Theorem lmcn 15103

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
lmcn	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

Proof of Theorem lmcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcnp.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
2		lmcn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		cntop2 15054	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		cntop1 15053	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
6	2, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
7		toptopon2 14871	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
8	6, 7	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
9		lmcl 15097	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
10	8, 1, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
11		eqid 2232	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	cncnpi 15080	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
13	2, 10, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
14	1, 4, 13	lmtopcnp 15102	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ∪ cuni 3913   class class class wbr 4108   ∘ ccom 4752  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Topctop 14849  TopOnctopon 14862   Cn ccn 15037   CnP ccnp 15038  ⇝_𝑡clm 15039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-pm 6884  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-top 14850  df-topon 14863  df-cn 15040  df-cnp 15041  df-lm 15042

This theorem is referenced by:  lmcn2  15132