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Theorem nn01to3 9547
Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn01to3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )

Proof of Theorem nn01to3
StepHypRef Expression
1 simp2 987 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  1  <_  N )
2 simp1 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  N  e.  NN0 )
3 1z 9209 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
4 nn0z 9203 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
5 zleloe 9230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 1  <  N  \/  1  =  N )
) )
63, 4, 5sylancr 411 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 1  <  N  \/  1  =  N ) ) )
72, 6syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
1  <_  N  <->  ( 1  <  N  \/  1  =  N ) ) )
81, 7mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
1  <  N  \/  1  =  N )
)
9 1nn0 9122 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
10 nn0ltp1le 9245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N ) )
119, 10mpan 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N ) )
12 df-2 8908 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1312breq1i 3984 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <_  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N )
1411, 13bitr4di 197 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  <  N  <->  2  <_  N ) )
15 2z 9211 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
16 zleloe 9230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  <_  N  <->  ( 2  <  N  \/  2  =  N )
) )
1715, 4, 16sylancr 411 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  <_  N  <->  ( 2  <  N  \/  2  =  N ) ) )
1814, 17bitrd 187 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  <  N  <->  ( 2  <  N  \/  2  =  N ) ) )
1918orbi1d 781 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  <  N  \/  1  =  N )  <->  ( ( 2  <  N  \/  2  =  N
)  \/  1  =  N ) ) )
202, 19syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
( 1  <  N  \/  1  =  N
)  <->  ( ( 2  <  N  \/  2  =  N )  \/  1  =  N ) ) )
218, 20mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
( 2  <  N  \/  2  =  N
)  \/  1  =  N ) )
2221orcomd 719 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
1  =  N  \/  ( 2  <  N  \/  2  =  N
) ) )
23 orcom 718 . . . . 5  |-  ( ( 2  <  N  \/  2  =  N )  <->  ( 2  =  N  \/  2  <  N ) )
2423orbi2i 752 . . . 4  |-  ( ( 1  =  N  \/  ( 2  <  N  \/  2  =  N
) )  <->  ( 1  =  N  \/  (
2  =  N  \/  2  <  N ) ) )
2522, 24sylib 121 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
1  =  N  \/  ( 2  =  N  \/  2  <  N
) ) )
26 3orass 970 . . 3  |-  ( ( 1  =  N  \/  2  =  N  \/  2  <  N )  <->  ( 1  =  N  \/  (
2  =  N  \/  2  <  N ) ) )
2725, 26sylibr 133 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
1  =  N  \/  2  =  N  \/  2  <  N ) )
28 3mix1 1155 . . . . 5  |-  ( N  =  1  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )
2928eqcoms 2167 . . . 4  |-  ( 1  =  N  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )
3029a1i 9 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
1  =  N  -> 
( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) ) )
31 3mix2 1156 . . . . 5  |-  ( N  =  2  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )
3231eqcoms 2167 . . . 4  |-  ( 2  =  N  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )
3332a1i 9 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
2  =  N  -> 
( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) ) )
34 simp3 988 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  N  <_  3 )
3534biantrurd 303 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
3  <_  N  <->  ( N  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
36 2nn0 9123 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
37 nn0ltp1le 9245 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  <  N  <->  ( 2  +  1 )  <_  N ) )
3836, 37mpan 421 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  <  N  <->  ( 2  +  1 )  <_  N ) )
39 df-3 8909 . . . . . . . 8  |-  3  =  ( 2  +  1 )
4039breq1i 3984 . . . . . . 7  |-  ( 3  <_  N  <->  ( 2  +  1 )  <_  N )
4138, 40bitr4di 197 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  <  N  <->  3  <_  N ) )
422, 41syl 14 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
2  <  N  <->  3  <_  N ) )
432nn0red 9160 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  N  e.  RR )
44 3re 8923 . . . . . 6  |-  3  e.  RR
45 letri3 7971 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( N  =  3  <-> 
( N  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
4643, 44, 45sylancl 410 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  ( N  =  3  <->  ( N  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
4735, 42, 463bitr4d 219 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
2  <  N  <->  N  = 
3 ) )
48 3mix3 1157 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )
4947, 48syl6bi 162 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
2  <  N  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) ) )
5030, 33, 493jaod 1293 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
( 1  =  N  \/  2  =  N  \/  2  <  N
)  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) ) )
5127, 50mpd 13 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    \/ w3o 966    /\ w3a 967    = wceq 1342    e. wcel 2135   class class class wbr 3977  (class class class)co 5837   RRcr 7744   1c1 7746    + caddc 7748    < clt 7925    <_ cle 7926   2c2 8900   3c3 8901   NN0cn0 9106   ZZcz 9183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-addcom 7845  ax-addass 7847  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-apti 7860  ax-pre-ltadd 7861
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-br 3978  df-opab 4039  df-id 4266  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fv 5191  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-inn 8850  df-2 8908  df-3 8909  df-n0 9107  df-z 9184
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