Theorem nqprrnd 7806

Description: A cut produced from a rational is rounded. Lemma for nqprlu 7810. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprrnd	|- ( A e. Q. -> ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) )

Distinct variable group:   x, A, r, q

Proof of Theorem nqprrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnnqq 7678	. . . . . 6 |- ( A <Q r <-> E. q e. Q. ( A <Q q /\ q <Q r ) )
2		ancom 266	. . . . . . 7 |- ( ( A <Q q /\ q <Q r ) <-> ( q <Q r /\ A <Q q ) )
3	2	rexbii 2540	. . . . . 6 |- ( E. q e. Q. ( A <Q q /\ q <Q r ) <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ A <Q q ) )
4	1, 3	bitri 184	. . . . 5 |- ( A <Q r <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ A <Q q ) )
5		vex 2806	. . . . . 6 |- r e. _V
6		breq2 4097	. . . . . 6 |- ( x = r -> ( A <Q x <-> A <Q r ) )
7	5, 6	elab 2951	. . . . 5 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> A <Q r )
8		vex 2806	. . . . . . . 8 |- q e. _V
9		breq2 4097	. . . . . . . 8 |- ( x = q -> ( A <Q x <-> A <Q q ) )
10	8, 9	elab 2951	. . . . . . 7 |- ( q e. { x | A <Q x } <-> A <Q q )
11	10	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) <-> ( q <Q r /\ A <Q q ) )
12	11	rexbii 2540	. . . . 5 |- ( E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ A <Q q ) )
13	4, 7, 12	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) )
14	13	rgenw 2588	. . 3 |- A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) )
15	14	a1i 9	. 2 |- ( A e. Q. -> A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) )
16		ltbtwnnqq 7678	. . . 4 |- ( q <Q A <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r <Q A ) )
17		breq1 4096	. . . . 5 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
18	8, 17	elab 2951	. . . 4 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
19		breq1 4096	. . . . . . 7 |- ( x = r -> ( x <Q A <-> r <Q A ) )
20	5, 19	elab 2951	. . . . . 6 |- ( r e. { x | x <Q A } <-> r <Q A )
21	20	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) <-> ( q <Q r /\ r <Q A ) )
22	21	rexbii 2540	. . . 4 |- ( E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r <Q A ) )
23	16, 18, 22	3bitr4i 212	. . 3 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) )
24	23	rgenw 2588	. 2 |- A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) )
25	15, 24	jctil 312	1 |- ( A e. Q. -> ( A. q e. Q. ( q e. { x | x <Q A } <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. { x | x <Q A } ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. { x | A <Q x } <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. { x | A <Q x } ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2511   E.wrex 2512   class class class wbr 4093   Q.cnq 7543   <Q cltq 7548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616

This theorem is referenced by:  nqprxx  7809