Theorem lmcn 14968

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
lmcn	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

Proof of Theorem lmcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcnp.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
2		lmcn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		cntop2 14919	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		cntop1 14918	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
6	2, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
7		toptopon2 14736	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
8	6, 7	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
9		lmcl 14962	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
10	8, 1, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
11		eqid 2229	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	cncnpi 14945	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
13	2, 10, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
14	1, 4, 13	lmtopcnp 14967	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ∪ cuni 3891   class class class wbr 4086   ∘ ccom 4727  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Topctop 14714  TopOnctopon 14727   Cn ccn 14902   CnP ccnp 14903  ⇝_𝑡clm 14904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-pm 6815  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-top 14715  df-topon 14728  df-cn 14905  df-cnp 14906  df-lm 14907

This theorem is referenced by:  lmcn2  14997