ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgprlemk Unicode version

Theorem caucvgprlemk 7614
Description: Lemma for caucvgpr 7631. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgprlemk.jk  |-  ( ph  ->  J  <N  K )
caucvgprlemk.jkq  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )
Assertion
Ref Expression
caucvgprlemk  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )

Proof of Theorem caucvgprlemk
StepHypRef Expression
1 caucvgprlemk.jk . . . 4  |-  ( ph  ->  J  <N  K )
2 ltrelpi 7273 . . . . . . 7  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
32brel 4661 . . . . . 6  |-  ( J 
<N  K  ->  ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. ) )
41, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )
)
5 ltnnnq 7372 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
64, 5syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
71, 6mpbid 146 . . 3  |-  ( ph  ->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )
8 ltrnqi 7370 . . 3  |-  ( [
<. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) )
97, 8syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )
)
10 caucvgprlemk.jkq . 2  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )
11 ltsonq 7347 . . 3  |-  <Q  Or  Q.
12 ltrelnq 7314 . . 3  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1311, 12sotri 5004 . 2  |-  ( ( ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  /\  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )
149, 10, 13syl2anc 409 1  |-  ( ph  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 2141   <.cop 3584   class class class wbr 3987   ` cfv 5196   1oc1o 6385   [cec 6507   N.cnpi 7221    <N clti 7224    ~Q ceq 7228   Q.cnq 7229   *Qcrq 7233    <Q cltq 7234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-omul 6397  df-er 6509  df-ec 6511  df-qs 6515  df-ni 7253  df-mi 7255  df-lti 7256  df-mpq 7294  df-enq 7296  df-nqqs 7297  df-mqqs 7299  df-1nqqs 7300  df-rq 7301  df-ltnqqs 7302
This theorem is referenced by:  caucvgprlem1  7628  caucvgprlem2  7629
  Copyright terms: Public domain W3C validator