Theorem pcaddlem 12902

Description: Lemma for pcadd 12903. The original numbers A and B have been decomposed using the prime count function as ( P ^ M ) x. ( R / S ) where R , S are both not divisible by P and M = ( P pCnt A ), and similarly for B. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcaddlem.1	|- ( ph -> P e. Prime )
pcaddlem.2	|- ( ph -> A = ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) )
pcaddlem.3	|- ( ph -> B = ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) )
pcaddlem.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
pcaddlem.5	|- ( ph -> ( R e. ZZ /\ -. P || R ) )
pcaddlem.6	|- ( ph -> ( S e. NN /\ -. P || S ) )
pcaddlem.7	|- ( ph -> ( T e. ZZ /\ -. P || T ) )
pcaddlem.8	|- ( ph -> ( U e. NN /\ -. P || U ) )

Assertion

Ref	Expression
pcaddlem	|- ( ph -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Proof of Theorem pcaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcaddlem.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 9750	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	3	zred 9592	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
5	4	rexrd 8219	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR* )
6		pnfge 10014	. . . . . 6 |- ( M e. RR* -> M <_ +oo )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M <_ +oo )
8		pcaddlem.1	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. Prime )
9		pc0 12867	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
11	7, 10	breqtrrd 4114	. . . 4 |- ( ph -> M <_ ( P pCnt 0 ) )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> M <_ ( P pCnt 0 ) )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> ( A + B ) = 0 )
14	13	oveq2d 6029	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> ( P pCnt ( A + B ) ) = ( P pCnt 0 ) )
15	12, 14	breqtrrd 4114	. 2 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
16	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M e. RR )
17		prmnn 12672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
18	8, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN )
19	18	nncnd 9147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. CC )
20	18	nnap0d 9179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P # 0 )
21		eluzelz 9755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
22	1, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
23	22, 3	zsubcld 9597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - M ) e. ZZ )
24	19, 20, 23	expclzapd 10930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. CC )
25		pcaddlem.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T e. ZZ /\ -. P || T ) )
26	25	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. ZZ )
27	26	zcnd 9593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. CC )
28		pcaddlem.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U e. NN /\ -. P || U ) )
29	28	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. NN )
30	29	nncnd 9147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. CC )
31	29	nnap0d 9179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U # 0 )
32	24, 27, 30, 31	divassapd 8996	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) = ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) )
33	32	oveq2d 6029	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
34		pcaddlem.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( R e. ZZ /\ -. P || R ) )
35	34	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. ZZ )
36	35	zcnd 9593	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. CC )
37	24, 27	mulcld 8190	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. CC )
38		pcaddlem.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S e. NN /\ -. P || S ) )
39	38	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. NN )
40	39	nncnd 9147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. CC )
41	39	nnap0d 9179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S # 0 )
42	40, 41	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S e. CC /\ S # 0 ) )
43	30, 31	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U e. CC /\ U # 0 ) )
44		divadddivap 8897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CC /\ ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. CC ) /\ ( ( S e. CC /\ S # 0 ) /\ ( U e. CC /\ U # 0 ) ) ) -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
45	36, 37, 42, 43, 44	syl22anc 1272	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
46	33, 45	eqtr3d 2264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
47	46	oveq2d 6029	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) )
48	47	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) )
49	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> P e. Prime )
50	29	nnzd 9591	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. ZZ )
51	35, 50	zmulcld 9598	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R x. U ) e. ZZ )
52		uznn0sub 9778	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
53	1, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N - M ) e. NN0 )
54	18, 53	nnexpcld 10947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. NN )
55	54	nnzd 9591	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. ZZ )
56	55, 26	zmulcld 9598	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. ZZ )
57	39	nnzd 9591	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. ZZ )
58	56, 57	zmulcld 9598	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) e. ZZ )
59	51, 58	zaddcld 9596	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ )
60	59	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ )
61	19, 20, 3	expclzapd 10930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P ^ M ) e. CC )
62	61	mul01d 8562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. 0 ) = 0 )
63		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. 0 ) )
64	63	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = 0 <-> ( ( P ^ M ) x. 0 ) = 0 ) )
65	62, 64	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = 0 ) )
66	65	necon3d 2444	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) =/= 0 -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) )
67	36, 40, 41	divclapd 8960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R / S ) e. CC )
68	27, 30, 31	divclapd 8960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T / U ) e. CC )
69	24, 68	mulcld 8190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. CC )
70	61, 67, 69	adddid 8194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) + ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) )
71		pcaddlem.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A = ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) )
72		pcaddlem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B = ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) )
73	3	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. CC )
74	22	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. CC )
75	73, 74	pncan3d 8483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M + ( N - M ) ) = N )
76	75	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( P ^ N ) )
77		expaddzap 10835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. CC /\ P # 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ ) ) -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
78	19, 20, 3, 23, 77	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
79	76, 78	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P ^ N ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
80	79	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) x. ( T / U ) ) )
81	61, 24, 68	mulassd 8193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) x. ( T / U ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
82	72, 80, 81	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B = ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
83	71, 82	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + B ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) + ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) )
84	70, 83	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( A + B ) )
85	84	neeq1d 2418	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) =/= 0 <-> ( A + B ) =/= 0 ) )
86	46	neeq1d 2418	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 <-> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 ) )
87	66, 85, 86	3imtr3d 202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 ) )
88	39, 29	nnmulcld 9182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S x. U ) e. NN )
89	88	nncnd 9147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S x. U ) e. CC )
90	40, 30, 41, 31	mulap0d 8828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S x. U ) # 0 )
91	89, 90	div0apd 8957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 / ( S x. U ) ) = 0 )
92		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = ( 0 / ( S x. U ) ) )
93	92	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = 0 <-> ( 0 / ( S x. U ) ) = 0 ) )
94	91, 93	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = 0 ) )
95	94	necon3d 2444	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) )
96	87, 95	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) )
97	96	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 )
98	88	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( S x. U ) e. NN )
99		pcdiv 12865	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ /\ ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) /\ ( S x. U ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) )
100	49, 60, 97, 98, 99	syl121anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) )
101	39	nnne0d 9178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S =/= 0 )
102	29	nnne0d 9178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U =/= 0 )
103		pcmul 12864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( S e. ZZ /\ S =/= 0 ) /\ ( U e. ZZ /\ U =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) )
104	8, 57, 101, 50, 102, 103	syl122anc 1280	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) )
105	38	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. P || S )
106		pceq0 12885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ S e. NN ) -> ( ( P pCnt S ) = 0 <-> -. P || S ) )
107	8, 39, 106	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) = 0 <-> -. P || S ) )
108	105, 107	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt S ) = 0 )
109	28	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. P || U )
110		pceq0 12885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ U e. NN ) -> ( ( P pCnt U ) = 0 <-> -. P || U ) )
111	8, 29, 110	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P pCnt U ) = 0 <-> -. P || U ) )
112	109, 111	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt U ) = 0 )
113	108, 112	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) = ( 0 + 0 ) )
114		00id 8310	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
115	113, 114	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) = 0 )
116	104, 115	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = 0 )
117	116	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) )
118	117	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) )
119		pczcl 12861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ /\ ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. NN0 )
120	49, 60, 97, 119	syl12anc 1269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. NN0 )
121	120	nn0cnd 9447	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. CC )
122	121	subid1d 8469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
123	118, 122	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
124	48, 100, 123	3eqtrd 2266	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
125	124, 120	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) e. NN0 )
126		nn0addge1 9438	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) e. NN0 ) -> M <_ ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
127	16, 125, 126	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M <_ ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
128		nnq 9857	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
129	18, 128	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. QQ )
130	18	nnne0d 9178	. . . . . . 7 |- ( ph -> P =/= 0 )
131		qexpclz 10812	. . . . . . 7 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( P ^ M ) e. QQ )
132	129, 130, 3, 131	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ^ M ) e. QQ )
133	132	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P ^ M ) e. QQ )
134	19, 20, 3	expap0d 10931	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P ^ M ) # 0 )
135		0z 9480	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
136		zq 9850	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
137	135, 136	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. QQ )
138		qapne 9863	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ^ M ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( ( P ^ M ) # 0 <-> ( P ^ M ) =/= 0 ) )
139	132, 137, 138	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) # 0 <-> ( P ^ M ) =/= 0 ) )
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ^ M ) =/= 0 )
141	140	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P ^ M ) =/= 0 )
142		znq 9848	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. ZZ /\ S e. NN ) -> ( R / S ) e. QQ )
143	35, 39, 142	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R / S ) e. QQ )
144		qexpclz 10812	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ ( N - M ) e. ZZ ) -> ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ )
145	129, 130, 23, 144	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ )
146		znq 9848	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. ZZ /\ U e. NN ) -> ( T / U ) e. QQ )
147	26, 29, 146	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T / U ) e. QQ )
148		qmulcl 9861	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ /\ ( T / U ) e. QQ ) -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
149	145, 147, 148	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
150		qaddcl 9859	. . . . . . 7 |- ( ( ( R / S ) e. QQ /\ ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
151	143, 149, 150	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
152	151	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
153	85, 66	sylbird 170	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) )
154	153	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 )
155		pcqmul 12866	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( P ^ M ) e. QQ /\ ( P ^ M ) =/= 0 ) /\ ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ /\ ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
156	49, 133, 141, 152, 154, 155	syl122anc 1280	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
157	84	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( P pCnt ( A + B ) ) )
158	157	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( P pCnt ( A + B ) ) )
159		pcid 12887	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ ) -> ( P pCnt ( P ^ M ) ) = M )
160	8, 3, 159	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P pCnt ( P ^ M ) ) = M )
161	160	oveq1d 6028	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
162	161	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
163	156, 158, 162	3eqtr3d 2270	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( A + B ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
164	127, 163	breqtrrd 4114	. 2 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
165		qmulcl 9861	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ^ M ) e. QQ /\ ( R / S ) e. QQ ) -> ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) e. QQ )
166	132, 143, 165	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) e. QQ )
167	71, 166	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ph -> A e. QQ )
168		qexpclz 10812	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( P ^ N ) e. QQ )
169	129, 130, 22, 168	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P ^ N ) e. QQ )
170		qmulcl 9861	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ^ N ) e. QQ /\ ( T / U ) e. QQ ) -> ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
171	169, 147, 170	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
172	72, 171	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ph -> B e. QQ )
173		qaddcl 9859	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. QQ )
174	167, 172, 173	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( A + B ) e. QQ )
175		qdceq 10494	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> DECID ( A + B ) = 0 )
176	174, 137, 175	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> DECID ( A + B ) = 0 )
177		dcne 2411	. . 3 |- (DECID ( A + B ) = 0 <-> ( ( A + B ) = 0 \/ ( A + B ) =/= 0 ) )
178	176, 177	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( ( A + B ) = 0 \/ ( A + B ) =/= 0 ) )
179	15, 164, 178	mpjaodan 803	1 |- ( ph -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   + caddc 8025   x. cmul 8027   +oocpnf 8201   RR*cxr 8203   <_ cle 8205   - cmin 8340   # cap 8751   / cdiv 8842   NNcn 9133   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   QQcq 9843   ^cexp 10790   || cdvds 12338   Primecprime 12669   pCnt cpc 12847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-dvds 12339  df-gcd 12515  df-prm 12670  df-pc 12848

This theorem is referenced by:  pcadd  12903