Theorem nqprrnd 7663

Description: A cut produced from a rational is rounded. Lemma for nqprlu 7667. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprrnd	|- ( A e. Q. -> ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) )

Distinct variable group:   x, A, r, q

Proof of Theorem nqprrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnnqq 7535	. . . . . 6 |- ( A <Q r <-> E. q e. Q. ( A <Q q /\ q <Q r ) )
2		ancom 266	. . . . . . 7 |- ( ( A <Q q /\ q <Q r ) <-> ( q <Q r /\ A <Q q ) )
3	2	rexbii 2514	. . . . . 6 |- ( E. q e. Q. ( A <Q q /\ q <Q r ) <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ A <Q q ) )
4	1, 3	bitri 184	. . . . 5 |- ( A <Q r <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ A <Q q ) )
5		vex 2776	. . . . . 6 |- r e. _V
6		breq2 4051	. . . . . 6 |- ( x = r -> ( A <Q x <-> A <Q r ) )
7	5, 6	elab 2918	. . . . 5 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> A <Q r )
8		vex 2776	. . . . . . . 8 |- q e. _V
9		breq2 4051	. . . . . . . 8 |- ( x = q -> ( A <Q x <-> A <Q q ) )
10	8, 9	elab 2918	. . . . . . 7 |- ( q e. { x | A <Q x } <-> A <Q q )
11	10	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) <-> ( q <Q r /\ A <Q q ) )
12	11	rexbii 2514	. . . . 5 |- ( E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ A <Q q ) )
13	4, 7, 12	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) )
14	13	rgenw 2562	. . 3 |- A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) )
15	14	a1i 9	. 2 |- ( A e. Q. -> A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) )
16		ltbtwnnqq 7535	. . . 4 |- ( q <Q A <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r <Q A ) )
17		breq1 4050	. . . . 5 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
18	8, 17	elab 2918	. . . 4 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
19		breq1 4050	. . . . . . 7 |- ( x = r -> ( x <Q A <-> r <Q A ) )
20	5, 19	elab 2918	. . . . . 6 |- ( r e. { x | x <Q A } <-> r <Q A )
21	20	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) <-> ( q <Q r /\ r <Q A ) )
22	21	rexbii 2514	. . . 4 |- ( E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r <Q A ) )
23	16, 18, 22	3bitr4i 212	. . 3 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) )
24	23	rgenw 2562	. 2 |- A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) )
25	15, 24	jctil 312	1 |- ( A e. Q. -> ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2177   {cab 2192   A.wral 2485   E.wrex 2486   class class class wbr 4047   Q.cnq 7400   <Q cltq 7405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-eprel 4340  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-1o 6509  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-ni 7424  df-pli 7425  df-mi 7426  df-lti 7427  df-plpq 7464  df-mpq 7465  df-enq 7467  df-nqqs 7468  df-plqqs 7469  df-mqqs 7470  df-1nqqs 7471  df-rq 7472  df-ltnqqs 7473

This theorem is referenced by:  nqprxx  7666