Theorem ltnnnq 7784

Description: Ordering of positive integers via <_N or <_Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltnnnq	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ))

Proof of Theorem ltnnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐴 ∈ N)
2		1pi 7676	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 1o ∈ N)
4		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐵 ∈ N)
5		ordpipqqs 7735	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵)))
6	1, 3, 4, 3, 5	syl22anc 1279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ([⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵)))
7		mulidpi 7679	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
8	1, 7	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
9		mulcompig 7692	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1o ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1o))
10	2, 4, 9	sylancr 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1o ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1o))
11		mulidpi 7679	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N → (𝐵 ·N 1o) = 𝐵)
12	4, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 ·N 1o) = 𝐵)
13	10, 12	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1o ·N 𝐵) = 𝐵)
14	8, 13	breq12d 4141	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵) ↔ 𝐴 <N 𝐵))
15	6, 14	bitr2d 189	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  1_oc1o 6674  [cec 6799  Ncnpi 7633   ·_N cmi 7635   <_N clti 7636   ~_Q ceq 7640   <_Q cltq 7646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-mi 7667  df-lti 7668  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-ltnqqs 7714

This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  8026  caucvgprprlemk  8044  ltrennb  8215