Theorem pcaddlem 13096

Description: Lemma for pcadd 13097. The original numbers A and B have been decomposed using the prime count function as ( P ^ M ) x. ( R / S ) where R , S are both not divisible by P and M = ( P pCnt A ), and similarly for B. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcaddlem.1	|- ( ph -> P e. Prime )
pcaddlem.2	|- ( ph -> A = ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) )
pcaddlem.3	|- ( ph -> B = ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) )
pcaddlem.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
pcaddlem.5	|- ( ph -> ( R e. ZZ /\ -. P || R ) )
pcaddlem.6	|- ( ph -> ( S e. NN /\ -. P || S ) )
pcaddlem.7	|- ( ph -> ( T e. ZZ /\ -. P || T ) )
pcaddlem.8	|- ( ph -> ( U e. NN /\ -. P || U ) )

Assertion

Ref	Expression
pcaddlem	|- ( ph -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Proof of Theorem pcaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcaddlem.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 9905	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	3	zred 9747	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
5	4	rexrd 8365	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR* )
6		pnfge 10170	. . . . . 6 |- ( M e. RR* -> M <_ +oo )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M <_ +oo )
8		pcaddlem.1	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. Prime )
9		pc0 13061	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
11	7, 10	breqtrrd 4153	. . . 4 |- ( ph -> M <_ ( P pCnt 0 ) )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> M <_ ( P pCnt 0 ) )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> ( A + B ) = 0 )
14	13	oveq2d 6091	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> ( P pCnt ( A + B ) ) = ( P pCnt 0 ) )
15	12, 14	breqtrrd 4153	. 2 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
16	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M e. RR )
17		prmnn 12866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
18	8, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN )
19	18	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. CC )
20	18	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P # 0 )
21		eluzelz 9910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
22	1, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
23	22, 3	zsubcld 9752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - M ) e. ZZ )
24	19, 20, 23	expclzapd 11094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. CC )
25		pcaddlem.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T e. ZZ /\ -. P || T ) )
26	25	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. ZZ )
27	26	zcnd 9748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. CC )
28		pcaddlem.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U e. NN /\ -. P || U ) )
29	28	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. NN )
30	29	nncnd 9297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. CC )
31	29	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U # 0 )
32	24, 27, 30, 31	divassapd 9146	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) = ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) )
33	32	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
34		pcaddlem.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( R e. ZZ /\ -. P || R ) )
35	34	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. ZZ )
36	35	zcnd 9748	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. CC )
37	24, 27	mulcld 8336	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. CC )
38		pcaddlem.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S e. NN /\ -. P || S ) )
39	38	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. NN )
40	39	nncnd 9297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. CC )
41	39	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S # 0 )
42	40, 41	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S e. CC /\ S # 0 ) )
43	30, 31	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U e. CC /\ U # 0 ) )
44		divadddivap 9047	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CC /\ ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. CC ) /\ ( ( S e. CC /\ S # 0 ) /\ ( U e. CC /\ U # 0 ) ) ) -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
45	36, 37, 42, 43, 44	syl22anc 1279	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
46	33, 45	eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
47	46	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) )
48	47	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) )
49	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> P e. Prime )
50	29	nnzd 9746	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. ZZ )
51	35, 50	zmulcld 9753	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R x. U ) e. ZZ )
52		uznn0sub 9933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
53	1, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N - M ) e. NN0 )
54	18, 53	nnexpcld 11111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. NN )
55	54	nnzd 9746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. ZZ )
56	55, 26	zmulcld 9753	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. ZZ )
57	39	nnzd 9746	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. ZZ )
58	56, 57	zmulcld 9753	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) e. ZZ )
59	51, 58	zaddcld 9751	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ )
60	59	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ )
61	19, 20, 3	expclzapd 11094	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P ^ M ) e. CC )
62	61	mul01d 8710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. 0 ) = 0 )
63		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. 0 ) )
64	63	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = 0 <-> ( ( P ^ M ) x. 0 ) = 0 ) )
65	62, 64	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = 0 ) )
66	65	necon3d 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) =/= 0 -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) )
67	36, 40, 41	divclapd 9110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R / S ) e. CC )
68	27, 30, 31	divclapd 9110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T / U ) e. CC )
69	24, 68	mulcld 8336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. CC )
70	61, 67, 69	adddid 8340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) + ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) )
71		pcaddlem.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A = ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) )
72		pcaddlem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B = ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) )
73	3	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. CC )
74	22	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. CC )
75	73, 74	pncan3d 8630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M + ( N - M ) ) = N )
76	75	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( P ^ N ) )
77		expaddzap 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. CC /\ P # 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ ) ) -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
78	19, 20, 3, 23, 77	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
79	76, 78	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P ^ N ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
80	79	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) x. ( T / U ) ) )
81	61, 24, 68	mulassd 8339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) x. ( T / U ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
82	72, 80, 81	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B = ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
83	71, 82	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + B ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) + ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) )
84	70, 83	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( A + B ) )
85	84	neeq1d 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) =/= 0 <-> ( A + B ) =/= 0 ) )
86	46	neeq1d 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 <-> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 ) )
87	66, 85, 86	3imtr3d 202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 ) )
88	39, 29	nnmulcld 9332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S x. U ) e. NN )
89	88	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S x. U ) e. CC )
90	40, 30, 41, 31	mulap0d 8976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S x. U ) # 0 )
91	89, 90	div0apd 9107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 / ( S x. U ) ) = 0 )
92		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = ( 0 / ( S x. U ) ) )
93	92	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = 0 <-> ( 0 / ( S x. U ) ) = 0 ) )
94	91, 93	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = 0 ) )
95	94	necon3d 2464	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) )
96	87, 95	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) )
97	96	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 )
98	88	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( S x. U ) e. NN )
99		pcdiv 13059	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ /\ ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) /\ ( S x. U ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) )
100	49, 60, 97, 98, 99	syl121anc 1283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) )
101	39	nnne0d 9328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S =/= 0 )
102	29	nnne0d 9328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U =/= 0 )
103		pcmul 13058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( S e. ZZ /\ S =/= 0 ) /\ ( U e. ZZ /\ U =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) )
104	8, 57, 101, 50, 102, 103	syl122anc 1287	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) )
105	38	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. P || S )
106		pceq0 13079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ S e. NN ) -> ( ( P pCnt S ) = 0 <-> -. P || S ) )
107	8, 39, 106	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) = 0 <-> -. P || S ) )
108	105, 107	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt S ) = 0 )
109	28	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. P || U )
110		pceq0 13079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ U e. NN ) -> ( ( P pCnt U ) = 0 <-> -. P || U ) )
111	8, 29, 110	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P pCnt U ) = 0 <-> -. P || U ) )
112	109, 111	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt U ) = 0 )
113	108, 112	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) = ( 0 + 0 ) )
114		00id 8457	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
115	113, 114	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) = 0 )
116	104, 115	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = 0 )
117	116	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) )
118	117	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) )
119		pczcl 13055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ /\ ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. NN0 )
120	49, 60, 97, 119	syl12anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. NN0 )
121	120	nn0cnd 9601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. CC )
122	121	subid1d 8616	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
123	118, 122	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
124	48, 100, 123	3eqtrd 2275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
125	124, 120	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) e. NN0 )
126		nn0addge1 9588	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) e. NN0 ) -> M <_ ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
127	16, 125, 126	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M <_ ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
128		nnq 10012	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
129	18, 128	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. QQ )
130	18	nnne0d 9328	. . . . . . 7 |- ( ph -> P =/= 0 )
131		qexpclz 10975	. . . . . . 7 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( P ^ M ) e. QQ )
132	129, 130, 3, 131	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ^ M ) e. QQ )
133	132	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P ^ M ) e. QQ )
134	19, 20, 3	expap0d 11095	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P ^ M ) # 0 )
135		0z 9634	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
136		zq 10005	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
137	135, 136	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. QQ )
138		qapne 10018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ^ M ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( ( P ^ M ) # 0 <-> ( P ^ M ) =/= 0 ) )
139	132, 137, 138	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) # 0 <-> ( P ^ M ) =/= 0 ) )
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ^ M ) =/= 0 )
141	140	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P ^ M ) =/= 0 )
142		znq 10003	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. ZZ /\ S e. NN ) -> ( R / S ) e. QQ )
143	35, 39, 142	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R / S ) e. QQ )
144		qexpclz 10975	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ ( N - M ) e. ZZ ) -> ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ )
145	129, 130, 23, 144	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ )
146		znq 10003	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. ZZ /\ U e. NN ) -> ( T / U ) e. QQ )
147	26, 29, 146	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T / U ) e. QQ )
148		qmulcl 10016	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ /\ ( T / U ) e. QQ ) -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
149	145, 147, 148	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
150		qaddcl 10014	. . . . . . 7 |- ( ( ( R / S ) e. QQ /\ ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
151	143, 149, 150	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
152	151	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
153	85, 66	sylbird 170	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) )
154	153	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 )
155		pcqmul 13060	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( P ^ M ) e. QQ /\ ( P ^ M ) =/= 0 ) /\ ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ /\ ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
156	49, 133, 141, 152, 154, 155	syl122anc 1287	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
157	84	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( P pCnt ( A + B ) ) )
158	157	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( P pCnt ( A + B ) ) )
159		pcid 13081	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ ) -> ( P pCnt ( P ^ M ) ) = M )
160	8, 3, 159	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P pCnt ( P ^ M ) ) = M )
161	160	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
162	161	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
163	156, 158, 162	3eqtr3d 2279	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( A + B ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
164	127, 163	breqtrrd 4153	. 2 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
165		qmulcl 10016	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ^ M ) e. QQ /\ ( R / S ) e. QQ ) -> ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) e. QQ )
166	132, 143, 165	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) e. QQ )
167	71, 166	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ph -> A e. QQ )
168		qexpclz 10975	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( P ^ N ) e. QQ )
169	129, 130, 22, 168	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P ^ N ) e. QQ )
170		qmulcl 10016	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ^ N ) e. QQ /\ ( T / U ) e. QQ ) -> ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
171	169, 147, 170	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
172	72, 171	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ph -> B e. QQ )
173		qaddcl 10014	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. QQ )
174	167, 172, 173	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( A + B ) e. QQ )
175		qdceq 10657	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> DECID ( A + B ) = 0 )
176	174, 137, 175	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> DECID ( A + B ) = 0 )
177		dcne 2431	. . 3 |- (DECID ( A + B ) = 0 <-> ( ( A + B ) = 0 \/ ( A + B ) =/= 0 ) )
178	176, 177	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( ( A + B ) = 0 \/ ( A + B ) =/= 0 ) )
179	15, 164, 178	mpjaodan 810	1 |- ( ph -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   + caddc 8172   x. cmul 8174   +oocpnf 8347   RR*cxr 8349   <_ cle 8351   - cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   QQcq 9998   ^cexp 10953   || cdvds 12532   Primecprime 12863   pCnt cpc 13041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533  df-gcd 12709  df-prm 12864  df-pc 13042

This theorem is referenced by:  pcadd  13097