ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0addge1 GIF version

Theorem nn0addge1 8817
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0addge1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))

Proof of Theorem nn0addge1
StepHypRef Expression
1 nn0re 8780 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 nn0ge0 8796 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
31, 2jca 301 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
4 addge01 8047 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁)))
54biimp3a 1288 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))
653expb 1147 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁)) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))
73, 6sylan2 281 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  cr 7446  0cc0 7447   + caddc 7450  cle 7620  0cn0 8771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-xp 4473  df-cnv 4475  df-iota 5014  df-fv 5057  df-ov 5693  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-inn 8521  df-n0 8772
This theorem is referenced by:  nn0addge1i  8819  fzctr  9693  nn0opthlem2d  10244
  Copyright terms: Public domain W3C validator