Theorem lspsneli 14724

Description: A scalar product with a vector belongs to the span of its singleton. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnvsel.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnvsel.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsnvsel.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsnvsel.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsnvsel.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnvsel.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnvsel.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lspsnvsel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsneli	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnvsel.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspsnvsel.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lspsnvsel.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lspsnvsel.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	3, 4, 5	lspsncl 14701	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
7	1, 2, 6	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8		lspsnvsel.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
9	3, 5	lspsnid 14716	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
10	1, 2, 9	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
11		lspsnvsel.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		lspsnvsel.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		lspsnvsel.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14	11, 12, 13, 4	lssvscl 14684	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
15	1, 7, 8, 10, 14	syl22anc 1279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3705  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Basecbs 13330  Scalarcsca 13411   ·_𝑠 cvsca 13412  LModclmod 14596  LSubSpclss 14661  LSpanclspn 14695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-sbg 13787  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-lmod 14598  df-lssm 14662  df-lsp 14696

This theorem is referenced by:  lspsnvsi  14727