Theorem caucvgprlemk 7725

Description: Lemma for caucvgpr 7742. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgprlemk.jk	|- ( ph -> J <N K )
caucvgprlemk.jkq	|- ( ph -> ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )

Assertion

Ref	Expression
caucvgprlemk	|- ( ph -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )

Proof of Theorem caucvgprlemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgprlemk.jk	. . . 4 |- ( ph -> J <N K )
2		ltrelpi 7384	. . . . . . 7 |- <N C_ ( N. X. N. )
3	2	brel 4711	. . . . . 6 |- ( J <N K -> ( J e. N. /\ K e. N. ) )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( J e. N. /\ K e. N. ) )
5		ltnnnq 7483	. . . . 5 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( J <N K <-> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q ) )
7	1, 6	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q )
8		ltrnqi 7481	. . 3 |- ( [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) )
10		caucvgprlemk.jkq	. 2 |- ( ph -> ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )
11		ltsonq 7458	. . 3 |- <Q Or Q.
12		ltrelnq 7425	. . 3 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
13	11, 12	sotri 5061	. 2 |- ( ( ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) /\ ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q Q ) -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )
14	9, 10, 13	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   <.cop 3621   class class class wbr 4029   ` cfv 5254   1oc1o 6462   [cec 6585   N.cnpi 7332   <N clti 7335   ~Q ceq 7339   Q.cnq 7340   *Qcrq 7344   <Q cltq 7345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-mi 7366  df-lti 7367  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413

This theorem is referenced by:  caucvgprlem1  7739  caucvgprlem2  7740