Theorem pcaddlem 12340

Description: Lemma for pcadd 12341. The original numbers A and B have been decomposed using the prime count function as ( P ^ M ) x. ( R / S ) where R , S are both not divisible by P and M = ( P pCnt A ), and similarly for B. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcaddlem.1	|- ( ph -> P e. Prime )
pcaddlem.2	|- ( ph -> A = ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) )
pcaddlem.3	|- ( ph -> B = ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) )
pcaddlem.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
pcaddlem.5	|- ( ph -> ( R e. ZZ /\ -. P || R ) )
pcaddlem.6	|- ( ph -> ( S e. NN /\ -. P || S ) )
pcaddlem.7	|- ( ph -> ( T e. ZZ /\ -. P || T ) )
pcaddlem.8	|- ( ph -> ( U e. NN /\ -. P || U ) )

Assertion

Ref	Expression
pcaddlem	|- ( ph -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Proof of Theorem pcaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcaddlem.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 9535	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	3	zred 9377	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
5	4	rexrd 8009	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR* )
6		pnfge 9791	. . . . . 6 |- ( M e. RR* -> M <_ +oo )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M <_ +oo )
8		pcaddlem.1	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. Prime )
9		pc0 12306	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
11	7, 10	breqtrrd 4033	. . . 4 |- ( ph -> M <_ ( P pCnt 0 ) )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> M <_ ( P pCnt 0 ) )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> ( A + B ) = 0 )
14	13	oveq2d 5893	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> ( P pCnt ( A + B ) ) = ( P pCnt 0 ) )
15	12, 14	breqtrrd 4033	. 2 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
16	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M e. RR )
17		prmnn 12112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
18	8, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN )
19	18	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. CC )
20	18	nnap0d 8967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P # 0 )
21		eluzelz 9539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
22	1, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
23	22, 3	zsubcld 9382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - M ) e. ZZ )
24	19, 20, 23	expclzapd 10661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. CC )
25		pcaddlem.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T e. ZZ /\ -. P || T ) )
26	25	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. ZZ )
27	26	zcnd 9378	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. CC )
28		pcaddlem.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U e. NN /\ -. P || U ) )
29	28	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. NN )
30	29	nncnd 8935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. CC )
31	29	nnap0d 8967	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U # 0 )
32	24, 27, 30, 31	divassapd 8785	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) = ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) )
33	32	oveq2d 5893	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
34		pcaddlem.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( R e. ZZ /\ -. P || R ) )
35	34	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. ZZ )
36	35	zcnd 9378	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. CC )
37	24, 27	mulcld 7980	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. CC )
38		pcaddlem.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S e. NN /\ -. P || S ) )
39	38	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. NN )
40	39	nncnd 8935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. CC )
41	39	nnap0d 8967	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S # 0 )
42	40, 41	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S e. CC /\ S # 0 ) )
43	30, 31	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U e. CC /\ U # 0 ) )
44		divadddivap 8686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CC /\ ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. CC ) /\ ( ( S e. CC /\ S # 0 ) /\ ( U e. CC /\ U # 0 ) ) ) -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
45	36, 37, 42, 43, 44	syl22anc 1239	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
46	33, 45	eqtr3d 2212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
47	46	oveq2d 5893	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) )
48	47	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) )
49	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> P e. Prime )
50	29	nnzd 9376	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. ZZ )
51	35, 50	zmulcld 9383	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R x. U ) e. ZZ )
52		uznn0sub 9561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
53	1, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N - M ) e. NN0 )
54	18, 53	nnexpcld 10678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. NN )
55	54	nnzd 9376	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. ZZ )
56	55, 26	zmulcld 9383	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. ZZ )
57	39	nnzd 9376	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. ZZ )
58	56, 57	zmulcld 9383	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) e. ZZ )
59	51, 58	zaddcld 9381	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ )
60	59	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ )
61	19, 20, 3	expclzapd 10661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P ^ M ) e. CC )
62	61	mul01d 8352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. 0 ) = 0 )
63		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. 0 ) )
64	63	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = 0 <-> ( ( P ^ M ) x. 0 ) = 0 ) )
65	62, 64	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = 0 ) )
66	65	necon3d 2391	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) =/= 0 -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) )
67	36, 40, 41	divclapd 8749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R / S ) e. CC )
68	27, 30, 31	divclapd 8749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T / U ) e. CC )
69	24, 68	mulcld 7980	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. CC )
70	61, 67, 69	adddid 7984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) + ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) )
71		pcaddlem.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A = ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) )
72		pcaddlem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B = ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) )
73	3	zcnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. CC )
74	22	zcnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. CC )
75	73, 74	pncan3d 8273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M + ( N - M ) ) = N )
76	75	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( P ^ N ) )
77		expaddzap 10566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. CC /\ P # 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ ) ) -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
78	19, 20, 3, 23, 77	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
79	76, 78	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P ^ N ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
80	79	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) x. ( T / U ) ) )
81	61, 24, 68	mulassd 7983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) x. ( T / U ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
82	72, 80, 81	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B = ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
83	71, 82	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + B ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) + ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) )
84	70, 83	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( A + B ) )
85	84	neeq1d 2365	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) =/= 0 <-> ( A + B ) =/= 0 ) )
86	46	neeq1d 2365	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 <-> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 ) )
87	66, 85, 86	3imtr3d 202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 ) )
88	39, 29	nnmulcld 8970	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S x. U ) e. NN )
89	88	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S x. U ) e. CC )
90	40, 30, 41, 31	mulap0d 8617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S x. U ) # 0 )
91	89, 90	div0apd 8746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 / ( S x. U ) ) = 0 )
92		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = ( 0 / ( S x. U ) ) )
93	92	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = 0 <-> ( 0 / ( S x. U ) ) = 0 ) )
94	91, 93	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = 0 ) )
95	94	necon3d 2391	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) )
96	87, 95	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) )
97	96	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 )
98	88	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( S x. U ) e. NN )
99		pcdiv 12304	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ /\ ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) /\ ( S x. U ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) )
100	49, 60, 97, 98, 99	syl121anc 1243	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) )
101	39	nnne0d 8966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S =/= 0 )
102	29	nnne0d 8966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U =/= 0 )
103		pcmul 12303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( S e. ZZ /\ S =/= 0 ) /\ ( U e. ZZ /\ U =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) )
104	8, 57, 101, 50, 102, 103	syl122anc 1247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) )
105	38	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. P || S )
106		pceq0 12323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ S e. NN ) -> ( ( P pCnt S ) = 0 <-> -. P || S ) )
107	8, 39, 106	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) = 0 <-> -. P || S ) )
108	105, 107	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt S ) = 0 )
109	28	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. P || U )
110		pceq0 12323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ U e. NN ) -> ( ( P pCnt U ) = 0 <-> -. P || U ) )
111	8, 29, 110	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P pCnt U ) = 0 <-> -. P || U ) )
112	109, 111	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt U ) = 0 )
113	108, 112	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) = ( 0 + 0 ) )
114		00id 8100	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
115	113, 114	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) = 0 )
116	104, 115	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = 0 )
117	116	oveq2d 5893	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) )
118	117	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) )
119		pczcl 12300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ /\ ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. NN0 )
120	49, 60, 97, 119	syl12anc 1236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. NN0 )
121	120	nn0cnd 9233	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. CC )
122	121	subid1d 8259	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
123	118, 122	eqtrd 2210	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
124	48, 100, 123	3eqtrd 2214	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
125	124, 120	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) e. NN0 )
126		nn0addge1 9224	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) e. NN0 ) -> M <_ ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
127	16, 125, 126	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M <_ ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
128		nnq 9635	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
129	18, 128	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. QQ )
130	18	nnne0d 8966	. . . . . . 7 |- ( ph -> P =/= 0 )
131		qexpclz 10543	. . . . . . 7 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( P ^ M ) e. QQ )
132	129, 130, 3, 131	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ^ M ) e. QQ )
133	132	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P ^ M ) e. QQ )
134	19, 20, 3	expap0d 10662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P ^ M ) # 0 )
135		0z 9266	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
136		zq 9628	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
137	135, 136	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. QQ )
138		qapne 9641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ^ M ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( ( P ^ M ) # 0 <-> ( P ^ M ) =/= 0 ) )
139	132, 137, 138	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) # 0 <-> ( P ^ M ) =/= 0 ) )
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ^ M ) =/= 0 )
141	140	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P ^ M ) =/= 0 )
142		znq 9626	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. ZZ /\ S e. NN ) -> ( R / S ) e. QQ )
143	35, 39, 142	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R / S ) e. QQ )
144		qexpclz 10543	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ ( N - M ) e. ZZ ) -> ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ )
145	129, 130, 23, 144	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ )
146		znq 9626	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. ZZ /\ U e. NN ) -> ( T / U ) e. QQ )
147	26, 29, 146	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T / U ) e. QQ )
148		qmulcl 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ /\ ( T / U ) e. QQ ) -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
149	145, 147, 148	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
150		qaddcl 9637	. . . . . . 7 |- ( ( ( R / S ) e. QQ /\ ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
151	143, 149, 150	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
152	151	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
153	85, 66	sylbird 170	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) )
154	153	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 )
155		pcqmul 12305	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( P ^ M ) e. QQ /\ ( P ^ M ) =/= 0 ) /\ ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ /\ ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
156	49, 133, 141, 152, 154, 155	syl122anc 1247	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
157	84	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( P pCnt ( A + B ) ) )
158	157	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( P pCnt ( A + B ) ) )
159		pcid 12325	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ ) -> ( P pCnt ( P ^ M ) ) = M )
160	8, 3, 159	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P pCnt ( P ^ M ) ) = M )
161	160	oveq1d 5892	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
162	161	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
163	156, 158, 162	3eqtr3d 2218	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( A + B ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
164	127, 163	breqtrrd 4033	. 2 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
165		qmulcl 9639	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ^ M ) e. QQ /\ ( R / S ) e. QQ ) -> ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) e. QQ )
166	132, 143, 165	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) e. QQ )
167	71, 166	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ph -> A e. QQ )
168		qexpclz 10543	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( P ^ N ) e. QQ )
169	129, 130, 22, 168	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P ^ N ) e. QQ )
170		qmulcl 9639	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ^ N ) e. QQ /\ ( T / U ) e. QQ ) -> ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
171	169, 147, 170	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
172	72, 171	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ph -> B e. QQ )
173		qaddcl 9637	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. QQ )
174	167, 172, 173	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( A + B ) e. QQ )
175		qdceq 10249	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> DECID ( A + B ) = 0 )
176	174, 137, 175	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> DECID ( A + B ) = 0 )
177		dcne 2358	. . 3 |- (DECID ( A + B ) = 0 <-> ( ( A + B ) = 0 \/ ( A + B ) =/= 0 ) )
178	176, 177	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( ( A + B ) = 0 \/ ( A + B ) =/= 0 ) )
179	15, 164, 178	mpjaodan 798	1 |- ( ph -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   + caddc 7816   x. cmul 7818   +oocpnf 7991   RR*cxr 7993   <_ cle 7995   - cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   QQcq 9621   ^cexp 10521   || cdvds 11796   Primecprime 12109   pCnt cpc 12286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110  df-pc 12287

This theorem is referenced by:  pcadd  12341