Theorem nn0addge1 9160

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addge1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))

Proof of Theorem nn0addge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9123	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nn0ge0 9139	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
3	1, 2	jca 304	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
4		addge01 8370	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁)))
5	4	biimp3a 1335	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))
6	5	3expb 1194	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁)) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))
7	3, 6	sylan2 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753   + caddc 7756   ≤ cle 7934  ℕ₀cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-inn 8858  df-n0 9115

This theorem is referenced by:  nn0addge1i  9162  fzctr  10068  nn0opthlem2d  10634  pcaddlem  12270