Theorem ltrennb 8076

Description: Ordering of natural numbers with <N or <RR. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltrennb	|- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )

Distinct variable groups:   J, l   u, J   K, l   u, K

Proof of Theorem ltrennb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnnnq 7645	. . 3 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q ) )
2		nnnq 7644	. . . . 5 |- ( J e. N. -> [ <. J , 1o >. ] ~Q e. Q. )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> [ <. J , 1o >. ] ~Q e. Q. )
4		nnnq 7644	. . . . 5 |- ( K e. N. -> [ <. K , 1o >. ] ~Q e. Q. )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> [ <. K , 1o >. ] ~Q e. Q. )
6		ltnqpr 7815	. . . 4 |- ( ( [ <. J , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ [ <. K , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q <-> <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. <P <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q <-> <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. <P <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) )
8		nqprlu 7769	. . . . 5 |- ( [ <. J , 1o >. ] ~Q e. Q. -> <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. )
9	3, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. )
10		nqprlu 7769	. . . . 5 |- ( [ <. K , 1o >. ] ~Q e. Q. -> <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. )
11	5, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. )
12		prsrlt 8009	. . . 4 |- ( ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. /\ <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. ) -> ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. <P <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. <-> [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. <P <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. <-> [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
14	1, 7, 13	3bitrd 214	. 2 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
15		ltresr 8061	. 2 |- ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <-> [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
16	14, 15	bitr4di 198	1 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2201   {cab 2216   <.cop 3671   class class class wbr 4087  (class class class)co 6020   1oc1o 6577   [cec 6702   N.cnpi 7494   <N clti 7497   ~Q ceq 7501   Q.cnq 7502   <Q cltq 7507   P.cnp 7513   1Pc1p 7514   +P. cpp 7515   <P cltp 7517   ~R cer 7518   0Rc0r 7520   <R cltr 7525   <RR cltrr 8038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-eprel 4385  df-id 4389  df-po 4392  df-iso 4393  df-iord 4462  df-on 4464  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-recs 6473  df-irdg 6538  df-1o 6584  df-2o 6585  df-oadd 6588  df-omul 6589  df-er 6704  df-ec 6706  df-qs 6710  df-ni 7526  df-pli 7527  df-mi 7528  df-lti 7529  df-plpq 7566  df-mpq 7567  df-enq 7569  df-nqqs 7570  df-plqqs 7571  df-mqqs 7572  df-1nqqs 7573  df-rq 7574  df-ltnqqs 7575  df-enq0 7646  df-nq0 7647  df-0nq0 7648  df-plq0 7649  df-mq0 7650  df-inp 7688  df-i1p 7689  df-iplp 7690  df-iltp 7692  df-enr 7948  df-nr 7949  df-ltr 7952  df-0r 7953  df-r 8044  df-lt 8047

This theorem is referenced by:  ltrenn  8077  axcaucvglemres  8121