Theorem addcmpblnq 7687

Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcmpblnq	|- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> <. ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) , ( D .N S ) >. ) )

Proof of Theorem addcmpblnq

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrpig 7653	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N ( y +N z ) ) = ( ( x .N y ) +N ( x .N z ) ) )
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( x .N ( y +N z ) ) = ( ( x .N y ) +N ( x .N z ) ) )
3		simplll 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> A e. N. )
4		simprlr 540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> G e. N. )
5		mulclpi 7648	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ G e. N. ) -> ( A .N G ) e. N. )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( A .N G ) e. N. )
7		simpllr 536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> B e. N. )
8		simprll 539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> F e. N. )
9		mulclpi 7648	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ F e. N. ) -> ( B .N F ) e. N. )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .N F ) e. N. )
11		mulclpi 7648	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) e. N. )
12	11	ad2ant2l 508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( D .N S ) e. N. )
13	12	ad2ant2l 508	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .N S ) e. N. )
14		addclpi 7647	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x +N y ) e. N. )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x +N y ) e. N. )
16		mulcompig 7651	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
18	2, 6, 10, 13, 15, 17	caovdir2d 6233	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( ( A .N G ) .N ( D .N S ) ) +N ( ( B .N F ) .N ( D .N S ) ) ) )
19		simplrr 538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> D e. N. )
20		mulasspig 7652	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
22		simprrr 542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> S e. N. )
23		mulclpi 7648	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
25	3, 4, 19, 17, 21, 22, 24	caov4d 6241	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .N G ) .N ( D .N S ) ) = ( ( A .N D ) .N ( G .N S ) ) )
26	7, 8, 19, 17, 21, 22, 24	caov4d 6241	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N D ) .N ( F .N S ) ) )
27	25, 26	oveq12d 6070	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N G ) .N ( D .N S ) ) +N ( ( B .N F ) .N ( D .N S ) ) ) = ( ( ( A .N D ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( F .N S ) ) ) )
28	18, 27	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( ( A .N D ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( F .N S ) ) ) )
29		oveq1 6059	. . . . . 6 |- ( ( A .N D ) = ( B .N C ) -> ( ( A .N D ) .N ( G .N S ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) )
30		oveq2 6060	. . . . . 6 |- ( ( F .N S ) = ( G .N R ) -> ( ( B .N D ) .N ( F .N S ) ) = ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) )
31	29, 30	oveqan12d 6071	. . . . 5 |- ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> ( ( ( A .N D ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( F .N S ) ) ) = ( ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) ) )
32	28, 31	sylan9eq 2287	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) ) -> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) ) )
33		mulclpi 7648	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) e. N. )
34	7, 4, 33	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .N G ) e. N. )
35		simplrl 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> C e. N. )
36		mulclpi 7648	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ S e. N. ) -> ( C .N S ) e. N. )
37	35, 22, 36	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( C .N S ) e. N. )
38		simprrl 541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> R e. N. )
39		mulclpi 7648	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ R e. N. ) -> ( D .N R ) e. N. )
40	19, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .N R ) e. N. )
41		distrpig 7653	. . . . . . 7 |- ( ( ( B .N G ) e. N. /\ ( C .N S ) e. N. /\ ( D .N R ) e. N. ) -> ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) = ( ( ( B .N G ) .N ( C .N S ) ) +N ( ( B .N G ) .N ( D .N R ) ) ) )
42	34, 37, 40, 41	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) = ( ( ( B .N G ) .N ( C .N S ) ) +N ( ( B .N G ) .N ( D .N R ) ) ) )
43	7, 4, 35, 17, 21, 22, 24	caov4d 6241	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .N G ) .N ( C .N S ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) )
44	7, 4, 19, 17, 21, 38, 24	caov4d 6241	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .N G ) .N ( D .N R ) ) = ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) )
45	43, 44	oveq12d 6070	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( B .N G ) .N ( C .N S ) ) +N ( ( B .N G ) .N ( D .N R ) ) ) = ( ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) ) )
46	42, 45	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) = ( ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) ) )
47	46	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) ) -> ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) = ( ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) ) )
48	32, 47	eqtr4d 2270	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) ) -> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) )
49		addclpi 7647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A .N G ) e. N. /\ ( B .N F ) e. N. ) -> ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. )
50	5, 9, 49	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. N. /\ G e. N. ) /\ ( B e. N. /\ F e. N. ) ) -> ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. )
51	50	an42s 593	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. )
52	33	ad2ant2l 508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( B .N G ) e. N. )
53	51, 52	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) )
54		addclpi 7647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C .N S ) e. N. /\ ( D .N R ) e. N. ) -> ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. )
55	36, 39, 54	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. N. /\ S e. N. ) /\ ( D e. N. /\ R e. N. ) ) -> ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. )
56	55	an42s 593	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. )
57	56, 12	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) )
58	53, 57	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) /\ ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) )
59	58	an4s 592	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) )
60		enqbreq 7676	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) -> ( <. ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) ) )
61	59, 60	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) ) )
62	61	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) ) -> ( <. ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) ) )
63	48, 62	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) ) -> <. ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) , ( D .N S ) >. )
64	63	ex 115	1 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> <. ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) , ( D .N S ) >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   <.cop 3694   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   N.cnpi 7592   +N cpli 7593   .N cmi 7594   ~Q ceq 7599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-oadd 6653  df-omul 6654  df-ni 7624  df-pli 7625  df-mi 7626  df-enq 7667

This theorem is referenced by:  addpipqqs  7690