ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltneg GIF version

Theorem ltneg 8454
Description: Negative of both sides of 'less than'. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltneg ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))

Proof of Theorem ltneg
StepHypRef Expression
1 0re 7992 . . 3 0 ∈ ℝ
2 ltsub2 8451 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (0 − 𝐵) < (0 − 𝐴)))
31, 2mp3an3 1337 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (0 − 𝐵) < (0 − 𝐴)))
4 df-neg 8166 . . 3 -𝐵 = (0 − 𝐵)
5 df-neg 8166 . . 3 -𝐴 = (0 − 𝐴)
64, 5breq12i 4030 . 2 (-𝐵 < -𝐴 ↔ (0 − 𝐵) < (0 − 𝐴))
73, 6bitr4di 198 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900  cr 7845  0cc0 7846   < clt 8027  cmin 8163  -cneg 8164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltadd 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-sub 8165  df-neg 8166
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  8455  ltnegcon2  8456  lt0neg1  8460  lt0neg2  8461  eqord2  8476  ltnegi  8485  ltnegd  8515  reapneg  8589  negiso  8947  xltnegi  9871  iooneg  10024
  Copyright terms: Public domain W3C validator