Theorem nqprdisj 7572

Description: A cut produced from a rational is disjoint. Lemma for nqprlu 7575. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprdisj	|- ( A e. Q. -> A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) )

Distinct variable group:   x, A, q

Proof of Theorem nqprdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 7426	. . . . 5 |- <Q Or Q.
2		ltrelnq 7393	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	1, 2	son2lpi 5043	. . . 4 |- -. ( q <Q A /\ A <Q q )
4		vex 2755	. . . . . 6 |- q e. _V
5		breq1 4021	. . . . . 6 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
6	4, 5	elab 2896	. . . . 5 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
7		breq2 4022	. . . . . 6 |- ( x = q -> ( A <Q x <-> A <Q q ) )
8	4, 7	elab 2896	. . . . 5 |- ( q e. { x | A <Q x } <-> A <Q q )
9	6, 8	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) <-> ( q <Q A /\ A <Q q ) )
10	3, 9	mtbir 672	. . 3 |- -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } )
11	10	rgenw 2545	. 2 |- A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } )
12	11	a1i 9	1 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   class class class wbr 4018   Q.cnq 7308   <Q cltq 7313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-oadd 6444  df-omul 6445  df-er 6558  df-ec 6560  df-qs 6564  df-ni 7332  df-mi 7334  df-lti 7335  df-enq 7375  df-nqqs 7376  df-ltnqqs 7381

This theorem is referenced by:  nqprxx  7574