ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcmpblnq Unicode version

Theorem addcmpblnq 7329
Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnq  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R
) )  ->  <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >. )
)

Proof of Theorem addcmpblnq
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distrpig 7295 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
x  .N  ( y  +N  z ) )  =  ( ( x  .N  y )  +N  ( x  .N  z
) ) )
21adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  ( y  +N  z ) )  =  ( ( x  .N  y )  +N  ( x  .N  z
) ) )
3 simplll 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  A  e.  N. )
4 simprlr 533 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  G  e.  N. )
5 mulclpi 7290 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( A  .N  G
)  e.  N. )
63, 4, 5syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( A  .N  G )  e.  N. )
7 simpllr 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  N. )
8 simprll 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  F  e.  N. )
9 mulclpi 7290 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  N.  /\  F  e.  N. )  ->  ( B  .N  F
)  e.  N. )
107, 8, 9syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .N  F )  e.  N. )
11 mulclpi 7290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .N  S
)  e.  N. )
1211ad2ant2l 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( D  .N  S )  e.  N. )
1312ad2ant2l 505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( D  .N  S )  e.  N. )
14 addclpi 7289 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  +N  y
)  e.  N. )
1514adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  +N  y )  e.  N. )
16 mulcompig 7293 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
1716adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  =  ( y  .N  x ) )
182, 6, 10, 13, 15, 17caovdir2d 6029 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( ( A  .N  G )  .N  ( D  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  F )  .N  ( D  .N  S
) ) ) )
19 simplrr 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  N. )
20 mulasspig 7294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
2120adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. ) )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
22 simprrr 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  S  e.  N. )
23 mulclpi 7290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  e.  N. )
2423adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  e.  N. )
253, 4, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 6037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( A  .N  G )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( A  .N  D
)  .N  ( G  .N  S ) ) )
267, 8, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 6037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  F )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( B  .N  D
)  .N  ( F  .N  S ) ) )
2725, 26oveq12d 5871 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  G )  .N  ( D  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  F )  .N  ( D  .N  S ) ) )  =  ( ( ( A  .N  D
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( F  .N  S
) ) ) )
2818, 27eqtrd 2203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( ( A  .N  D )  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( F  .N  S
) ) ) )
29 oveq1 5860 . . . . . 6  |-  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  ->  (
( A  .N  D
)  .N  ( G  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  S
) ) )
30 oveq2 5861 . . . . . 6  |-  ( ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R )  ->  (
( B  .N  D
)  .N  ( F  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) )
3129, 30oveqan12d 5872 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .N  D
)  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S
)  =  ( G  .N  R ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( F  .N  S ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
3228, 31sylan9eq 2223 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  (
( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  S
) )  +N  (
( B  .N  D
)  .N  ( G  .N  R ) ) ) )
33 mulclpi 7290 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .N  G
)  e.  N. )
347, 4, 33syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .N  G )  e.  N. )
35 simplrl 530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  C  e.  N. )
36 mulclpi 7290 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( C  .N  S
)  e.  N. )
3735, 22, 36syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( C  .N  S )  e.  N. )
38 simprrl 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  R  e.  N. )
39 mulclpi 7290 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  N.  /\  R  e.  N. )  ->  ( D  .N  R
)  e.  N. )
4019, 38, 39syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( D  .N  R )  e.  N. )
41 distrpig 7295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  .N  G
)  e.  N.  /\  ( C  .N  S
)  e.  N.  /\  ( D  .N  R
)  e.  N. )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  G
)  .N  ( C  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R
) ) ) )
4234, 37, 40, 41syl3anc 1233 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  G
)  .N  ( C  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R
) ) ) )
437, 4, 35, 17, 21, 22, 24caov4d 6037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( C  .N  S
) )  =  ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) ) )
447, 4, 19, 17, 21, 38, 24caov4d 6037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R
) )  =  ( ( B  .N  D
)  .N  ( G  .N  R ) ) )
4543, 44oveq12d 5871 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( B  .N  G )  .N  ( C  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
4642, 45eqtrd 2203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
4746adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  (
( B  .N  G
)  .N  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R ) ) ) )
4832, 47eqtr4d 2206 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  (
( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) )
49 addclpi 7289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  .N  G
)  e.  N.  /\  ( B  .N  F
)  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N. )
505, 9, 49syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  F  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F
) )  e.  N. )
5150an42s 584 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F
) )  e.  N. )
5233ad2ant2l 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( B  .N  G )  e.  N. )
5351, 52jca 304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. ) )
54 addclpi 7289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  .N  S
)  e.  N.  /\  ( D  .N  R
)  e.  N. )  ->  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N. )
5536, 39, 54syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  S  e.  N. )  /\  ( D  e.  N.  /\  R  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R
) )  e.  N. )
5655an42s 584 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R
) )  e.  N. )
5756, 12jca 304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S )  e. 
N. ) )
5853, 57anim12i 336 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. ) )  /\  ( ( C  e. 
N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( ( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. )  /\  (
( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S )  e. 
N. ) ) )
5958an4s 583 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( ( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. )  /\  (
( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S )  e. 
N. ) ) )
60 enqbreq 7318 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F
) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G
)  e.  N. )  /\  ( ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R
) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S
)  e.  N. )
)  ->  ( <. ( ( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >.  <->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) ) )
6159, 60syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >.  <->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) ) )
6261adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  ( <. ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >.  <->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) ) )
6348, 62mpbird 166 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >. )
6463ex 114 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R
) )  ->  <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   <.cop 3586   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   N.cnpi 7234    +N cpli 7235    .N cmi 7236    ~Q ceq 7241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-enq 7309
This theorem is referenced by:  addpipqqs  7332
  Copyright terms: Public domain W3C validator