Theorem nqprxx 7694

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals, expressed with the same variable for the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprxx	|- ( A e. Q. -> <. { x | x <Q A } , { x | A <Q x } >. e. P. )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem nqprxx

Dummy variables r q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqprm 7690	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) )
2		ltrelnq 7513	. . . . . . 7 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4745	. . . . . 6 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 112	. . . . 5 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3276	. . . 4 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	2	brel 4745	. . . . . 6 |- ( A <Q x -> ( A e. Q. /\ x e. Q. ) )
7	6	simprd 114	. . . . 5 |- ( A <Q x -> x e. Q. )
8	7	abssi 3276	. . . 4 |- { x | A <Q x } C_ Q.
9	5, 8	pm3.2i 272	. . 3 |- ( { x | x <Q A } C_ Q. /\ { x | A <Q x } C_ Q. )
10	1, 9	jctil 312	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( { x | x <Q A } C_ Q. /\ { x | A <Q x } C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) ) )
11		nqprrnd 7691	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) )
12		nqprdisj 7692	. . 3 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) )
13		nqprloc 7693	. . 3 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
14	11, 12, 13	3jca 1180	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) ) )
15		elinp 7622	. 2 |- ( <. { x | x <Q A } , { x | A <Q x } >. e. P. <-> ( ( ( { x | x <Q A } C_ Q. /\ { x | A <Q x } C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. { x | x <Q A } /\ q e. { x | A <Q x } ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) ) ) )
16	10, 14, 15	sylanbrc 417	1 |- ( A e. Q. -> <. { x | x <Q A } , { x | A <Q x } >. e. P. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   E.wrex 2487   C_ wss 3174   <.cop 3646   class class class wbr 4059   Q.cnq 7428   <Q cltq 7433   P.cnp 7439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-eprel 4354  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-pli 7453  df-mi 7454  df-lti 7455  df-plpq 7492  df-mpq 7493  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-plqqs 7497  df-mqqs 7498  df-1nqqs 7499  df-rq 7500  df-ltnqqs 7501  df-inp 7614

This theorem is referenced by:  nqprlu  7695