Theorem ellspsn 14437

Description: Member of span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsn.k	|- K = ( Base ` F )
lspsn.v	|- V = ( Base ` W )
lspsn.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsn.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
ellspsn	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, K   k, N   U, k   k, V   k, W   .x. , k   k, X

Proof of Theorem ellspsn

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
2		lspsn.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
3		lspsn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		lspsn.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
5		lspsn.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
6	1, 2, 3, 4, 5	lspsn 14436	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) = { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
7	6	eleq2d 2301	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) )
8		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> U = ( k .x. X ) )
9		vex 2805	. . . . . . . 8 |- k e. _V
10		vscaslid 13251	. . . . . . . . . 10 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
11	10	slotex 13114	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> ( .s ` W ) e. _V )
12	4, 11	eqeltrid 2318	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> .x. e. _V )
13		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
14		ovexg 6052	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. _V /\ .x. e. _V /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. _V )
15	9, 12, 13, 14	mp3an2ani 1380	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. _V )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> ( k .x. X ) e. _V )
17	8, 16	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> U e. _V )
18	17	ex 115	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) )
19	18	rexlimdvw 2654	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. k e. K U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) )
20		eqeq1 2238	. . . . 5 |- ( v = U -> ( v = ( k .x. X ) <-> U = ( k .x. X ) ) )
21	20	rexbidv 2533	. . . 4 |- ( v = U -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
22	21	elab3g 2957	. . 3 |- ( ( E. k e. K U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) -> ( U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
23	19, 22	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
24	7, 23	bitrd 188	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cab 2217   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   {csn 3669   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13087  Scalarcsca 13168   .scvsca 13169   LModclmod 14307   LSpanclspn 14406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-sca 13181  df-vsca 13182  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-sbg 13593  df-mgp 13940  df-ur 13979  df-ring 14017  df-lmod 14309  df-lssm 14373  df-lsp 14407

This theorem is referenced by:  lspsnss2  14439  rspsn  14554