ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcmpblnq Unicode version

Theorem addcmpblnq 7289
Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnq  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R
) )  ->  <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >. )
)

Proof of Theorem addcmpblnq
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distrpig 7255 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
x  .N  ( y  +N  z ) )  =  ( ( x  .N  y )  +N  ( x  .N  z
) ) )
21adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  ( y  +N  z ) )  =  ( ( x  .N  y )  +N  ( x  .N  z
) ) )
3 simplll 523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  A  e.  N. )
4 simprlr 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  G  e.  N. )
5 mulclpi 7250 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( A  .N  G
)  e.  N. )
63, 4, 5syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( A  .N  G )  e.  N. )
7 simpllr 524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  N. )
8 simprll 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  F  e.  N. )
9 mulclpi 7250 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  N.  /\  F  e.  N. )  ->  ( B  .N  F
)  e.  N. )
107, 8, 9syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .N  F )  e.  N. )
11 mulclpi 7250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .N  S
)  e.  N. )
1211ad2ant2l 500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( D  .N  S )  e.  N. )
1312ad2ant2l 500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( D  .N  S )  e.  N. )
14 addclpi 7249 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  +N  y
)  e.  N. )
1514adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  +N  y )  e.  N. )
16 mulcompig 7253 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
1716adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  =  ( y  .N  x ) )
182, 6, 10, 13, 15, 17caovdir2d 5999 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( ( A  .N  G )  .N  ( D  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  F )  .N  ( D  .N  S
) ) ) )
19 simplrr 526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  N. )
20 mulasspig 7254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
2120adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. ) )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
22 simprrr 530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  S  e.  N. )
23 mulclpi 7250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  e.  N. )
2423adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  e.  N. )
253, 4, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 6007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( A  .N  G )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( A  .N  D
)  .N  ( G  .N  S ) ) )
267, 8, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 6007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  F )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( B  .N  D
)  .N  ( F  .N  S ) ) )
2725, 26oveq12d 5844 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  G )  .N  ( D  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  F )  .N  ( D  .N  S ) ) )  =  ( ( ( A  .N  D
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( F  .N  S
) ) ) )
2818, 27eqtrd 2190 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( ( A  .N  D )  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( F  .N  S
) ) ) )
29 oveq1 5833 . . . . . 6  |-  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  ->  (
( A  .N  D
)  .N  ( G  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  S
) ) )
30 oveq2 5834 . . . . . 6  |-  ( ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R )  ->  (
( B  .N  D
)  .N  ( F  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) )
3129, 30oveqan12d 5845 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .N  D
)  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S
)  =  ( G  .N  R ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( F  .N  S ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
3228, 31sylan9eq 2210 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  (
( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  S
) )  +N  (
( B  .N  D
)  .N  ( G  .N  R ) ) ) )
33 mulclpi 7250 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .N  G
)  e.  N. )
347, 4, 33syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .N  G )  e.  N. )
35 simplrl 525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  C  e.  N. )
36 mulclpi 7250 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( C  .N  S
)  e.  N. )
3735, 22, 36syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( C  .N  S )  e.  N. )
38 simprrl 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  R  e.  N. )
39 mulclpi 7250 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  N.  /\  R  e.  N. )  ->  ( D  .N  R
)  e.  N. )
4019, 38, 39syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( D  .N  R )  e.  N. )
41 distrpig 7255 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  .N  G
)  e.  N.  /\  ( C  .N  S
)  e.  N.  /\  ( D  .N  R
)  e.  N. )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  G
)  .N  ( C  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R
) ) ) )
4234, 37, 40, 41syl3anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  G
)  .N  ( C  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R
) ) ) )
437, 4, 35, 17, 21, 22, 24caov4d 6007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( C  .N  S
) )  =  ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) ) )
447, 4, 19, 17, 21, 38, 24caov4d 6007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R
) )  =  ( ( B  .N  D
)  .N  ( G  .N  R ) ) )
4543, 44oveq12d 5844 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( B  .N  G )  .N  ( C  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
4642, 45eqtrd 2190 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
4746adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  (
( B  .N  G
)  .N  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R ) ) ) )
4832, 47eqtr4d 2193 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  (
( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) )
49 addclpi 7249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  .N  G
)  e.  N.  /\  ( B  .N  F
)  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N. )
505, 9, 49syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  F  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F
) )  e.  N. )
5150an42s 579 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F
) )  e.  N. )
5233ad2ant2l 500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( B  .N  G )  e.  N. )
5351, 52jca 304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. ) )
54 addclpi 7249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  .N  S
)  e.  N.  /\  ( D  .N  R
)  e.  N. )  ->  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N. )
5536, 39, 54syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  S  e.  N. )  /\  ( D  e.  N.  /\  R  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R
) )  e.  N. )
5655an42s 579 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R
) )  e.  N. )
5756, 12jca 304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S )  e. 
N. ) )
5853, 57anim12i 336 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. ) )  /\  ( ( C  e. 
N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( ( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. )  /\  (
( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S )  e. 
N. ) ) )
5958an4s 578 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( ( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. )  /\  (
( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S )  e. 
N. ) ) )
60 enqbreq 7278 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F
) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G
)  e.  N. )  /\  ( ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R
) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S
)  e.  N. )
)  ->  ( <. ( ( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >.  <->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) ) )
6159, 60syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >.  <->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) ) )
6261adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  ( <. ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >.  <->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) ) )
6348, 62mpbird 166 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >. )
6463ex 114 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R
) )  ->  <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   <.cop 3564   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   N.cnpi 7194    +N cpli 7195    .N cmi 7196    ~Q ceq 7201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-irdg 6319  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-ni 7226  df-pli 7227  df-mi 7228  df-enq 7269
This theorem is referenced by:  addpipqqs  7292
  Copyright terms: Public domain W3C validator