Theorem lmcn 14487

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
lmcn	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

Proof of Theorem lmcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcnp.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
2		lmcn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		cntop2 14438	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		cntop1 14437	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
6	2, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
7		toptopon2 14255	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
8	6, 7	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
9		lmcl 14481	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
10	8, 1, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
11		eqid 2196	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	cncnpi 14464	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
13	2, 10, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
14	1, 4, 13	lmtopcnp 14486	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ∪ cuni 3839   class class class wbr 4033   ∘ ccom 4667  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Topctop 14233  TopOnctopon 14246   Cn ccn 14421   CnP ccnp 14422  ⇝_𝑡clm 14423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-pm 6710  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-top 14234  df-topon 14247  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-lm 14426

This theorem is referenced by:  lmcn2  14516