Theorem nqprloc 7607

Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 7609. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprloc	|- ( A e. Q. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )

Distinct variable group:   x, A, r, q

Proof of Theorem nqprloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqtri3or 7458	. . . . . . 7 |- ( ( q e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( q <Q A \/ q = A \/ A <Q q ) )
2	1	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( q <Q A \/ q = A \/ A <Q q ) )
3	2	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q <Q A \/ q = A \/ A <Q q ) )
4		vex 2763	. . . . . . . . . 10 |- q e. _V
5		breq1 4033	. . . . . . . . . 10 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
6	4, 5	elab 2905	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
7	6	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( q <Q A -> q e. { x | x <Q A } )
8	7	orcd 734	. . . . . . 7 |- ( q <Q A -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q <Q A -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
10		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> q <Q r )
11		breq1 4033	. . . . . . . 8 |- ( q = A -> ( q <Q r <-> A <Q r ) )
12	10, 11	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q = A -> A <Q r ) )
13		vex 2763	. . . . . . . . 9 |- r e. _V
14		breq2 4034	. . . . . . . . 9 |- ( x = r -> ( A <Q x <-> A <Q r ) )
15	13, 14	elab 2905	. . . . . . . 8 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> A <Q r )
16		olc 712	. . . . . . . 8 |- ( r e. { x | A <Q x } -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
17	15, 16	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( A <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
18	12, 17	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q = A -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
19		ltsonq 7460	. . . . . . . . . 10 |- <Q Or Q.
20		ltrelnq 7427	. . . . . . . . . 10 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
21	19, 20	sotri 5062	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <Q q /\ q <Q r ) -> A <Q r )
22	21, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A <Q q /\ q <Q r ) -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
23	22	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( q <Q r -> ( A <Q q -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
24	23	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( A <Q q -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
25	9, 18, 24	3jaod 1315	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( ( q <Q A \/ q = A \/ A <Q q ) -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
26	3, 25	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) /\ q <Q r ) -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) )
27	26	ex 115	. . 3 |- ( ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) /\ r e. Q. ) -> ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
28	27	ralrimiva 2567	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ q e. Q. ) -> A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )
29	28	ralrimiva 2567	1 |- ( A e. Q. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. { x | x <Q A } \/ r e. { x | A <Q x } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   class class class wbr 4030   Q.cnq 7342   <Q cltq 7347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-mi 7368  df-lti 7369  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-ltnqqs 7415

This theorem is referenced by:  nqprxx  7608