Theorem ltrennb 7855

Description: Ordering of natural numbers with <N or <RR. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltrennb	|- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )

Distinct variable groups:   J, l   u, J   K, l   u, K

Proof of Theorem ltrennb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnnnq 7424	. . 3 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q ) )
2		nnnq 7423	. . . . 5 |- ( J e. N. -> [ <. J , 1o >. ] ~Q e. Q. )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> [ <. J , 1o >. ] ~Q e. Q. )
4		nnnq 7423	. . . . 5 |- ( K e. N. -> [ <. K , 1o >. ] ~Q e. Q. )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> [ <. K , 1o >. ] ~Q e. Q. )
6		ltnqpr 7594	. . . 4 |- ( ( [ <. J , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ [ <. K , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q <-> <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. <P <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q <-> <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. <P <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) )
8		nqprlu 7548	. . . . 5 |- ( [ <. J , 1o >. ] ~Q e. Q. -> <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. )
9	3, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. )
10		nqprlu 7548	. . . . 5 |- ( [ <. K , 1o >. ] ~Q e. Q. -> <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. )
11	5, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. )
12		prsrlt 7788	. . . 4 |- ( ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. /\ <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. ) -> ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. <P <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. <-> [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. <P <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. <-> [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
14	1, 7, 13	3bitrd 214	. 2 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
15		ltresr 7840	. 2 |- ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <-> [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
16	14, 15	bitr4di 198	1 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   {cab 2163   <.cop 3597   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   1oc1o 6412   [cec 6535   N.cnpi 7273   <N clti 7276   ~Q ceq 7280   Q.cnq 7281   <Q cltq 7286   P.cnp 7292   1Pc1p 7293   +P. cpp 7294   <P cltp 7296   ~R cer 7297   0Rc0r 7299   <R cltr 7304   <RR cltrr 7817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-i1p 7468  df-iplp 7469  df-iltp 7471  df-enr 7727  df-nr 7728  df-ltr 7731  df-0r 7732  df-r 7823  df-lt 7826

This theorem is referenced by:  ltrenn  7856  axcaucvglemres  7900