Theorem nqprxx 7508

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals, expressed with the same variable for the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprxx	|- ( A e. Q. -> <. { x | x <Q A } , { x | A <Q x } >. e. P. )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem nqprxx

Dummy variables r q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqprm 7504	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) )
2		ltrelnq 7327	. . . . . . 7 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4663	. . . . . 6 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 111	. . . . 5 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3222	. . . 4 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	2	brel 4663	. . . . . 6 |- ( A <Q x -> ( A e. Q. /\ x e. Q. ) )
7	6	simprd 113	. . . . 5 |- ( A <Q x -> x e. Q. )
8	7	abssi 3222	. . . 4 |- { x | A <Q x } C_ Q.
9	5, 8	pm3.2i 270	. . 3 |- ( { x | x <Q A } C_ Q. /\ { x | A <Q x } C_ Q. )
10	1, 9	jctil 310	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( { x | x <Q A } C_ Q. /\ { x | A <Q x } C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) ) )
11		nqprrnd 7505	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) )
12		nqprdisj 7506	. . 3 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) )
13		nqprloc 7507	. . 3 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
14	11, 12, 13	3jca 1172	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) ) )
15		elinp 7436	. 2 |- ( <. { x | x <Q A } , { x | A <Q x } >. e. P. <-> ( ( ( { x | x <Q A } C_ Q. /\ { x | A <Q x } C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) ) ) )
16	10, 14, 15	sylanbrc 415	1 |- ( A e. Q. -> <. { x | x <Q A } , { x | A <Q x } >. e. P. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   /\ w3a 973   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989   Q.cnq 7242   <Q cltq 7247   P.cnp 7253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-inp 7428

This theorem is referenced by:  nqprlu  7509