Theorem pcaddlem 12356

Description: Lemma for pcadd 12357. The original numbers A and B have been decomposed using the prime count function as ( P ^ M ) x. ( R / S ) where R , S are both not divisible by P and M = ( P pCnt A ), and similarly for B. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcaddlem.1	|- ( ph -> P e. Prime )
pcaddlem.2	|- ( ph -> A = ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) )
pcaddlem.3	|- ( ph -> B = ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) )
pcaddlem.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
pcaddlem.5	|- ( ph -> ( R e. ZZ /\ -. P || R ) )
pcaddlem.6	|- ( ph -> ( S e. NN /\ -. P || S ) )
pcaddlem.7	|- ( ph -> ( T e. ZZ /\ -. P || T ) )
pcaddlem.8	|- ( ph -> ( U e. NN /\ -. P || U ) )

Assertion

Ref	Expression
pcaddlem	|- ( ph -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Proof of Theorem pcaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcaddlem.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 9551	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	3	zred 9393	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
5	4	rexrd 8025	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR* )
6		pnfge 9807	. . . . . 6 |- ( M e. RR* -> M <_ +oo )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M <_ +oo )
8		pcaddlem.1	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. Prime )
9		pc0 12322	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
11	7, 10	breqtrrd 4046	. . . 4 |- ( ph -> M <_ ( P pCnt 0 ) )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> M <_ ( P pCnt 0 ) )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> ( A + B ) = 0 )
14	13	oveq2d 5907	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> ( P pCnt ( A + B ) ) = ( P pCnt 0 ) )
15	12, 14	breqtrrd 4046	. 2 |- ( ( ph /\ ( A + B ) = 0 ) -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
16	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M e. RR )
17		prmnn 12128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
18	8, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN )
19	18	nncnd 8951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. CC )
20	18	nnap0d 8983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P # 0 )
21		eluzelz 9555	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
22	1, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
23	22, 3	zsubcld 9398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - M ) e. ZZ )
24	19, 20, 23	expclzapd 10677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. CC )
25		pcaddlem.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T e. ZZ /\ -. P || T ) )
26	25	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. ZZ )
27	26	zcnd 9394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. CC )
28		pcaddlem.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U e. NN /\ -. P || U ) )
29	28	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. NN )
30	29	nncnd 8951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. CC )
31	29	nnap0d 8983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U # 0 )
32	24, 27, 30, 31	divassapd 8801	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) = ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) )
33	32	oveq2d 5907	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
34		pcaddlem.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( R e. ZZ /\ -. P || R ) )
35	34	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. ZZ )
36	35	zcnd 9394	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. CC )
37	24, 27	mulcld 7996	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. CC )
38		pcaddlem.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S e. NN /\ -. P || S ) )
39	38	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. NN )
40	39	nncnd 8951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. CC )
41	39	nnap0d 8983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S # 0 )
42	40, 41	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S e. CC /\ S # 0 ) )
43	30, 31	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U e. CC /\ U # 0 ) )
44		divadddivap 8702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CC /\ ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. CC ) /\ ( ( S e. CC /\ S # 0 ) /\ ( U e. CC /\ U # 0 ) ) ) -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
45	36, 37, 42, 43, 44	syl22anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) / U ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
46	33, 45	eqtr3d 2224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) )
47	46	oveq2d 5907	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) )
48	47	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) )
49	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> P e. Prime )
50	29	nnzd 9392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. ZZ )
51	35, 50	zmulcld 9399	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R x. U ) e. ZZ )
52		uznn0sub 9577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
53	1, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N - M ) e. NN0 )
54	18, 53	nnexpcld 10694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. NN )
55	54	nnzd 9392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. ZZ )
56	55, 26	zmulcld 9399	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) e. ZZ )
57	39	nnzd 9392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. ZZ )
58	56, 57	zmulcld 9399	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) e. ZZ )
59	51, 58	zaddcld 9397	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ )
60	59	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ )
61	19, 20, 3	expclzapd 10677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P ^ M ) e. CC )
62	61	mul01d 8368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. 0 ) = 0 )
63		oveq2 5899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. 0 ) )
64	63	eqeq1d 2198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = 0 <-> ( ( P ^ M ) x. 0 ) = 0 ) )
65	62, 64	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) = 0 -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = 0 ) )
66	65	necon3d 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) =/= 0 -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) )
67	36, 40, 41	divclapd 8765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R / S ) e. CC )
68	27, 30, 31	divclapd 8765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T / U ) e. CC )
69	24, 68	mulcld 7996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. CC )
70	61, 67, 69	adddid 8000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) + ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) )
71		pcaddlem.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A = ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) )
72		pcaddlem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B = ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) )
73	3	zcnd 9394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. CC )
74	22	zcnd 9394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. CC )
75	73, 74	pncan3d 8289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M + ( N - M ) ) = N )
76	75	oveq2d 5907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( P ^ N ) )
77		expaddzap 10582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. CC /\ P # 0 ) /\ ( M e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ ) ) -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
78	19, 20, 3, 23, 77	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ ( M + ( N - M ) ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
79	76, 78	eqtr3d 2224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P ^ N ) = ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) )
80	79	oveq1d 5906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) x. ( T / U ) ) )
81	61, 24, 68	mulassd 7999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( P ^ ( N - M ) ) ) x. ( T / U ) ) = ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
82	72, 80, 81	3eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B = ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) )
83	71, 82	oveq12d 5909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + B ) = ( ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) + ( ( P ^ M ) x. ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) )
84	70, 83	eqtr4d 2225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( A + B ) )
85	84	neeq1d 2378	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) =/= 0 <-> ( A + B ) =/= 0 ) )
86	46	neeq1d 2378	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 <-> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 ) )
87	66, 85, 86	3imtr3d 202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 ) )
88	39, 29	nnmulcld 8986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S x. U ) e. NN )
89	88	nncnd 8951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S x. U ) e. CC )
90	40, 30, 41, 31	mulap0d 8633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S x. U ) # 0 )
91	89, 90	div0apd 8762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 / ( S x. U ) ) = 0 )
92		oveq1 5898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = ( 0 / ( S x. U ) ) )
93	92	eqeq1d 2198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = 0 <-> ( 0 / ( S x. U ) ) = 0 ) )
94	91, 93	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) = 0 -> ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) = 0 ) )
95	94	necon3d 2404	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) =/= 0 -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) )
96	87, 95	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) )
97	96	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 )
98	88	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( S x. U ) e. NN )
99		pcdiv 12320	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ /\ ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) /\ ( S x. U ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) )
100	49, 60, 97, 98, 99	syl121anc 1254	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) / ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) )
101	39	nnne0d 8982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S =/= 0 )
102	29	nnne0d 8982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U =/= 0 )
103		pcmul 12319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( S e. ZZ /\ S =/= 0 ) /\ ( U e. ZZ /\ U =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) )
104	8, 57, 101, 50, 102, 103	syl122anc 1258	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) )
105	38	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. P || S )
106		pceq0 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ S e. NN ) -> ( ( P pCnt S ) = 0 <-> -. P || S ) )
107	8, 39, 106	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) = 0 <-> -. P || S ) )
108	105, 107	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt S ) = 0 )
109	28	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. P || U )
110		pceq0 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ U e. NN ) -> ( ( P pCnt U ) = 0 <-> -. P || U ) )
111	8, 29, 110	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P pCnt U ) = 0 <-> -. P || U ) )
112	109, 111	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt U ) = 0 )
113	108, 112	oveq12d 5909	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) = ( 0 + 0 ) )
114		00id 8116	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
115	113, 114	eqtrdi 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P pCnt S ) + ( P pCnt U ) ) = 0 )
116	104, 115	eqtrd 2222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P pCnt ( S x. U ) ) = 0 )
117	116	oveq2d 5907	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) )
118	117	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) )
119		pczcl 12316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) e. ZZ /\ ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. NN0 )
120	49, 60, 97, 119	syl12anc 1247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. NN0 )
121	120	nn0cnd 9249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) e. CC )
122	121	subid1d 8275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - 0 ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
123	118, 122	eqtrd 2222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) - ( P pCnt ( S x. U ) ) ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
124	48, 100, 123	3eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) = ( P pCnt ( ( R x. U ) + ( ( ( P ^ ( N - M ) ) x. T ) x. S ) ) ) )
125	124, 120	eqeltrd 2266	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) e. NN0 )
126		nn0addge1 9240	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) e. NN0 ) -> M <_ ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
127	16, 125, 126	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M <_ ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
128		nnq 9651	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
129	18, 128	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. QQ )
130	18	nnne0d 8982	. . . . . . 7 |- ( ph -> P =/= 0 )
131		qexpclz 10559	. . . . . . 7 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( P ^ M ) e. QQ )
132	129, 130, 3, 131	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ^ M ) e. QQ )
133	132	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P ^ M ) e. QQ )
134	19, 20, 3	expap0d 10678	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P ^ M ) # 0 )
135		0z 9282	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
136		zq 9644	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
137	135, 136	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. QQ )
138		qapne 9657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ^ M ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( ( P ^ M ) # 0 <-> ( P ^ M ) =/= 0 ) )
139	132, 137, 138	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) # 0 <-> ( P ^ M ) =/= 0 ) )
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ^ M ) =/= 0 )
141	140	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P ^ M ) =/= 0 )
142		znq 9642	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. ZZ /\ S e. NN ) -> ( R / S ) e. QQ )
143	35, 39, 142	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R / S ) e. QQ )
144		qexpclz 10559	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ ( N - M ) e. ZZ ) -> ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ )
145	129, 130, 23, 144	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ )
146		znq 9642	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. ZZ /\ U e. NN ) -> ( T / U ) e. QQ )
147	26, 29, 146	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T / U ) e. QQ )
148		qmulcl 9655	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ^ ( N - M ) ) e. QQ /\ ( T / U ) e. QQ ) -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
149	145, 147, 148	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
150		qaddcl 9653	. . . . . . 7 |- ( ( ( R / S ) e. QQ /\ ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) e. QQ ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
151	143, 149, 150	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
152	151	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ )
153	85, 66	sylbird 170	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= 0 -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) )
154	153	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 )
155		pcqmul 12321	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( P ^ M ) e. QQ /\ ( P ^ M ) =/= 0 ) /\ ( ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) e. QQ /\ ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
156	49, 133, 141, 152, 154, 155	syl122anc 1258	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
157	84	oveq2d 5907	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( P pCnt ( A + B ) ) )
158	157	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( ( P ^ M ) x. ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( P pCnt ( A + B ) ) )
159		pcid 12341	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ ) -> ( P pCnt ( P ^ M ) ) = M )
160	8, 3, 159	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P pCnt ( P ^ M ) ) = M )
161	160	oveq1d 5906	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
162	161	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( ( P pCnt ( P ^ M ) ) + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
163	156, 158, 162	3eqtr3d 2230	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> ( P pCnt ( A + B ) ) = ( M + ( P pCnt ( ( R / S ) + ( ( P ^ ( N - M ) ) x. ( T / U ) ) ) ) ) )
164	127, 163	breqtrrd 4046	. 2 |- ( ( ph /\ ( A + B ) =/= 0 ) -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
165		qmulcl 9655	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ^ M ) e. QQ /\ ( R / S ) e. QQ ) -> ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) e. QQ )
166	132, 143, 165	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P ^ M ) x. ( R / S ) ) e. QQ )
167	71, 166	eqeltrd 2266	. . . . 5 |- ( ph -> A e. QQ )
168		qexpclz 10559	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. QQ /\ P =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( P ^ N ) e. QQ )
169	129, 130, 22, 168	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P ^ N ) e. QQ )
170		qmulcl 9655	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ^ N ) e. QQ /\ ( T / U ) e. QQ ) -> ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
171	169, 147, 170	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P ^ N ) x. ( T / U ) ) e. QQ )
172	72, 171	eqeltrd 2266	. . . . 5 |- ( ph -> B e. QQ )
173		qaddcl 9653	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. QQ )
174	167, 172, 173	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( A + B ) e. QQ )
175		qdceq 10265	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> DECID ( A + B ) = 0 )
176	174, 137, 175	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> DECID ( A + B ) = 0 )
177		dcne 2371	. . 3 |- (DECID ( A + B ) = 0 <-> ( ( A + B ) = 0 \/ ( A + B ) =/= 0 ) )
178	176, 177	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( ( A + B ) = 0 \/ ( A + B ) =/= 0 ) )
179	15, 164, 178	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> M <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   CCcc 7827   RRcr 7828   0cc0 7829   + caddc 7832   x. cmul 7834   +oocpnf 8007   RR*cxr 8009   <_ cle 8011   - cmin 8146   # cap 8556   / cdiv 8647   NNcn 8937   NN0cn0 9194   ZZcz 9271   ZZ>=cuz 9546   QQcq 9637   ^cexp 10537   || cdvds 11812   Primecprime 12125   pCnt cpc 12302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-1o 6435  df-2o 6436  df-er 6553  df-en 6759  df-sup 7001  df-inf 7002  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-fz 10027  df-fzo 10161  df-fl 10288  df-mod 10341  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-dvds 11813  df-gcd 11962  df-prm 12126  df-pc 12303

This theorem is referenced by:  pcadd  12357