ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnnnq GIF version

Theorem ltnnnq 7238
Description: Ordering of positive integers via <N or <Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ltnnnq ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ))

Proof of Theorem ltnnnq
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → 𝐴N)
2 1pi 7130 . . . 4 1oN
32a1i 9 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → 1oN)
4 simpr 109 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → 𝐵N)
5 ordpipqqs 7189 . . 3 (((𝐴N ∧ 1oN) ∧ (𝐵N ∧ 1oN)) → ([⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵)))
61, 3, 4, 3, 5syl22anc 1217 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ([⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵)))
7 mulidpi 7133 . . . 4 (𝐴N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
81, 7syl 14 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
9 mulcompig 7146 . . . . 5 ((1oN𝐵N) → (1o ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1o))
102, 4, 9sylancr 410 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (1o ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1o))
11 mulidpi 7133 . . . . 5 (𝐵N → (𝐵 ·N 1o) = 𝐵)
124, 11syl 14 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐵 ·N 1o) = 𝐵)
1310, 12eqtrd 2172 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (1o ·N 𝐵) = 𝐵)
148, 13breq12d 3942 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 ·N 1o) <N (1o ·N 𝐵) ↔ 𝐴 <N 𝐵))
156, 14bitr2d 188 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1o⟩] ~Q ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  1oc1o 6306  [cec 6427  Ncnpi 7087   ·N cmi 7089   <N clti 7090   ~Q ceq 7094   <Q cltq 7100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-mi 7121  df-lti 7122  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-ltnqqs 7168
This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  7480  caucvgprprlemk  7498  ltrennb  7669
  Copyright terms: Public domain W3C validator