Theorem caucvgprlemk 7614

Description: Lemma for caucvgpr 7631. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgprlemk.jk	|- ( ph -> J <N K )
caucvgprlemk.jkq	|- ( ph -> ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )

Assertion

Ref	Expression
caucvgprlemk	|- ( ph -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )

Proof of Theorem caucvgprlemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgprlemk.jk	. . . 4 |- ( ph -> J <N K )
2		ltrelpi 7273	. . . . . . 7 |- <N C_ ( N. X. N. )
3	2	brel 4661	. . . . . 6 |- ( J <N K -> ( J e. N. /\ K e. N. ) )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( J e. N. /\ K e. N. ) )
5		ltnnnq 7372	. . . . 5 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( J <N K <-> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q ) )
7	1, 6	mpbid 146	. . 3 |- ( ph -> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q )
8		ltrnqi 7370	. . 3 |- ( [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) )
10		caucvgprlemk.jkq	. 2 |- ( ph -> ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )
11		ltsonq 7347	. . 3 |- <Q Or Q.
12		ltrelnq 7314	. . 3 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
13	11, 12	sotri 5004	. 2 |- ( ( ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) /\ ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q Q ) -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )
14	9, 10, 13	syl2anc 409	1 |- ( ph -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   <.cop 3584   class class class wbr 3987   ` cfv 5196   1oc1o 6385   [cec 6507   N.cnpi 7221   <N clti 7224   ~Q ceq 7228   Q.cnq 7229   *Qcrq 7233   <Q cltq 7234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-omul 6397  df-er 6509  df-ec 6511  df-qs 6515  df-ni 7253  df-mi 7255  df-lti 7256  df-mpq 7294  df-enq 7296  df-nqqs 7297  df-mqqs 7299  df-1nqqs 7300  df-rq 7301  df-ltnqqs 7302

This theorem is referenced by:  caucvgprlem1  7628  caucvgprlem2  7629