ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0addge1 GIF version

Theorem nn0addge1 8780
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0addge1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))

Proof of Theorem nn0addge1
StepHypRef Expression
1 nn0re 8743 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 nn0ge0 8759 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
31, 2jca 301 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
4 addge01 8011 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁)))
54biimp3a 1282 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))
653expb 1145 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁)) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))
73, 6sylan2 281 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  cr 7410  0cc0 7411   + caddc 7414  cle 7584  0cn0 8734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4458  df-cnv 4460  df-iota 4993  df-fv 5036  df-ov 5669  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-inn 8484  df-n0 8735
This theorem is referenced by:  nn0addge1i  8782  fzctr  9605  nn0opthlem2d  10190
  Copyright terms: Public domain W3C validator