ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrennb Unicode version

Theorem ltrennb 7391
Description: Ordering of natural numbers with  <N or  <RR. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltrennb  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
Distinct variable groups:    J, l    u, J    K, l    u, K

Proof of Theorem ltrennb
StepHypRef Expression
1 ltnnnq 6982 . . 3  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
2 nnnq 6981 . . . . 5  |-  ( J  e.  N.  ->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
32adantr 270 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
4 nnnq 6981 . . . . 5  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
54adantl 271 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
6 ltnqpr 7152 . . . 4  |-  ( ( [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\ 
[ <. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <->  <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. ) )
73, 5, 6syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  <->  <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. ) )
8 nqprlu 7106 . . . . 5  |-  ( [
<. J ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  ->  <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
93, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  -> 
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
10 nqprlu 7106 . . . . 5  |-  ( [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  ->  <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
115, 10syl 14 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  -> 
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
12 prsrlt 7332 . . . 4  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P.  /\  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )  -> 
( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <->  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
139, 11, 12syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <->  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
141, 7, 133bitrd 212 . 2  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
15 ltresr 7376 . 2  |-  ( <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. 
<->  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
1614, 15syl6bbr 196 1  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1438   {cab 2074   <.cop 3449   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   1oc1o 6174   [cec 6290   N.cnpi 6831    <N clti 6834    ~Q ceq 6838   Q.cnq 6839    <Q cltq 6844   P.cnp 6850   1Pc1p 6851    +P. cpp 6852    <P cltp 6854    ~R cer 6855   0Rc0r 6857    <R cltr 6862    <RR cltrr 7354
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911  df-ltnqqs 6912  df-enq0 6983  df-nq0 6984  df-0nq0 6985  df-plq0 6986  df-mq0 6987  df-inp 7025  df-i1p 7026  df-iplp 7027  df-iltp 7029  df-enr 7272  df-nr 7273  df-ltr 7276  df-0r 7277  df-r 7360  df-lt 7363
This theorem is referenced by:  ltrenn  7392  axcaucvglemres  7434
  Copyright terms: Public domain W3C validator