ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprdisj GIF version

Theorem nqprdisj 7101
Description: A cut produced from a rational is disjoint. Lemma for nqprlu 7104. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprdisj (𝐴Q → ∀𝑞Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑞

Proof of Theorem nqprdisj
StepHypRef Expression
1 ltsonq 6955 . . . . 5 <Q Or Q
2 ltrelnq 6922 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
31, 2son2lpi 4828 . . . 4 ¬ (𝑞 <Q 𝐴𝐴 <Q 𝑞)
4 vex 2622 . . . . . 6 𝑞 ∈ V
5 breq1 3848 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴𝑞 <Q 𝐴))
64, 5elab 2760 . . . . 5 (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
7 breq2 3849 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑞 → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q 𝑞))
84, 7elab 2760 . . . . 5 (𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑞)
96, 8anbi12i 448 . . . 4 ((𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}) ↔ (𝑞 <Q 𝐴𝐴 <Q 𝑞))
103, 9mtbir 631 . . 3 ¬ (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})
1110rgenw 2430 . 2 𝑞Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})
1211a1i 9 1 (𝐴Q → ∀𝑞Q ¬ (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wcel 1438  {cab 2074  wral 2359   class class class wbr 3845  Qcnq 6837   <Q cltq 6842
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6290  df-ec 6292  df-qs 6296  df-ni 6861  df-mi 6863  df-lti 6864  df-enq 6904  df-nqqs 6905  df-ltnqqs 6910
This theorem is referenced by:  nqprxx  7103
  Copyright terms: Public domain W3C validator