ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrennb Unicode version

Theorem ltrennb 7294
Description: Ordering of natural numbers with  <N or  <RR. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltrennb  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
Distinct variable groups:    J, l    u, J    K, l    u, K

Proof of Theorem ltrennb
StepHypRef Expression
1 ltnnnq 6885 . . 3  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
2 nnnq 6884 . . . . 5  |-  ( J  e.  N.  ->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
32adantr 270 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
4 nnnq 6884 . . . . 5  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
54adantl 271 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
6 ltnqpr 7055 . . . 4  |-  ( ( [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\ 
[ <. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <->  <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. ) )
73, 5, 6syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  <->  <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. ) )
8 nqprlu 7009 . . . . 5  |-  ( [
<. J ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  ->  <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
93, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  -> 
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
10 nqprlu 7009 . . . . 5  |-  ( [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  ->  <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
115, 10syl 14 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  -> 
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
12 prsrlt 7235 . . . 4  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P.  /\  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )  -> 
( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <->  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
139, 11, 12syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <->  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
141, 7, 133bitrd 212 . 2  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
15 ltresr 7279 . 2  |-  ( <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. 
<->  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
1614, 15syl6bbr 196 1  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   {cab 2069   <.cop 3425   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591   1oc1o 6106   [cec 6220   N.cnpi 6734    <N clti 6737    ~Q ceq 6741   Q.cnq 6742    <Q cltq 6747   P.cnp 6753   1Pc1p 6754    +P. cpp 6755    <P cltp 6757    ~R cer 6758   0Rc0r 6760    <R cltr 6765    <RR cltrr 7257
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4080  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-1o 6113  df-2o 6114  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-pli 6767  df-mi 6768  df-lti 6769  df-plpq 6806  df-mpq 6807  df-enq 6809  df-nqqs 6810  df-plqqs 6811  df-mqqs 6812  df-1nqqs 6813  df-rq 6814  df-ltnqqs 6815  df-enq0 6886  df-nq0 6887  df-0nq0 6888  df-plq0 6889  df-mq0 6890  df-inp 6928  df-i1p 6929  df-iplp 6930  df-iltp 6932  df-enr 7175  df-nr 7176  df-ltr 7179  df-0r 7180  df-r 7263  df-lt 7266
This theorem is referenced by:  ltrenn  7295  axcaucvglemres  7337
  Copyright terms: Public domain W3C validator