Theorem ltnnnq 7754

Description: Ordering of positive integers via <_N or <_Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltnnnq	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ))

Proof of Theorem ltnnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐴 ∈ N)
2		1pi 7646	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 1o ∈ N)
4		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐵 ∈ N)
5		ordpipqqs 7705	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵)))
6	1, 3, 4, 3, 5	syl22anc 1275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ([⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵)))
7		mulidpi 7649	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
8	1, 7	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
9		mulcompig 7662	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1o ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1o))
10	2, 4, 9	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1o ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1o))
11		mulidpi 7649	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N → (𝐵 ·N 1o) = 𝐵)
12	4, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 ·N 1o) = 𝐵)
13	10, 12	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1o ·N 𝐵) = 𝐵)
14	8, 13	breq12d 4127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵) ↔ 𝐴 <N 𝐵))
15	6, 14	bitr2d 189	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  1_oc1o 6653  [cec 6778  Ncnpi 7603   ·_N cmi 7605   <_N clti 7606   ~_Q ceq 7610   <_Q cltq 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-mi 7637  df-lti 7638  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-ltnqqs 7684

This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  7996  caucvgprprlemk  8014  ltrennb  8185