Theorem ltnnnq 7255

Description: Ordering of positive integers via <_N or <_Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltnnnq	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ))

Proof of Theorem ltnnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐴 ∈ N)
2		1pi 7147	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 1o ∈ N)
4		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐵 ∈ N)
5		ordpipqqs 7206	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵)))
6	1, 3, 4, 3, 5	syl22anc 1218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ([⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵)))
7		mulidpi 7150	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
8	1, 7	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
9		mulcompig 7163	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1o ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1o))
10	2, 4, 9	sylancr 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1o ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1o))
11		mulidpi 7150	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N → (𝐵 ·N 1o) = 𝐵)
12	4, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 ·N 1o) = 𝐵)
13	10, 12	eqtrd 2173	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1o ·N 𝐵) = 𝐵)
14	8, 13	breq12d 3950	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵) ↔ 𝐴 <N 𝐵))
15	6, 14	bitr2d 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ⟨cop 3535   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  1_oc1o 6314  [cec 6435  Ncnpi 7104   ·_N cmi 7106   <_N clti 7107   ~_Q ceq 7111   <_Q cltq 7117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-mi 7138  df-lti 7139  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-ltnqqs 7185

This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  7497  caucvgprprlemk  7515  ltrennb  7686