ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvcl Unicode version

Theorem dvcl 14340
Description: The derivative function takes values in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcl.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvcl.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
Assertion
Ref Expression
dvcl  |-  ( (
ph  /\  B ( S  _D  F ) C )  ->  C  e.  CC )

Proof of Theorem dvcl
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 14316 . 2  |-  ( ( z  e.  { w  e.  A  |  w #  B }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B )  C_  CC
2 eqid 2177 . . . 4  |-  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  =  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S )
3 eqid 2177 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
4 eqid 2177 . . . 4  |-  ( z  e.  { w  e.  A  |  w #  B }  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) ) )  =  ( z  e.  {
w  e.  A  |  w #  B }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) )
5 dvcl.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 dvcl.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
7 dvcl.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7eldvap 14339 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  F ) C  <-> 
( B  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  A )  /\  C  e.  ( ( z  e.  {
w  e.  A  |  w #  B }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
98simplbda 384 . 2  |-  ( (
ph  /\  B ( S  _D  F ) C )  ->  C  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  A  |  w #  B }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim CC  B ) )
101, 9sselid 3155 1  |-  ( (
ph  /\  B ( S  _D  F ) C )  ->  C  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148   {crab 2459    C_ wss 3131   class class class wbr 4005    |-> cmpt 4066    o. ccom 4632   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   CCcc 7812    - cmin 8131   # cap 8541    / cdiv 8632   abscabs 11009   ↾t crest 12694   MetOpencmopn 13619   intcnt 13781   lim CC climc 14311    _D cdv 14312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-map 6653  df-pm 6654  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-xneg 9775  df-xadd 9776  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-rest 12696  df-topgen 12715  df-psmet 13621  df-xmet 13622  df-met 13623  df-bl 13624  df-mopn 13625  df-top 13686  df-topon 13699  df-bases 13731  df-ntr 13784  df-limced 14313  df-dvap 14314
This theorem is referenced by:  dvfgg  14345  dvcnp2cntop  14351  dvaddxxbr  14353  dvmulxxbr  14354  dvcoapbr  14359
  Copyright terms: Public domain W3C validator