Theorem nqprdisj 7855

Description: A cut produced from a rational is disjoint. Lemma for nqprlu 7858. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprdisj	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑞

Proof of Theorem nqprdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 7709	. . . . 5 ⊢ <Q Or Q
2		ltrelnq 7676	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	son2lpi 5158	. . . 4 ⊢ ¬ (𝑞 <Q 𝐴 ∧ 𝐴 <Q 𝑞)
4		vex 2815	. . . . . 6 ⊢ 𝑞 ∈ V
5		breq1 4111	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
6	4, 5	elab 2960	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
7		breq2 4112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑞))
8	4, 7	elab 2960	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑞)
9	6, 8	anbi12i 460	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}) ↔ (𝑞 <Q 𝐴 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
10	3, 9	mtbir 678	. . 3 ⊢ ¬ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})
11	10	rgenw 2597	. 2 ⊢ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})
12	11	a1i 9	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203  {cab 2218  ∀wral 2520   class class class wbr 4108  Qcnq 7591   <_Q cltq 7596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-eprel 4409  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-oadd 6650  df-omul 6651  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7615  df-mi 7617  df-lti 7618  df-enq 7658  df-nqqs 7659  df-ltnqqs 7664

This theorem is referenced by:  nqprxx  7857