ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcmpblnq Unicode version

Theorem addcmpblnq 6987
Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnq  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R
) )  ->  <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >. )
)

Proof of Theorem addcmpblnq
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distrpig 6953 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
x  .N  ( y  +N  z ) )  =  ( ( x  .N  y )  +N  ( x  .N  z
) ) )
21adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  ( y  +N  z ) )  =  ( ( x  .N  y )  +N  ( x  .N  z
) ) )
3 simplll 501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  A  e.  N. )
4 simprlr 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  G  e.  N. )
5 mulclpi 6948 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( A  .N  G
)  e.  N. )
63, 4, 5syl2anc 404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( A  .N  G )  e.  N. )
7 simpllr 502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  N. )
8 simprll 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  F  e.  N. )
9 mulclpi 6948 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  N.  /\  F  e.  N. )  ->  ( B  .N  F
)  e.  N. )
107, 8, 9syl2anc 404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .N  F )  e.  N. )
11 mulclpi 6948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .N  S
)  e.  N. )
1211ad2ant2l 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( D  .N  S )  e.  N. )
1312ad2ant2l 493 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( D  .N  S )  e.  N. )
14 addclpi 6947 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  +N  y
)  e.  N. )
1514adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  +N  y )  e.  N. )
16 mulcompig 6951 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
1716adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  =  ( y  .N  x ) )
182, 6, 10, 13, 15, 17caovdir2d 5835 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( ( A  .N  G )  .N  ( D  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  F )  .N  ( D  .N  S
) ) ) )
19 simplrr 504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  N. )
20 mulasspig 6952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
2120adantl 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. ) )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
22 simprrr 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  S  e.  N. )
23 mulclpi 6948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  e.  N. )
2423adantl 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  e.  N. )
253, 4, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 5843 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( A  .N  G )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( A  .N  D
)  .N  ( G  .N  S ) ) )
267, 8, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 5843 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  F )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( B  .N  D
)  .N  ( F  .N  S ) ) )
2725, 26oveq12d 5684 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  G )  .N  ( D  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  F )  .N  ( D  .N  S ) ) )  =  ( ( ( A  .N  D
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( F  .N  S
) ) ) )
2818, 27eqtrd 2121 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( ( A  .N  D )  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( F  .N  S
) ) ) )
29 oveq1 5673 . . . . . 6  |-  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  ->  (
( A  .N  D
)  .N  ( G  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  S
) ) )
30 oveq2 5674 . . . . . 6  |-  ( ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R )  ->  (
( B  .N  D
)  .N  ( F  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) )
3129, 30oveqan12d 5685 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .N  D
)  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S
)  =  ( G  .N  R ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( F  .N  S ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
3228, 31sylan9eq 2141 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  (
( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  S
) )  +N  (
( B  .N  D
)  .N  ( G  .N  R ) ) ) )
33 mulclpi 6948 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .N  G
)  e.  N. )
347, 4, 33syl2anc 404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .N  G )  e.  N. )
35 simplrl 503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  C  e.  N. )
36 mulclpi 6948 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( C  .N  S
)  e.  N. )
3735, 22, 36syl2anc 404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( C  .N  S )  e.  N. )
38 simprrl 507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  R  e.  N. )
39 mulclpi 6948 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  N.  /\  R  e.  N. )  ->  ( D  .N  R
)  e.  N. )
4019, 38, 39syl2anc 404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( D  .N  R )  e.  N. )
41 distrpig 6953 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  .N  G
)  e.  N.  /\  ( C  .N  S
)  e.  N.  /\  ( D  .N  R
)  e.  N. )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  G
)  .N  ( C  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R
) ) ) )
4234, 37, 40, 41syl3anc 1175 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  G
)  .N  ( C  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R
) ) ) )
437, 4, 35, 17, 21, 22, 24caov4d 5843 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( C  .N  S
) )  =  ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) ) )
447, 4, 19, 17, 21, 38, 24caov4d 5843 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R
) )  =  ( ( B  .N  D
)  .N  ( G  .N  R ) ) )
4543, 44oveq12d 5684 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( B  .N  G )  .N  ( C  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  G )  .N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
4642, 45eqtrd 2121 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
4746adantr 271 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  (
( B  .N  G
)  .N  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) ) )  =  ( ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  S ) )  +N  ( ( B  .N  D )  .N  ( G  .N  R ) ) ) )
4832, 47eqtr4d 2124 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  (
( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) )
49 addclpi 6947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  .N  G
)  e.  N.  /\  ( B  .N  F
)  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N. )
505, 9, 49syl2an 284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  F  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F
) )  e.  N. )
5150an42s 557 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F
) )  e.  N. )
5233ad2ant2l 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( B  .N  G )  e.  N. )
5351, 52jca 301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. ) )
54 addclpi 6947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  .N  S
)  e.  N.  /\  ( D  .N  R
)  e.  N. )  ->  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N. )
5536, 39, 54syl2an 284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  S  e.  N. )  /\  ( D  e.  N.  /\  R  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R
) )  e.  N. )
5655an42s 557 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R
) )  e.  N. )
5756, 12jca 301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S )  e. 
N. ) )
5853, 57anim12i 332 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. ) )  /\  ( ( C  e. 
N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( ( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. )  /\  (
( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S )  e. 
N. ) ) )
5958an4s 556 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( ( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. )  /\  (
( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R ) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S )  e. 
N. ) ) )
60 enqbreq 6976 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F
) )  e.  N.  /\  ( B  .N  G
)  e.  N. )  /\  ( ( ( C  .N  S )  +N  ( D  .N  R
) )  e.  N.  /\  ( D  .N  S
)  e.  N. )
)  ->  ( <. ( ( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >.  <->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) ) )
6159, 60syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >.  <->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) ) )
6261adantr 271 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  ( <. ( ( A  .N  G )  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >.  <->  ( (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  (
( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ) ) )
6348, 62mpbird 166 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C
)  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R ) ) )  ->  <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >. )
6463ex 114 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R
) )  ->  <. (
( A  .N  G
)  +N  ( B  .N  F ) ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( ( C  .N  S
)  +N  ( D  .N  R ) ) ,  ( D  .N  S ) >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 925    = wceq 1290    e. wcel 1439   <.cop 3453   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   N.cnpi 6892    +N cpli 6893    .N cmi 6894    ~Q ceq 6899
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-enq 6967
This theorem is referenced by:  addpipqqs  6990
  Copyright terms: Public domain W3C validator