Theorem lspsneq0 13992

Description: Span of the singleton is the zero subspace iff the vector is zero. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsneq0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsneq0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem lspsneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsneq0.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3	1, 2	lspsnid 13973	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
4		eleq2 2260	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
5	3, 4	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } → 𝑋 ∈ { 0 }))
6		elsni 3641	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
7	5, 6	syl6 33	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } → 𝑋 = 0 ))
8		lspsneq0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
9	8, 2	lspsn0 13988	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
10	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
11		sneq 3634	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
12	11	fveqeq2d 5567	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ (𝑁‘{ 0 }) = { 0 }))
13	10, 12	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
14	7, 13	impbid 129	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3623  ‘cfv 5259  Basecbs 12688  0_gc0g 12937  LModclmod 13853  LSpanclspn 13952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-sca 12781  df-vsca 12782  df-0g 12939  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-grp 13145  df-mgp 13487  df-ring 13564  df-lmod 13855  df-lssm 13919  df-lsp 13953

This theorem is referenced by:  lspsneq0b  13993