Theorem nqprloc 7544

Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 7546. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprloc	|- ( A e. Q. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )

Distinct variable group:   x, A, r, q

Proof of Theorem nqprloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqtri3or 7395	. . . . . . 7 |- ( ( q e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( q <Q A \/ q = A \/ A <Q q ) )
2	1	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( q <Q A \/ q = A \/ A <Q q ) )
3	2	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q <Q A \/ q = A \/ A <Q q ) )
4		vex 2741	. . . . . . . . . 10 |- q e. _V
5		breq1 4007	. . . . . . . . . 10 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
6	4, 5	elab 2882	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
7	6	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( q <Q A -> q e. { x | x <Q A } )
8	7	orcd 733	. . . . . . 7 |- ( q <Q A -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q <Q A -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
10		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> q <Q r )
11		breq1 4007	. . . . . . . 8 |- ( q = A -> ( q <Q r <-> A <Q r ) )
12	10, 11	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q = A -> A <Q r ) )
13		vex 2741	. . . . . . . . 9 |- r e. _V
14		breq2 4008	. . . . . . . . 9 |- ( x = r -> ( A <Q x <-> A <Q r ) )
15	13, 14	elab 2882	. . . . . . . 8 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> A <Q r )
16		olc 711	. . . . . . . 8 |- ( r e. { x | A <Q x } -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
17	15, 16	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( A <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
18	12, 17	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q = A -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
19		ltsonq 7397	. . . . . . . . . 10 |- <Q Or Q.
20		ltrelnq 7364	. . . . . . . . . 10 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
21	19, 20	sotri 5025	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <Q q /\ q <Q r ) -> A <Q r )
22	21, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A <Q q /\ q <Q r ) -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
23	22	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( q <Q r -> ( A <Q q -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
24	23	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( A <Q q -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
25	9, 18, 24	3jaod 1304	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( ( q <Q A \/ q = A \/ A <Q q ) -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
26	3, 25	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
27	26	ex 115	. . 3 |- ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) -> ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
28	27	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) -> A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
29	28	ralrimiva 2550	1 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   class class class wbr 4004   Q.cnq 7279   <Q cltq 7284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-mi 7305  df-lti 7306  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-ltnqqs 7352

This theorem is referenced by:  nqprxx  7545