ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprrnd Unicode version

Theorem nqprrnd 7102
Description: A cut produced from a rational is rounded. Lemma for nqprlu 7106. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprrnd  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  {
x  |  x  <Q  A }  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  { x  |  A  <Q  x }  <->  E. q  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x } ) ) ) )
Distinct variable group:    x, A, r, q

Proof of Theorem nqprrnd
StepHypRef Expression
1 ltbtwnnqq 6974 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  r  <->  E. q  e.  Q.  ( A  <Q  q  /\  q  <Q  r ) )
2 ancom 262 . . . . . . 7  |-  ( ( A  <Q  q  /\  q  <Q  r )  <->  ( q  <Q  r  /\  A  <Q  q ) )
32rexbii 2385 . . . . . 6  |-  ( E. q  e.  Q.  ( A  <Q  q  /\  q  <Q  r )  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  A  <Q  q ) )
41, 3bitri 182 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  r  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  A  <Q  q ) )
5 vex 2622 . . . . . 6  |-  r  e. 
_V
6 breq2 3849 . . . . . 6  |-  ( x  =  r  ->  ( A  <Q  x  <->  A  <Q  r ) )
75, 6elab 2760 . . . . 5  |-  ( r  e.  { x  |  A  <Q  x }  <->  A 
<Q  r )
8 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  q  e. 
_V
9 breq2 3849 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  q  ->  ( A  <Q  x  <->  A  <Q  q ) )
108, 9elab 2760 . . . . . . 7  |-  ( q  e.  { x  |  A  <Q  x }  <->  A 
<Q  q )
1110anbi2i 445 . . . . . 6  |-  ( ( q  <Q  r  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x }
)  <->  ( q  <Q 
r  /\  A  <Q  q ) )
1211rexbii 2385 . . . . 5  |-  ( E. q  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x } )  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  A  <Q  q ) )
134, 7, 123bitr4i 210 . . . 4  |-  ( r  e.  { x  |  A  <Q  x }  <->  E. q  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x } ) )
1413rgenw 2430 . . 3  |-  A. r  e.  Q.  ( r  e. 
{ x  |  A  <Q  x }  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x } ) )
1514a1i 9 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  A. r  e.  Q.  ( r  e. 
{ x  |  A  <Q  x }  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x } ) ) )
16 ltbtwnnqq 6974 . . . 4  |-  ( q 
<Q  A  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  <Q  A ) )
17 breq1 3848 . . . . 5  |-  ( x  =  q  ->  (
x  <Q  A  <->  q  <Q  A ) )
188, 17elab 2760 . . . 4  |-  ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  q 
<Q  A )
19 breq1 3848 . . . . . . 7  |-  ( x  =  r  ->  (
x  <Q  A  <->  r  <Q  A ) )
205, 19elab 2760 . . . . . 6  |-  ( r  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  r 
<Q  A )
2120anbi2i 445 . . . . 5  |-  ( ( q  <Q  r  /\  r  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  <->  ( q  <Q 
r  /\  r  <Q  A ) )
2221rexbii 2385 . . . 4  |-  ( E. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  r  e.  { x  |  x 
<Q  A } )  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  r  <Q  A ) )
2316, 18, 223bitr4i 210 . . 3  |-  ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  E. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  r  e.  { x  |  x 
<Q  A } ) )
2423rgenw 2430 . 2  |-  A. q  e.  Q.  ( q  e. 
{ x  |  x 
<Q  A }  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  r  e.  { x  |  x  <Q  A } ) )
2515, 24jctil 305 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  {
x  |  x  <Q  A }  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  { x  |  A  <Q  x }  <->  E. q  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  q  e.  { x  |  A  <Q  x } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   class class class wbr 3845   Q.cnq 6839    <Q cltq 6844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911  df-ltnqqs 6912
This theorem is referenced by:  nqprxx  7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator