ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprdisj Unicode version

Theorem nqprdisj 7316
Description: A cut produced from a rational is disjoint. Lemma for nqprlu 7319. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprdisj  |-  ( A  e.  Q.  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x }
) )
Distinct variable group:    x, A, q

Proof of Theorem nqprdisj
StepHypRef Expression
1 ltsonq 7170 . . . . 5  |-  <Q  Or  Q.
2 ltrelnq 7137 . . . . 5  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
31, 2son2lpi 4903 . . . 4  |-  -.  (
q  <Q  A  /\  A  <Q  q )
4 vex 2661 . . . . . 6  |-  q  e. 
_V
5 breq1 3900 . . . . . 6  |-  ( x  =  q  ->  (
x  <Q  A  <->  q  <Q  A ) )
64, 5elab 2800 . . . . 5  |-  ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  q 
<Q  A )
7 breq2 3901 . . . . . 6  |-  ( x  =  q  ->  ( A  <Q  x  <->  A  <Q  q ) )
84, 7elab 2800 . . . . 5  |-  ( q  e.  { x  |  A  <Q  x }  <->  A 
<Q  q )
96, 8anbi12i 453 . . . 4  |-  ( ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x }
)  <->  ( q  <Q  A  /\  A  <Q  q
) )
103, 9mtbir 643 . . 3  |-  -.  (
q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x }
)
1110rgenw 2462 . 2  |-  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x }
)
1211a1i 9 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1463   {cab 2101   A.wral 2391   class class class wbr 3897   Q.cnq 7052    <Q cltq 7057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-mi 7078  df-lti 7079  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-ltnqqs 7125
This theorem is referenced by:  nqprxx  7318
  Copyright terms: Public domain W3C validator