Theorem pncan3d 8335

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	|- ( ph -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		pncan3 8229	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5919   CCcc 7872   + caddc 7877   - cmin 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194

This theorem is referenced by:  peano5uzti  9428  exbtwnzlemex  10321  rebtwn2z  10326  intqfrac2  10393  intqfrac  10413  recvguniqlem  11141  resqrexlemoverl  11168  mertenslemi1  11681  efltim  11844  efival  11878  pw2dvdseulemle  12308  odzdvds  12386  modprm0  12395  pcaddlem  12480  ivthinclemlopn  14815  plymullem1  14927  lgseisenlem4  15230  lgsquadlem1  15234  apdifflemr  15607