Theorem pncan3d 8301

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	|- ( ph -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		pncan3 8195	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5896   CCcc 7839   + caddc 7844   - cmin 8158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-sub 8160

This theorem is referenced by:  peano5uzti  9391  exbtwnzlemex  10280  rebtwn2z  10285  intqfrac2  10350  intqfrac  10370  recvguniqlem  11035  resqrexlemoverl  11062  mertenslemi1  11575  efltim  11738  efival  11772  pw2dvdseulemle  12199  odzdvds  12277  modprm0  12286  pcaddlem  12371  ivthinclemlopn  14574  apdifflemr  15257