Theorem caucvgprlemk 7928

Description: Lemma for caucvgpr 7945. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgprlemk.jk	|- ( ph -> J <N K )
caucvgprlemk.jkq	|- ( ph -> ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )

Assertion

Ref	Expression
caucvgprlemk	|- ( ph -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )

Proof of Theorem caucvgprlemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgprlemk.jk	. . . 4 |- ( ph -> J <N K )
2		ltrelpi 7587	. . . . . . 7 |- <N C_ ( N. X. N. )
3	2	brel 4784	. . . . . 6 |- ( J <N K -> ( J e. N. /\ K e. N. ) )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( J e. N. /\ K e. N. ) )
5		ltnnnq 7686	. . . . 5 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( J <N K <-> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q ) )
7	1, 6	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q )
8		ltrnqi 7684	. . 3 |- ( [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) )
10		caucvgprlemk.jkq	. 2 |- ( ph -> ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )
11		ltsonq 7661	. . 3 |- <Q Or Q.
12		ltrelnq 7628	. . 3 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
13	11, 12	sotri 5139	. 2 |- ( ( ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) /\ ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q Q ) -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )
14	9, 10, 13	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   <.cop 3676   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   1oc1o 6618   [cec 6743   N.cnpi 7535   <N clti 7538   ~Q ceq 7542   Q.cnq 7543   *Qcrq 7547   <Q cltq 7548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-mi 7569  df-lti 7570  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616

This theorem is referenced by:  caucvgprlem1  7942  caucvgprlem2  7943