Theorem nqprdisj 7742

Description: A cut produced from a rational is disjoint. Lemma for nqprlu 7745. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprdisj	|- ( A e. Q. -> A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) )

Distinct variable group:   x, A, q

Proof of Theorem nqprdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 7596	. . . . 5 |- <Q Or Q.
2		ltrelnq 7563	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	1, 2	son2lpi 5125	. . . 4 |- -. ( q <Q A /\ A <Q q )
4		vex 2802	. . . . . 6 |- q e. _V
5		breq1 4086	. . . . . 6 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
6	4, 5	elab 2947	. . . . 5 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
7		breq2 4087	. . . . . 6 |- ( x = q -> ( A <Q x <-> A <Q q ) )
8	4, 7	elab 2947	. . . . 5 |- ( q e. { x | A <Q x } <-> A <Q q )
9	6, 8	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) <-> ( q <Q A /\ A <Q q ) )
10	3, 9	mtbir 675	. . 3 |- -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } )
11	10	rgenw 2585	. 2 |- A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } )
12	11	a1i 9	1 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   class class class wbr 4083   Q.cnq 7478   <Q cltq 7483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7502  df-mi 7504  df-lti 7505  df-enq 7545  df-nqqs 7546  df-ltnqqs 7551

This theorem is referenced by:  nqprxx  7744