Theorem addcmpblnq 7168

Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcmpblnq	|- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> <. ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) , ( D .N S ) >. ) )

Proof of Theorem addcmpblnq

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrpig 7134	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N ( y +N z ) ) = ( ( x .N y ) +N ( x .N z ) ) )
2	1	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( x .N ( y +N z ) ) = ( ( x .N y ) +N ( x .N z ) ) )
3		simplll 522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> A e. N. )
4		simprlr 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> G e. N. )
5		mulclpi 7129	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ G e. N. ) -> ( A .N G ) e. N. )
6	3, 4, 5	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( A .N G ) e. N. )
7		simpllr 523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> B e. N. )
8		simprll 526	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> F e. N. )
9		mulclpi 7129	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ F e. N. ) -> ( B .N F ) e. N. )
10	7, 8, 9	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .N F ) e. N. )
11		mulclpi 7129	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) e. N. )
12	11	ad2ant2l 499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( D .N S ) e. N. )
13	12	ad2ant2l 499	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .N S ) e. N. )
14		addclpi 7128	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x +N y ) e. N. )
15	14	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x +N y ) e. N. )
16		mulcompig 7132	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
17	16	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
18	2, 6, 10, 13, 15, 17	caovdir2d 5940	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( ( A .N G ) .N ( D .N S ) ) +N ( ( B .N F ) .N ( D .N S ) ) ) )
19		simplrr 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> D e. N. )
20		mulasspig 7133	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
21	20	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
22		simprrr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> S e. N. )
23		mulclpi 7129	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
24	23	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
25	3, 4, 19, 17, 21, 22, 24	caov4d 5948	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .N G ) .N ( D .N S ) ) = ( ( A .N D ) .N ( G .N S ) ) )
26	7, 8, 19, 17, 21, 22, 24	caov4d 5948	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N D ) .N ( F .N S ) ) )
27	25, 26	oveq12d 5785	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N G ) .N ( D .N S ) ) +N ( ( B .N F ) .N ( D .N S ) ) ) = ( ( ( A .N D ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( F .N S ) ) ) )
28	18, 27	eqtrd 2170	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( ( A .N D ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( F .N S ) ) ) )
29		oveq1 5774	. . . . . 6 |- ( ( A .N D ) = ( B .N C ) -> ( ( A .N D ) .N ( G .N S ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) )
30		oveq2 5775	. . . . . 6 |- ( ( F .N S ) = ( G .N R ) -> ( ( B .N D ) .N ( F .N S ) ) = ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) )
31	29, 30	oveqan12d 5786	. . . . 5 |- ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> ( ( ( A .N D ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( F .N S ) ) ) = ( ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) ) )
32	28, 31	sylan9eq 2190	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) ) -> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) ) )
33		mulclpi 7129	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) e. N. )
34	7, 4, 33	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .N G ) e. N. )
35		simplrl 524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> C e. N. )
36		mulclpi 7129	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ S e. N. ) -> ( C .N S ) e. N. )
37	35, 22, 36	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( C .N S ) e. N. )
38		simprrl 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> R e. N. )
39		mulclpi 7129	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ R e. N. ) -> ( D .N R ) e. N. )
40	19, 38, 39	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .N R ) e. N. )
41		distrpig 7134	. . . . . . 7 |- ( ( ( B .N G ) e. N. /\ ( C .N S ) e. N. /\ ( D .N R ) e. N. ) -> ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) = ( ( ( B .N G ) .N ( C .N S ) ) +N ( ( B .N G ) .N ( D .N R ) ) ) )
42	34, 37, 40, 41	syl3anc 1216	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) = ( ( ( B .N G ) .N ( C .N S ) ) +N ( ( B .N G ) .N ( D .N R ) ) ) )
43	7, 4, 35, 17, 21, 22, 24	caov4d 5948	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .N G ) .N ( C .N S ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) )
44	7, 4, 19, 17, 21, 38, 24	caov4d 5948	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .N G ) .N ( D .N R ) ) = ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) )
45	43, 44	oveq12d 5785	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( B .N G ) .N ( C .N S ) ) +N ( ( B .N G ) .N ( D .N R ) ) ) = ( ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) ) )
46	42, 45	eqtrd 2170	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) = ( ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) ) )
47	46	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) ) -> ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) = ( ( ( B .N C ) .N ( G .N S ) ) +N ( ( B .N D ) .N ( G .N R ) ) ) )
48	32, 47	eqtr4d 2173	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) ) -> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) )
49		addclpi 7128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A .N G ) e. N. /\ ( B .N F ) e. N. ) -> ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. )
50	5, 9, 49	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. N. /\ G e. N. ) /\ ( B e. N. /\ F e. N. ) ) -> ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. )
51	50	an42s 578	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. )
52	33	ad2ant2l 499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( B .N G ) e. N. )
53	51, 52	jca 304	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) )
54		addclpi 7128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C .N S ) e. N. /\ ( D .N R ) e. N. ) -> ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. )
55	36, 39, 54	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. N. /\ S e. N. ) /\ ( D e. N. /\ R e. N. ) ) -> ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. )
56	55	an42s 578	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. )
57	56, 12	jca 304	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) )
58	53, 57	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) /\ ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) )
59	58	an4s 577	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) )
60		enqbreq 7157	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) -> ( <. ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) ) )
61	59, 60	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) ) )
62	61	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) ) -> ( <. ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) ) ) )
63	48, 62	mpbird 166	. 2 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) ) -> <. ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) , ( D .N S ) >. )
64	63	ex 114	1 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> <. ( ( A .N G ) +N ( B .N F ) ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( ( C .N S ) +N ( D .N R ) ) , ( D .N S ) >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3525   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   N.cnpi 7073   +N cpli 7074   .N cmi 7075   ~Q ceq 7080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-enq 7148

This theorem is referenced by:  addpipqqs  7171