Theorem ellspsn 14557

Description: Member of span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsn.k	|- K = ( Base ` F )
lspsn.v	|- V = ( Base ` W )
lspsn.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsn.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
ellspsn	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, K   k, N   U, k   k, V   k, W   .x. , k   k, X

Proof of Theorem ellspsn

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
2		lspsn.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
3		lspsn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		lspsn.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
5		lspsn.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
6	1, 2, 3, 4, 5	lspsn 14556	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) = { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
7	6	eleq2d 2302	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) )
8		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> U = ( k .x. X ) )
9		vex 2815	. . . . . . . 8 |- k e. _V
10		vscaslid 13368	. . . . . . . . . 10 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
11	10	slotex 13231	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> ( .s ` W ) e. _V )
12	4, 11	eqeltrid 2319	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> .x. e. _V )
13		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
14		ovexg 6083	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. _V /\ .x. e. _V /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. _V )
15	9, 12, 13, 14	mp3an2ani 1381	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. _V )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> ( k .x. X ) e. _V )
17	8, 16	eqeltrd 2309	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> U e. _V )
18	17	ex 115	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) )
19	18	rexlimdvw 2664	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. k e. K U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) )
20		eqeq1 2239	. . . . 5 |- ( v = U -> ( v = ( k .x. X ) <-> U = ( k .x. X ) ) )
21	20	rexbidv 2543	. . . 4 |- ( v = U -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
22	21	elab3g 2967	. . 3 |- ( ( E. k e. K U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) -> ( U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
23	19, 22	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
24	7, 23	bitrd 188	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   E.wrex 2521   _Vcvv 2812   {csn 3688   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   Basecbs 13204  Scalarcsca 13285   .scvsca 13286   LModclmod 14427   LSpanclspn 14526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-ltxr 8312  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-0g 13463  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-minusg 13709  df-sbg 13710  df-mgp 14057  df-ur 14096  df-ring 14134  df-lmod 14429  df-lssm 14493  df-lsp 14527

This theorem is referenced by:  lspsnss2  14559  rspsn  14674