Theorem lspsneq0 14686

Description: Span of the singleton is the zero subspace iff the vector is zero. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsneq0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsneq0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem lspsneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsneq0.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3	1, 2	lspsnid 14667	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
4		eleq2 2298	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
5	3, 4	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } → 𝑋 ∈ { 0 }))
6		elsni 3712	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
7	5, 6	syl6 33	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } → 𝑋 = 0 ))
8		lspsneq0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
9	8, 2	lspsn0 14682	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
10	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
11		sneq 3705	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
12	11	fveqeq2d 5683	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ (𝑁‘{ 0 }) = { 0 }))
13	10, 12	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
14	7, 13	impbid 129	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {csn 3694  ‘cfv 5357  Basecbs 13296  0_gc0g 13553  LModclmod 14547  LSpanclspn 14646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-mgp 14149  df-ring 14226  df-lmod 14549  df-lssm 14613  df-lsp 14647

This theorem is referenced by:  lspsneq0b  14687