ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmcn GIF version

Theorem lmcn 12457
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmcn.4 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
lmcn (𝜑 → (𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃))

Proof of Theorem lmcn
StepHypRef Expression
1 lmcnp.3 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
2 lmcn.4 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 cntop2 12408 . . 3 (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
42, 3syl 14 . 2 (𝜑𝐾 ∈ Top)
5 cntop1 12407 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
62, 5syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
7 toptopon2 12223 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
86, 7sylib 121 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
9 lmcl 12451 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃) → 𝑃 𝐽)
108, 1, 9syl2anc 409 . . 3 (𝜑𝑃 𝐽)
11 eqid 2140 . . . 4 𝐽 = 𝐽
1211cncnpi 12434 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 𝐽) → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
132, 10, 12syl2anc 409 . 2 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
141, 4, 13lmtopcnp 12456 1 (𝜑 → (𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1481   cuni 3743   class class class wbr 3936  ccom 4550  cfv 5130  (class class class)co 5781  Topctop 12201  TopOnctopon 12214   Cn ccn 12391   CnP ccnp 12392  𝑡clm 12393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-pm 6552  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-top 12202  df-topon 12215  df-cn 12394  df-cnp 12395  df-lm 12396
This theorem is referenced by:  lmcn2  12486
  Copyright terms: Public domain W3C validator