Theorem ellspsn 14677

Description: Member of span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsn.k	|- K = ( Base ` F )
lspsn.v	|- V = ( Base ` W )
lspsn.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsn.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
ellspsn	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, K   k, N   U, k   k, V   k, W   .x. , k   k, X

Proof of Theorem ellspsn

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
2		lspsn.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
3		lspsn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		lspsn.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
5		lspsn.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
6	1, 2, 3, 4, 5	lspsn 14676	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) = { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
7	6	eleq2d 2304	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) )
8		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> U = ( k .x. X ) )
9		vex 2818	. . . . . . . 8 |- k e. _V
10		vscaslid 13460	. . . . . . . . . 10 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
11	10	slotex 13323	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> ( .s ` W ) e. _V )
12	4, 11	eqeltrid 2321	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> .x. e. _V )
13		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
14		ovexg 6092	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. _V /\ .x. e. _V /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. _V )
15	9, 12, 13, 14	mp3an2ani 1381	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. _V )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> ( k .x. X ) e. _V )
17	8, 16	eqeltrd 2311	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> U e. _V )
18	17	ex 115	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) )
19	18	rexlimdvw 2666	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. k e. K U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) )
20		eqeq1 2241	. . . . 5 |- ( v = U -> ( v = ( k .x. X ) <-> U = ( k .x. X ) ) )
21	20	rexbidv 2545	. . . 4 |- ( v = U -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
22	21	elab3g 2971	. . 3 |- ( ( E. k e. K U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) -> ( U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
23	19, 22	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
24	7, 23	bitrd 188	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   {csn 3694   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296  Scalarcsca 13377   .scvsca 13378   LModclmod 14547   LSpanclspn 14646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-minusg 13801  df-sbg 13802  df-mgp 14149  df-ur 14188  df-ring 14226  df-lmod 14549  df-lssm 14613  df-lsp 14647

This theorem is referenced by:  lspsnss2  14679  rspsn  14794