Theorem pncan3d 8274

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	|- ( ph -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		pncan3 8168	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5878   CCcc 7812   + caddc 7817   - cmin 8131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-sub 8133

This theorem is referenced by:  peano5uzti  9364  exbtwnzlemex  10253  rebtwn2z  10258  intqfrac2  10322  intqfrac  10342  recvguniqlem  11006  resqrexlemoverl  11033  mertenslemi1  11546  efltim  11709  efival  11743  pw2dvdseulemle  12170  odzdvds  12248  modprm0  12257  pcaddlem  12341  ivthinclemlopn  14254  apdifflemr  14935