Theorem caucvgprprlemk 7339

Description: Lemma for caucvgprpr 7368. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgprprlemk.jk	|- ( ph -> J <N K )
caucvgprprlemk.jkq	|- ( ph -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P Q )

Assertion

Ref	Expression
caucvgprprlemk	|- ( ph -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P Q )

Distinct variable groups:   J, l   u, J   K, l   u, K

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   Q( u, l)

Proof of Theorem caucvgprprlemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgprprlemk.jk	. . . 4 |- ( ph -> J <N K )
2		ltrelpi 6980	. . . . . 6 |- <N C_ ( N. X. N. )
3	2	brel 4519	. . . . 5 |- ( J <N K -> ( J e. N. /\ K e. N. ) )
4		ltnnnq 7079	. . . . 5 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q ) )
5	1, 3, 4	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( J <N K <-> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q ) )
6	1, 5	mpbid 146	. . 3 |- ( ph -> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q )
7		ltrnqi 7077	. . 3 |- ( [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) )
8		ltnqpri 7250	. . 3 |- ( ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. )
9	6, 7, 8	3syl 17	. 2 |- ( ph -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. )
10		caucvgprprlemk.jkq	. 2 |- ( ph -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P Q )
11		ltsopr 7252	. . 3 |- <P Or P.
12		ltrelpr 7161	. . 3 |- <P C_ ( P. X. P. )
13	11, 12	sotri 4860	. 2 |- ( ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. /\ <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P Q ) -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P Q )
14	9, 10, 13	syl2anc 404	1 |- ( ph -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1445   {cab 2081   <.cop 3469   class class class wbr 3867   ` cfv 5049   1oc1o 6212   [cec 6330   N.cnpi 6928   <N clti 6931   ~Q ceq 6935   *Qcrq 6940   <Q cltq 6941   P.cnp 6947   <P cltp 6951

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-pli 6961  df-mi 6962  df-lti 6963  df-plpq 7000  df-mpq 7001  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-plqqs 7005  df-mqqs 7006  df-1nqqs 7007  df-rq 7008  df-ltnqqs 7009  df-inp 7122  df-iltp 7126

This theorem is referenced by:  caucvgprprlem1  7365  caucvgprprlem2  7366