ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgprprlemk Unicode version

Theorem caucvgprprlemk 7503
Description: Lemma for caucvgprpr 7532. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgprprlemk.jk  |-  ( ph  ->  J  <N  K )
caucvgprprlemk.jkq  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
Assertion
Ref Expression
caucvgprprlemk  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
Distinct variable groups:    J, l    u, J    K, l    u, K
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    Q( u, l)

Proof of Theorem caucvgprprlemk
StepHypRef Expression
1 caucvgprprlemk.jk . . . 4  |-  ( ph  ->  J  <N  K )
2 ltrelpi 7144 . . . . . 6  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
32brel 4591 . . . . 5  |-  ( J 
<N  K  ->  ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. ) )
4 ltnnnq 7243 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
51, 3, 43syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
61, 5mpbid 146 . . 3  |-  ( ph  ->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )
7 ltrnqi 7241 . . 3  |-  ( [
<. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) )
8 ltnqpri 7414 . . 3  |-  ( ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  ->  <. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )
96, 7, 83syl 17 . 2  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )
10 caucvgprprlemk.jkq . 2  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
11 ltsopr 7416 . . 3  |-  <P  Or  P.
12 ltrelpr 7325 . . 3  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
1311, 12sotri 4934 . 2  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  /\  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )  ->  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
149, 10, 13syl2anc 408 1  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   {cab 2125   <.cop 3530   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   1oc1o 6306   [cec 6427   N.cnpi 7092    <N clti 7095    ~Q ceq 7099   *Qcrq 7104    <Q cltq 7105   P.cnp 7111    <P cltp 7115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173  df-inp 7286  df-iltp 7290
This theorem is referenced by:  caucvgprprlem1  7529  caucvgprprlem2  7530
  Copyright terms: Public domain W3C validator