ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgprprlemk Unicode version

Theorem caucvgprprlemk 7339
Description: Lemma for caucvgprpr 7368. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgprprlemk.jk  |-  ( ph  ->  J  <N  K )
caucvgprprlemk.jkq  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
Assertion
Ref Expression
caucvgprprlemk  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
Distinct variable groups:    J, l    u, J    K, l    u, K
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    Q( u, l)

Proof of Theorem caucvgprprlemk
StepHypRef Expression
1 caucvgprprlemk.jk . . . 4  |-  ( ph  ->  J  <N  K )
2 ltrelpi 6980 . . . . . 6  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
32brel 4519 . . . . 5  |-  ( J 
<N  K  ->  ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. ) )
4 ltnnnq 7079 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
51, 3, 43syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
61, 5mpbid 146 . . 3  |-  ( ph  ->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )
7 ltrnqi 7077 . . 3  |-  ( [
<. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) )
8 ltnqpri 7250 . . 3  |-  ( ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  ->  <. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )
96, 7, 83syl 17 . 2  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )
10 caucvgprprlemk.jkq . 2  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
11 ltsopr 7252 . . 3  |-  <P  Or  P.
12 ltrelpr 7161 . . 3  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
1311, 12sotri 4860 . 2  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  /\  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )  ->  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
149, 10, 13syl2anc 404 1  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1445   {cab 2081   <.cop 3469   class class class wbr 3867   ` cfv 5049   1oc1o 6212   [cec 6330   N.cnpi 6928    <N clti 6931    ~Q ceq 6935   *Qcrq 6940    <Q cltq 6941   P.cnp 6947    <P cltp 6951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-pli 6961  df-mi 6962  df-lti 6963  df-plpq 7000  df-mpq 7001  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-plqqs 7005  df-mqqs 7006  df-1nqqs 7007  df-rq 7008  df-ltnqqs 7009  df-inp 7122  df-iltp 7126
This theorem is referenced by:  caucvgprprlem1  7365  caucvgprprlem2  7366
  Copyright terms: Public domain W3C validator