Theorem mvrval 15211

Description: Value of the generating elements of the power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrfval.v	|- V = ( I mVar R )
mvrfval.d	|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
mvrfval.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mvrfval.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mvrfval.i	|- ( ph -> I e. W )
mvrfval.r	|- ( ph -> R e. Y )
mvrval.x	|- ( ph -> X e. I )

Assertion

Ref	Expression
mvrval	|- ( ph -> ( V ` X ) = ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) )

Distinct variable groups:   .0. , f   .1. , f   y, f, D   y, W   f, h, I, y   R, f   f, X, h, y

Allowed substitution hints:   ph( y, f, h)   D( h)   R( y, h)   .1. ( y, h)   V( y, f, h)   W( f, h)   Y( y, f, h)   .0. ( y, h)

Proof of Theorem mvrval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrfval.v	. . . 4 |- V = ( I mVar R )
2		mvrfval.d	. . . 4 |- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
3		mvrfval.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
4		mvrfval.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
5		mvrfval.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
6		mvrfval.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Y )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvrfval 15210	. . 3 |- ( ph -> V = ( x e. I |-> ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = x , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) ) )
8	7	fveq1d 5700	. 2 |- ( ph -> ( V ` X ) = ( ( x e. I |-> ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = x , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) ) ` X ) )
9		eqid 2238	. . 3 |- ( x e. I |-> ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = x , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) ) = ( x e. I |-> ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = x , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) )
10		eqeq2 2248	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( y = x <-> y = X ) )
11	10	ifbid 3662	. . . . . . 7 |- ( x = X -> if ( y = x , 1 , 0 ) = if ( y = X , 1 , 0 ) )
12	11	mpteq2dv 4224	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( y e. I |-> if ( y = x , 1 , 0 ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) )
13	12	eqeq2d 2250	. . . . 5 |- ( x = X -> ( f = ( y e. I |-> if ( y = x , 1 , 0 ) ) <-> f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
14	13	ifbid 3662	. . . 4 |- ( x = X -> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = x , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) = if ( f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) )
15	14	mpteq2dv 4224	. . 3 |- ( x = X -> ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = x , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) = ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) )
16		mvrval.x	. . 3 |- ( ph -> X e. I )
17		fnmap 6933	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
18		nn0ex 9581	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
19	5	elexd 2835	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
20		fnovex 6121	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
21	17, 18, 19, 20	mp3an12i 1382	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
22	2, 21	rabexd 4283	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
23	22	mptexd 5947	. . 3 |- ( ph -> ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) e. _V )
24	9, 15, 16, 23	fvmptd3 5802	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = x , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) ) ` X ) = ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) )
25	8, 24	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( V ` X ) = ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   ifcif 3638   |-> cmpt 4193   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   "cima 4779   Fn wfn 5375   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ^m cmap 6926   Fincfn 7027   0cc0 8186   1c1 8187   NNcn 9314   NN0cn0 9575   0gc0g 13670   1rcur 14370   mVar cmvr 15156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-i2m1 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-inn 9315  df-n0 9576  df-mvr 15159

This theorem is used by:  mvrval2  15212