Theorem nqprdisj 7628

Description: A cut produced from a rational is disjoint. Lemma for nqprlu 7631. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprdisj	|- ( A e. Q. -> A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) )

Distinct variable group:   x, A, q

Proof of Theorem nqprdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 7482	. . . . 5 |- <Q Or Q.
2		ltrelnq 7449	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	1, 2	son2lpi 5067	. . . 4 |- -. ( q <Q A /\ A <Q q )
4		vex 2766	. . . . . 6 |- q e. _V
5		breq1 4037	. . . . . 6 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
6	4, 5	elab 2908	. . . . 5 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
7		breq2 4038	. . . . . 6 |- ( x = q -> ( A <Q x <-> A <Q q ) )
8	4, 7	elab 2908	. . . . 5 |- ( q e. { x | A <Q x } <-> A <Q q )
9	6, 8	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) <-> ( q <Q A /\ A <Q q ) )
10	3, 9	mtbir 672	. . 3 |- -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } )
11	10	rgenw 2552	. 2 |- A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } )
12	11	a1i 9	1 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   class class class wbr 4034   Q.cnq 7364   <Q cltq 7369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-mi 7390  df-lti 7391  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-ltnqqs 7437

This theorem is referenced by:  nqprxx  7630