ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprdisj Unicode version

Theorem nqprdisj 7572
Description: A cut produced from a rational is disjoint. Lemma for nqprlu 7575. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprdisj  |-  ( A  e.  Q.  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x }
) )
Distinct variable group:    x, A, q

Proof of Theorem nqprdisj
StepHypRef Expression
1 ltsonq 7426 . . . . 5  |-  <Q  Or  Q.
2 ltrelnq 7393 . . . . 5  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
31, 2son2lpi 5043 . . . 4  |-  -.  (
q  <Q  A  /\  A  <Q  q )
4 vex 2755 . . . . . 6  |-  q  e. 
_V
5 breq1 4021 . . . . . 6  |-  ( x  =  q  ->  (
x  <Q  A  <->  q  <Q  A ) )
64, 5elab 2896 . . . . 5  |-  ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  q 
<Q  A )
7 breq2 4022 . . . . . 6  |-  ( x  =  q  ->  ( A  <Q  x  <->  A  <Q  q ) )
84, 7elab 2896 . . . . 5  |-  ( q  e.  { x  |  A  <Q  x }  <->  A 
<Q  q )
96, 8anbi12i 460 . . . 4  |-  ( ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x }
)  <->  ( q  <Q  A  /\  A  <Q  q
) )
103, 9mtbir 672 . . 3  |-  -.  (
q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x }
)
1110rgenw 2545 . 2  |-  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x }
)
1211a1i 9 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   class class class wbr 4018   Q.cnq 7308    <Q cltq 7313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-oadd 6444  df-omul 6445  df-er 6558  df-ec 6560  df-qs 6564  df-ni 7332  df-mi 7334  df-lti 7335  df-enq 7375  df-nqqs 7376  df-ltnqqs 7381
This theorem is referenced by:  nqprxx  7574
  Copyright terms: Public domain W3C validator