Theorem lspsneq0 14765

Description: Span of the singleton is the zero subspace iff the vector is zero. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsneq0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsneq0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem lspsneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsneq0.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3	1, 2	lspsnid 14746	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
4		eleq2 2302	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
5	3, 4	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } → 𝑋 ∈ { 0 }))
6		elsni 3727	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
7	5, 6	syl6 33	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } → 𝑋 = 0 ))
8		lspsneq0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
9	8, 2	lspsn0 14761	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
10	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
11		sneq 3720	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
12	11	fveqeq2d 5703	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ (𝑁‘{ 0 }) = { 0 }))
13	10, 12	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
14	7, 13	impbid 129	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3709  ‘cfv 5377  Basecbs 13354  0_gc0g 13612  LModclmod 14625  LSpanclspn 14725

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-mgp 14220  df-ring 14304  df-lmod 14627  df-lssm 14692  df-lsp 14726

This theorem is used by:  lspsneq0b  14766