ) )
38	36, 37	mpan 421	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 2 < N <-> ( 2 + 1 ) <_ N ) )
39		df-3 8917	. . . . . . . 8 |- 3 = ( 2 + 1 )
40	39	breq1i 3989	. . . . . . 7 |- ( 3 <_ N <-> ( 2 + 1 ) <_ N )
41	38, 40	bitr4di 197	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 < N <-> 3 <_ N ) )
42	2, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N <-> 3 <_ N ) )
43	2	nn0red 9168	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> N e. RR )
44		3re 8931	. . . . . 6 |- 3 e. RR
45		letri3 7979	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( N = 3 <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
46	43, 44, 45	sylancl 410	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 3 <-> ( N <_ 3 /\ 3 <_ N ) ) )
47	35, 42, 46	3bitr4d 219	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N <-> N = 3 ) )
48		3mix3 1158	. . . 4 |- ( N = 3 -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )
49	47, 48	syl6bi 162	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( 2 < N -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
50	30, 33, 49	3jaod 1294	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( ( 1 = N \/ 2 = N \/ 2 < N ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) ) )
51	27, 50	mpd 13	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N /\ N <_ 3 ) -> ( N = 1 \/ N = 2 \/ N = 3 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   \/ w3o 967   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   2c2 8908   3c3 8909   NN0cn0 9114   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by: (None)