Theorem caucvgprprlemk 8050

Description: Lemma for caucvgprpr 8079. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgprprlemk.jk	|- ( ph -> J <N K )
caucvgprprlemk.jkq	|- ( ph -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P Q )

Assertion

Ref	Expression
caucvgprprlemk	|- ( ph -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P Q )

Distinct variable groups:   J, l   u, J   K, l   u, K

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   Q( u, l)

Proof of Theorem caucvgprprlemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgprprlemk.jk	. . . 4 |- ( ph -> J <N K )
2		ltrelpi 7691	. . . . . 6 |- <N C_ ( N. X. N. )
3	2	brel 4827	. . . . 5 |- ( J <N K -> ( J e. N. /\ K e. N. ) )
4		ltnnnq 7790	. . . . 5 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q ) )
5	1, 3, 4	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( J <N K <-> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q )
7		ltrnqi 7788	. . 3 |- ( [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q -> ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) )
8		ltnqpri 7961	. . 3 |- ( ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. )
9	6, 7, 8	3syl 17	. 2 |- ( ph -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. )
10		caucvgprprlemk.jkq	. 2 |- ( ph -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P Q )
11		ltsopr 7963	. . 3 |- <P Or P.
12		ltrelpr 7872	. . 3 |- <P C_ ( P. X. P. )
13	11, 12	sotri 5183	. 2 |- ( ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. /\ <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P Q ) -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P Q )
14	9, 10, 13	syl2anc 415	1 |- ( ph -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. <P Q )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   {cab 2224   <.cop 3712   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   1oc1o 6680   [cec 6805   N.cnpi 7639   <N clti 7642   ~Q ceq 7646   *Qcrq 7651   <Q cltq 7652   P.cnp 7658   <P cltp 7662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-plpq 7711  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-plqqs 7716  df-mqqs 7717  df-1nqqs 7718  df-rq 7719  df-ltnqqs 7720  df-inp 7833  df-iltp 7837

This theorem is used by:  caucvgprprlem1  8076  caucvgprprlem2  8077