Theorem intqfrac2 10332

Description: Decompose a real into integer and fractional parts. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
intqfrac2.1	|- Z = ( |_ ` A )
intqfrac2.2	|- F = ( A - Z )

Assertion

Ref	Expression
intqfrac2	|- ( A e. QQ -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ A = ( Z + F ) ) )

Proof of Theorem intqfrac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qfracge0 10294	. . 3 |- ( A e. QQ -> 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) )
2		intqfrac2.2	. . . 4 |- F = ( A - Z )
3		intqfrac2.1	. . . . 5 |- Z = ( |_ ` A )
4	3	oveq2i 5899	. . . 4 |- ( A - Z ) = ( A - ( |_ ` A ) )
5	2, 4	eqtri 2208	. . 3 |- F = ( A - ( |_ ` A ) )
6	1, 5	breqtrrdi 4057	. 2 |- ( A e. QQ -> 0 <_ F )
7		qfraclt1 10293	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 )
8	5, 7	eqbrtrid 4050	. 2 |- ( A e. QQ -> F < 1 )
9	2	oveq2i 5899	. . 3 |- ( Z + F ) = ( Z + ( A - Z ) )
10		flqcl 10286	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
11	3, 10	eqeltrid 2274	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> Z e. ZZ )
12	11	zcnd 9389	. . . 4 |- ( A e. QQ -> Z e. CC )
13		qcn 9647	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
14	12, 13	pncan3d 8284	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( Z + ( A - Z ) ) = A )
15	9, 14	eqtr2id 2233	. 2 |- ( A e. QQ -> A = ( Z + F ) )
16	6, 8, 15	3jca 1178	1 |- ( A e. QQ -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ A = ( Z + F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   0cc0 7824   1c1 7825   + caddc 7827   < clt 8005   <_ cle 8006   - cmin 8141   ZZcz 9266   QQcq 9632   |_cfl 10281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-q 9633  df-rp 9667  df-fl 10283

This theorem is referenced by:  intfracq  10333  flqdiv  10334