Theorem nqprxx 7545

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals, expressed with the same variable for the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprxx	|- ( A e. Q. -> <. { x | x <Q A } , { x | A <Q x } >. e. P. )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem nqprxx

Dummy variables r q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqprm 7541	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) )
2		ltrelnq 7364	. . . . . . 7 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4679	. . . . . 6 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 112	. . . . 5 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3231	. . . 4 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	2	brel 4679	. . . . . 6 |- ( A <Q x -> ( A e. Q. /\ x e. Q. ) )
7	6	simprd 114	. . . . 5 |- ( A <Q x -> x e. Q. )
8	7	abssi 3231	. . . 4 |- { x | A <Q x } C_ Q.
9	5, 8	pm3.2i 272	. . 3 |- ( { x | x <Q A } C_ Q. /\ { x | A <Q x } C_ Q. )
10	1, 9	jctil 312	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( { x | x <Q A } C_ Q. /\ { x | A <Q x } C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) ) )
11		nqprrnd 7542	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) )
12		nqprdisj 7543	. . 3 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) )
13		nqprloc 7544	. . 3 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
14	11, 12, 13	3jca 1177	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) ) )
15		elinp 7473	. 2 |- ( <. { x | x <Q A } , { x | A <Q x } >. e. P. <-> ( ( ( { x | x <Q A } C_ Q. /\ { x | A <Q x } C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) ) ) )
16	10, 14, 15	sylanbrc 417	1 |- ( A e. Q. -> <. { x | x <Q A } , { x | A <Q x } >. e. P. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3130   <.cop 3596   class class class wbr 4004   Q.cnq 7279   <Q cltq 7284   P.cnp 7290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-inp 7465

This theorem is referenced by:  nqprlu  7546