Theorem ltnnnq 7231

Description: Ordering of positive integers via <_N or <_Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltnnnq	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ))

Proof of Theorem ltnnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐴 ∈ N)
2		1pi 7123	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 1o ∈ N)
4		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐵 ∈ N)
5		ordpipqqs 7182	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵)))
6	1, 3, 4, 3, 5	syl22anc 1217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ([⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵)))
7		mulidpi 7126	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
8	1, 7	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
9		mulcompig 7139	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1o ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1o))
10	2, 4, 9	sylancr 410	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1o ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1o))
11		mulidpi 7126	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N → (𝐵 ·N 1o) = 𝐵)
12	4, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 ·N 1o) = 𝐵)
13	10, 12	eqtrd 2172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1o ·N 𝐵) = 𝐵)
14	8, 13	breq12d 3942	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵) ↔ 𝐴 <N 𝐵))
15	6, 14	bitr2d 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  1_oc1o 6306  [cec 6427  Ncnpi 7080   ·_N cmi 7082   <_N clti 7083   ~_Q ceq 7087   <_Q cltq 7093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-mi 7114  df-lti 7115  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-ltnqqs 7161

This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  7473  caucvgprprlemk  7491  ltrennb  7662