Theorem nqprrnd 7904

Description: A cut produced from a rational is rounded. Lemma for nqprlu 7908. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprrnd	|- ( A e. Q. -> ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) )

Distinct variable group:   x, A, r, q

Proof of Theorem nqprrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnnqq 7776	. . . . . 6 |- ( A <Q r <-> E. q e. Q. ( A <Q q /\ q <Q r ) )
2		ancom 266	. . . . . . 7 |- ( ( A <Q q /\ q <Q r ) <-> ( q <Q r /\ A <Q q ) )
3	2	rexbii 2557	. . . . . 6 |- ( E. q e. Q. ( A <Q q /\ q <Q r ) <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ A <Q q ) )
4	1, 3	bitri 184	. . . . 5 |- ( A <Q r <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ A <Q q ) )
5		vex 2824	. . . . . 6 |- r e. _V
6		breq2 4132	. . . . . 6 |- ( x = r -> ( A <Q x <-> A <Q r ) )
7	5, 6	elab 2970	. . . . 5 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> A <Q r )
8		vex 2824	. . . . . . . 8 |- q e. _V
9		breq2 4132	. . . . . . . 8 |- ( x = q -> ( A <Q x <-> A <Q q ) )
10	8, 9	elab 2970	. . . . . . 7 |- ( q e. { x | A <Q x } <-> A <Q q )
11	10	anbi2i 461	. . . . . 6 |- ( ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) <-> ( q <Q r /\ A <Q q ) )
12	11	rexbii 2557	. . . . 5 |- ( E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ A <Q q ) )
13	4, 7, 12	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) )
14	13	rgenw 2605	. . 3 |- A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) )
15	14	a1i 9	. 2 |- ( A e. Q. -> A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) )
16		ltbtwnnqq 7776	. . . 4 |- ( q <Q A <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r <Q A ) )
17		breq1 4131	. . . . 5 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
18	8, 17	elab 2970	. . . 4 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
19		breq1 4131	. . . . . . 7 |- ( x = r -> ( x <Q A <-> r <Q A ) )
20	5, 19	elab 2970	. . . . . 6 |- ( r e. { x | x <Q A } <-> r <Q A )
21	20	anbi2i 461	. . . . 5 |- ( ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) <-> ( q <Q r /\ r <Q A ) )
22	21	rexbii 2557	. . . 4 |- ( E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r <Q A ) )
23	16, 18, 22	3bitr4i 212	. . 3 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) )
24	23	rgenw 2605	. 2 |- A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) )
25	15, 24	jctil 312	1 |- ( A e. Q. -> ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   class class class wbr 4128   Q.cnq 7641   <Q cltq 7646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-pli 7666  df-mi 7667  df-lti 7668  df-plpq 7705  df-mpq 7706  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-plqqs 7710  df-mqqs 7711  df-1nqqs 7712  df-rq 7713  df-ltnqqs 7714

This theorem is referenced by:  nqprxx  7907