Theorem nqprdisj 7506

Description: A cut produced from a rational is disjoint. Lemma for nqprlu 7509. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprdisj	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑞

Proof of Theorem nqprdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 7360	. . . . 5 ⊢ <Q Or Q
2		ltrelnq 7327	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	son2lpi 5007	. . . 4 ⊢ ¬ (𝑞 <Q 𝐴 ∧ 𝐴 <Q 𝑞)
4		vex 2733	. . . . . 6 ⊢ 𝑞 ∈ V
5		breq1 3992	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
6	4, 5	elab 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
7		breq2 3993	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑞))
8	4, 7	elab 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑞)
9	6, 8	anbi12i 457	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}) ↔ (𝑞 <Q 𝐴 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
10	3, 9	mtbir 666	. . 3 ⊢ ¬ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})
11	10	rgenw 2525	. 2 ⊢ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})
12	11	a1i 9	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141  {cab 2156  ∀wral 2448   class class class wbr 3989  Qcnq 7242   <_Q cltq 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-lti 7269  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-ltnqqs 7315

This theorem is referenced by:  nqprxx  7508