Theorem nqprrnd 7544

Description: A cut produced from a rational is rounded. Lemma for nqprlu 7548. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprrnd	|- ( A e. Q. -> ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) )

Distinct variable group:   x, A, r, q

Proof of Theorem nqprrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnnqq 7416	. . . . . 6 |- ( A <Q r <-> E. q e. Q. ( A <Q q /\ q <Q r ) )
2		ancom 266	. . . . . . 7 |- ( ( A <Q q /\ q <Q r ) <-> ( q <Q r /\ A <Q q ) )
3	2	rexbii 2484	. . . . . 6 |- ( E. q e. Q. ( A <Q q /\ q <Q r ) <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ A <Q q ) )
4	1, 3	bitri 184	. . . . 5 |- ( A <Q r <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ A <Q q ) )
5		vex 2742	. . . . . 6 |- r e. _V
6		breq2 4009	. . . . . 6 |- ( x = r -> ( A <Q x <-> A <Q r ) )
7	5, 6	elab 2883	. . . . 5 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> A <Q r )
8		vex 2742	. . . . . . . 8 |- q e. _V
9		breq2 4009	. . . . . . . 8 |- ( x = q -> ( A <Q x <-> A <Q q ) )
10	8, 9	elab 2883	. . . . . . 7 |- ( q e. { x | A <Q x } <-> A <Q q )
11	10	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) <-> ( q <Q r /\ A <Q q ) )
12	11	rexbii 2484	. . . . 5 |- ( E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ A <Q q ) )
13	4, 7, 12	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) )
14	13	rgenw 2532	. . 3 |- A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) )
15	14	a1i 9	. 2 |- ( A e. Q. -> A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) )
16		ltbtwnnqq 7416	. . . 4 |- ( q <Q A <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r <Q A ) )
17		breq1 4008	. . . . 5 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
18	8, 17	elab 2883	. . . 4 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
19		breq1 4008	. . . . . . 7 |- ( x = r -> ( x <Q A <-> r <Q A ) )
20	5, 19	elab 2883	. . . . . 6 |- ( r e. { x | x <Q A } <-> r <Q A )
21	20	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) <-> ( q <Q r /\ r <Q A ) )
22	21	rexbii 2484	. . . 4 |- ( E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r <Q A ) )
23	16, 18, 22	3bitr4i 212	. . 3 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) )
24	23	rgenw 2532	. 2 |- A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) )
25	15, 24	jctil 312	1 |- ( A e. Q. -> ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4005   Q.cnq 7281   <Q cltq 7286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354

This theorem is referenced by:  nqprxx  7547