ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcmpblnq Unicode version

Theorem addcmpblnq 7139
Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnq  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R
) )  ->  <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >. )
)

Proof of Theorem addcmpblnq
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distrpig 7105 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
x  .N  ( y  +N  z ) )  =  ( ( x  .N  y )  +N  ( x  .N  z
) ) )
21adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  ( y  +N  z ) )  =  ( ( x  .N  y )  +N  ( x  .N  z
) ) )
3 simplll 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  A  e.  N. )
4 simprlr 510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  G  e.  N. )
5 mulclpi 7100 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( A  .N  G
)  e.  N. )
63, 4, 5syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( A  .N  G )  e.  N. )
7 simpllr 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  N. )
8 simprll 509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  F  e.  N. )
9 mulclpi 7100 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  N.  /\  F  e.  N. )  ->  ( B  .N  F
)  e.  N. )
107, 8, 9syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .N  F )  e.  N. )
11 mulclpi 7100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .N  S
)  e.  N. )
1211ad2ant2l 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( D  .N  S )  e.  N. )
1312ad2ant2l 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( D  .N  S )  e.  N. )
14 addclpi 7099 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  +N  y
)  e.  N. )
1514adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  +N  y )  e.  N. )
16 mulcompig 7103 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
1716adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  =  ( y  .N  x ) )
182, 6, 10, 13, 15, 17caovdir2d 5913 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( ( A  .N  G )  .N  ( D  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  F )  .N  ( D  .N  S
) ) ) )
19 simplrr 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  N. )
20 mulasspig 7104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
2120adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. ) )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
22 simprrr 512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  S  e.  N. )
23 mulclpi 7100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  e.  N. )
2423adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  e.  N. )
253, 4, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 5921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( A  .N  G )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( A  .N  D
)  .N  ( G  .N  S ) ) )
267, 8, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 5921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  F )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( B  .N  D
)  .N  ( F  .N  S ) ) )
2725, 26oveq12d 5758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  G )  .N  ( D  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  F )  .N  ( D  .N  S ) ) )  =  ( ( ( A  .N  D
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( F  .N  S
) ) ) )
2818, 27eqtrd 2148 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( ( A  .N  D )  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( F  .N  S
) ) ) )
29 oveq1 5747 . . . . . 6  |-  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  ->  (
( A  .N  D
)  .N  ( G  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  S
) ) )
30 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R )  ->  (
( B  .N  D
)  .N  ( F  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) )
3129, 30oveqan12d 5759 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .N  D
)  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S
)  =  ( G  .N  R ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( F  .N  S ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
3228, 31sylan9eq 2168 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  (
( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  S
) )  +N  (
( B  .N  D
)  .N  ( G  .N  R ) ) ) )
33 mulclpi 7100 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .N  G
)  e.  N. )
347, 4, 33syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .N  G )  e.  N. )
35 simplrl 507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  C  e.  N. )
36 mulclpi 7100 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( C  .N  S
)  e.  N. )
3735, 22, 36syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( C  .N  S )  e.  N. )
38 simprrl 511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  R  e.  N. )
39 mulclpi 7100 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  N.  /\  R  e.  N. )  ->  ( D  .N  R
)  e.  N. )
4019, 38, 39syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( D  .N  R )  e.  N. )
41 distrpig 7105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  .N  G
)  e.  N.  /\  ( C  .N  S
)  e.  N.  /\  ( D  .N  R
)  e.  N. )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  G
)  .N  ( C  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R
) ) ) )
4234, 37, 40, 41syl3anc 1199 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  G
)  .N  ( C  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R
) ) ) )
437, 4, 35, 17, 21, 22, 24caov4d 5921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( C  .N  S
) )  =  ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) ) )
447, 4, 19, 17, 21, 38, 24caov4d 5921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R
) )  =  ( ( B  .N  D
)  .N  ( G  .N  R ) ) )
4543, 44oveq12d 5758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( B  .N  G )  .N  ( C  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
4642, 45eqtrd 2148 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
4746adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  (
( B  .N  G
)  .N  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R ) ) ) )
4832, 47eqtr4d 2151 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  (
( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) )
49 addclpi 7099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  .N  G
)  e.  N.  /\  ( B  .N  F
)  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N. )
505, 9, 49syl2an 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  F  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F
) )  e.  N. )
5150an42s 561 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F
) )  e.  N. )
5233ad2ant2l 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( B  .N  G )  e.  N. )
5351, 52jca 302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. ) )
54 addclpi 7099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  .N  S
)  e.  N.  /\  ( D  .N  R
)  e.  N. )  ->  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N. )
5536, 39, 54syl2an 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  S  e.  N. )  /\  ( D  e.  N.  /\  R  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R
) )  e.  N. )
5655an42s 561 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R
) )  e.  N. )
5756, 12jca 302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S )  e. 
N. ) )
5853, 57anim12i 334 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. ) )  /\  ( ( C  e. 
N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( ( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. )  /\  (
( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S )  e. 
N. ) ) )
5958an4s 560 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( ( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. )  /\  (
( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S )  e. 
N. ) ) )
60 enqbreq 7128 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F
) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G
)  e.  N. )  /\  ( ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R
) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S
)  e.  N. )
)  ->  ( <. ( ( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >.  <->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) ) )
6159, 60syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >.  <->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) ) )
6261adantr 272 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  ( <. ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >.  <->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) ) )
6348, 62mpbird 166 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >. )
6463ex 114 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R
) )  ->  <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   <.cop 3498   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   N.cnpi 7044    +N cpli 7045    .N cmi 7046    ~Q ceq 7051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-enq 7119
This theorem is referenced by:  addpipqqs  7142
  Copyright terms: Public domain W3C validator