ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgprprlemk Unicode version

Theorem caucvgprprlemk 7712
Description: Lemma for caucvgprpr 7741. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgprprlemk.jk  |-  ( ph  ->  J  <N  K )
caucvgprprlemk.jkq  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
Assertion
Ref Expression
caucvgprprlemk  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
Distinct variable groups:    J, l    u, J    K, l    u, K
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    Q( u, l)

Proof of Theorem caucvgprprlemk
StepHypRef Expression
1 caucvgprprlemk.jk . . . 4  |-  ( ph  ->  J  <N  K )
2 ltrelpi 7353 . . . . . 6  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
32brel 4696 . . . . 5  |-  ( J 
<N  K  ->  ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. ) )
4 ltnnnq 7452 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
51, 3, 43syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
61, 5mpbid 147 . . 3  |-  ( ph  ->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )
7 ltrnqi 7450 . . 3  |-  ( [
<. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ->  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) )
8 ltnqpri 7623 . . 3  |-  ( ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  ->  <. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )
96, 7, 83syl 17 . 2  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )
10 caucvgprprlemk.jkq . 2  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
11 ltsopr 7625 . . 3  |-  <P  Or  P.
12 ltrelpr 7534 . . 3  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
1311, 12sotri 5042 . 2  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  /\  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )  ->  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
149, 10, 13syl2anc 411 1  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  <P  Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2160   {cab 2175   <.cop 3610   class class class wbr 4018   ` cfv 5235   1oc1o 6434   [cec 6557   N.cnpi 7301    <N clti 7304    ~Q ceq 7308   *Qcrq 7313    <Q cltq 7314   P.cnp 7320    <P cltp 7324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-er 6559  df-ec 6561  df-qs 6565  df-ni 7333  df-pli 7334  df-mi 7335  df-lti 7336  df-plpq 7373  df-mpq 7374  df-enq 7376  df-nqqs 7377  df-plqqs 7378  df-mqqs 7379  df-1nqqs 7380  df-rq 7381  df-ltnqqs 7382  df-inp 7495  df-iltp 7499
This theorem is referenced by:  caucvgprprlem1  7738  caucvgprprlem2  7739
  Copyright terms: Public domain W3C validator