ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvcl Unicode version

Theorem dvcl 14505
Description: The derivative function takes values in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcl.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvcl.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
Assertion
Ref Expression
dvcl  |-  ( (
ph  /\  B ( S  _D  F ) C )  ->  C  e.  CC )

Proof of Theorem dvcl
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 14481 . 2  |-  ( ( z  e.  { w  e.  A  |  w #  B }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B )  C_  CC
2 eqid 2187 . . . 4  |-  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  =  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S )
3 eqid 2187 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
4 eqid 2187 . . . 4  |-  ( z  e.  { w  e.  A  |  w #  B }  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) ) )  =  ( z  e.  {
w  e.  A  |  w #  B }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) )
5 dvcl.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 dvcl.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
7 dvcl.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7eldvap 14504 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  F ) C  <-> 
( B  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  A )  /\  C  e.  ( ( z  e.  {
w  e.  A  |  w #  B }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
98simplbda 384 . 2  |-  ( (
ph  /\  B ( S  _D  F ) C )  ->  C  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  A  |  w #  B }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim CC  B ) )
101, 9sselid 3165 1  |-  ( (
ph  /\  B ( S  _D  F ) C )  ->  C  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2158   {crab 2469    C_ wss 3141   class class class wbr 4015    |-> cmpt 4076    o. ccom 4642   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823    - cmin 8142   # cap 8552    / cdiv 8643   abscabs 11020   ↾t crest 12706   MetOpencmopn 13784   intcnt 13946   lim CC climc 14476    _D cdv 14477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-map 6664  df-pm 6665  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-xneg 9786  df-xadd 9787  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-rest 12708  df-topgen 12727  df-psmet 13786  df-xmet 13787  df-met 13788  df-bl 13789  df-mopn 13790  df-top 13851  df-topon 13864  df-bases 13896  df-ntr 13949  df-limced 14478  df-dvap 14479
This theorem is referenced by:  dvfgg  14510  dvcnp2cntop  14516  dvaddxxbr  14518  dvmulxxbr  14519  dvcoapbr  14524
  Copyright terms: Public domain W3C validator