Theorem mvrval2 15212

Description: Value of the generating elements of the power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrfval.v	|- V = ( I mVar R )
mvrfval.d	|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
mvrfval.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mvrfval.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mvrfval.i	|- ( ph -> I e. W )
mvrfval.r	|- ( ph -> R e. Y )
mvrval.x	|- ( ph -> X e. I )
mvrval2.f	|- ( ph -> F e. D )

Assertion

Ref	Expression
mvrval2	|- ( ph -> ( ( V ` X ) ` F ) = if ( F = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) )

Distinct variable groups:   y, D   y, W   y, h, I   h, X, y

Allowed substitution hints:   ph( y, h)   D( h)   R( y, h)   .1. ( y, h)   F( y, h)   V( y, h)   W( h)   Y( y, h)   .0. ( y, h)

Proof of Theorem mvrval2

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrfval.v	. . . 4 |- V = ( I mVar R )
2		mvrfval.d	. . . 4 |- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
3		mvrfval.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
4		mvrfval.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
5		mvrfval.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
6		mvrfval.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Y )
7		mvrval.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. I )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mvrval 15211	. . 3 |- ( ph -> ( V ` X ) = ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) )
9	8	fveq1d 5700	. 2 |- ( ph -> ( ( V ` X ) ` F ) = ( ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) ` F ) )
10		eqid 2238	. . 3 |- ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) = ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) )
11		eqeq1 2245	. . . 4 |- ( f = F -> ( f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) <-> F = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
12	11	ifbid 3662	. . 3 |- ( f = F -> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) = if ( F = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) )
13		mvrval2.f	. . 3 |- ( ph -> F e. D )
14		eqid 2238	. . . . . . 7 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
15	14, 4	ringidvalg 14372	. . . . . 6 |- ( R e. Y -> .1. = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
16	6, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> .1. = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
17		fn0g 13755	. . . . . 6 |- 0g Fn _V
18	14	mgpex 14331	. . . . . . 7 |- ( R e. Y -> (mulGrp ` R ) e. _V )
19	6, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. _V )
20		funfvex 5715	. . . . . . 7 |- ( ( Fun 0g /\ (mulGrp ` R ) e. dom 0g ) -> ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) e. _V )
21	20	funfni 5486	. . . . . 6 |- ( ( 0g Fn _V /\ (mulGrp ` R ) e. _V ) -> ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) e. _V )
22	17, 19, 21	sylancr 418	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) e. _V )
23	16, 22	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ph -> .1. e. _V )
24	6	elexd 2835	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. _V )
25		funfvex 5715	. . . . . . 7 |- ( ( Fun 0g /\ R e. dom 0g ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
26	25	funfni 5486	. . . . . 6 |- ( ( 0g Fn _V /\ R e. _V ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
27	17, 24, 26	sylancr 418	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. _V )
28	3, 27	eqeltrid 2325	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. _V )
29	23, 28	ifexd 4632	. . 3 |- ( ph -> if ( F = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) e. _V )
30	10, 12, 13, 29	fvmptd3 5802	. 2 |- ( ph -> ( ( f e. D |-> if ( f = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) ) ` F ) = if ( F = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) )
31	9, 30	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( ( V ` X ) ` F ) = if ( F = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   ifcif 3638   |-> cmpt 4193   `'ccnv 4775   "cima 4779   Fn wfn 5375   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ^m cmap 6926   Fincfn 7027   0cc0 8186   1c1 8187   NNcn 9314   NN0cn0 9575   0gc0g 13670  mulGrpcmgp 14325   1rcur 14370   mVar cmvr 15156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-i2m1 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-n0 9576  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-mvr 15159

This theorem is used by:  mvridfi  15213  mvrf1fi  15215