Theorem ltnnnq 6982

Description: Ordering of positive integers via <_N or <_Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltnnnq	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ))

Proof of Theorem ltnnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐴 ∈ N)
2		1pi 6874	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ N
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 1𝑜 ∈ N)
4		simpr 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐵 ∈ N)
5		ordpipqqs 6933	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N 𝐵)))
6	1, 3, 4, 3, 5	syl22anc 1175	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N 𝐵)))
7		mulidpi 6877	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)
8	1, 7	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)
9		mulcompig 6890	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1𝑜 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1𝑜))
10	2, 4, 9	sylancr 405	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1𝑜 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1𝑜))
11		mulidpi 6877	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N → (𝐵 ·N 1𝑜) = 𝐵)
12	4, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 ·N 1𝑜) = 𝐵)
13	10, 12	eqtrd 2120	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1𝑜 ·N 𝐵) = 𝐵)
14	8, 13	breq12d 3858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N 𝐵) ↔ 𝐴 <N 𝐵))
15	6, 14	bitr2d 187	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  ⟨cop 3449   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652  1_𝑜c1o 6174  [cec 6290  Ncnpi 6831   ·_N cmi 6833   <_N clti 6834   ~_Q ceq 6838   <_Q cltq 6844

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-mi 6865  df-lti 6866  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-ltnqqs 6912

This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  7224  caucvgprprlemk  7242  ltrennb  7391