Theorem nqprxx 7661

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals, expressed with the same variable for the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprxx	|- ( A e. Q. -> <. { x | x <Q A } , { x | A <Q x } >. e. P. )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem nqprxx

Dummy variables r q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqprm 7657	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) )
2		ltrelnq 7480	. . . . . . 7 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4728	. . . . . 6 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 112	. . . . 5 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3268	. . . 4 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	2	brel 4728	. . . . . 6 |- ( A <Q x -> ( A e. Q. /\ x e. Q. ) )
7	6	simprd 114	. . . . 5 |- ( A <Q x -> x e. Q. )
8	7	abssi 3268	. . . 4 |- { x | A <Q x } C_ Q.
9	5, 8	pm3.2i 272	. . 3 |- ( { x | x <Q A } C_ Q. /\ { x | A <Q x } C_ Q. )
10	1, 9	jctil 312	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( { x | x <Q A } C_ Q. /\ { x | A <Q x } C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) ) )
11		nqprrnd 7658	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) )
12		nqprdisj 7659	. . 3 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) )
13		nqprloc 7660	. . 3 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
14	11, 12, 13	3jca 1180	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) ) )
15		elinp 7589	. 2 |- ( <. { x | x <Q A } , { x | A <Q x } >. e. P. <-> ( ( ( { x | x <Q A } C_ Q. /\ { x | A <Q x } C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) ) ) )
16	10, 14, 15	sylanbrc 417	1 |- ( A e. Q. -> <. { x | x <Q A } , { x | A <Q x } >. e. P. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   E.wrex 2485   C_ wss 3166   <.cop 3636   class class class wbr 4045   Q.cnq 7395   <Q cltq 7400   P.cnp 7406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-eprel 4337  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-omul 6509  df-er 6622  df-ec 6624  df-qs 6628  df-ni 7419  df-pli 7420  df-mi 7421  df-lti 7422  df-plpq 7459  df-mpq 7460  df-enq 7462  df-nqqs 7463  df-plqqs 7464  df-mqqs 7465  df-1nqqs 7466  df-rq 7467  df-ltnqqs 7468  df-inp 7581

This theorem is referenced by:  nqprlu  7662