Theorem nqprloc 7629

Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 7631. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprloc	|- ( A e. Q. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )

Distinct variable group:   x, A, r, q

Proof of Theorem nqprloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqtri3or 7480	. . . . . . 7 |- ( ( q e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( q <Q A \/ q = A \/ A <Q q ) )
2	1	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( q <Q A \/ q = A \/ A <Q q ) )
3	2	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q <Q A \/ q = A \/ A <Q q ) )
4		vex 2766	. . . . . . . . . 10 |- q e. _V
5		breq1 4037	. . . . . . . . . 10 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
6	4, 5	elab 2908	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
7	6	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( q <Q A -> q e. { x | x <Q A } )
8	7	orcd 734	. . . . . . 7 |- ( q <Q A -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q <Q A -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
10		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> q <Q r )
11		breq1 4037	. . . . . . . 8 |- ( q = A -> ( q <Q r <-> A <Q r ) )
12	10, 11	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q = A -> A <Q r ) )
13		vex 2766	. . . . . . . . 9 |- r e. _V
14		breq2 4038	. . . . . . . . 9 |- ( x = r -> ( A <Q x <-> A <Q r ) )
15	13, 14	elab 2908	. . . . . . . 8 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> A <Q r )
16		olc 712	. . . . . . . 8 |- ( r e. { x | A <Q x } -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
17	15, 16	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( A <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
18	12, 17	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q = A -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
19		ltsonq 7482	. . . . . . . . . 10 |- <Q Or Q.
20		ltrelnq 7449	. . . . . . . . . 10 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
21	19, 20	sotri 5066	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <Q q /\ q <Q r ) -> A <Q r )
22	21, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A <Q q /\ q <Q r ) -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
23	22	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( q <Q r -> ( A <Q q -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
24	23	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( A <Q q -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
25	9, 18, 24	3jaod 1315	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( ( q <Q A \/ q = A \/ A <Q q ) -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
26	3, 25	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
27	26	ex 115	. . 3 |- ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) -> ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
28	27	ralrimiva 2570	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) -> A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
29	28	ralrimiva 2570	1 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   class class class wbr 4034   Q.cnq 7364   <Q cltq 7369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-mi 7390  df-lti 7391  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-ltnqqs 7437

This theorem is referenced by:  nqprxx  7630