Theorem intqfrac2 10338

Description: Decompose a real into integer and fractional parts. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
intqfrac2.1	|- Z = ( |_ ` A )
intqfrac2.2	|- F = ( A - Z )

Assertion

Ref	Expression
intqfrac2	|- ( A e. QQ -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ A = ( Z + F ) ) )

Proof of Theorem intqfrac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qfracge0 10300	. . 3 |- ( A e. QQ -> 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) )
2		intqfrac2.2	. . . 4 |- F = ( A - Z )
3		intqfrac2.1	. . . . 5 |- Z = ( |_ ` A )
4	3	oveq2i 5902	. . . 4 |- ( A - Z ) = ( A - ( |_ ` A ) )
5	2, 4	eqtri 2210	. . 3 |- F = ( A - ( |_ ` A ) )
6	1, 5	breqtrrdi 4060	. 2 |- ( A e. QQ -> 0 <_ F )
7		qfraclt1 10299	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 )
8	5, 7	eqbrtrid 4053	. 2 |- ( A e. QQ -> F < 1 )
9	2	oveq2i 5902	. . 3 |- ( Z + F ) = ( Z + ( A - Z ) )
10		flqcl 10292	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
11	3, 10	eqeltrid 2276	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> Z e. ZZ )
12	11	zcnd 9395	. . . 4 |- ( A e. QQ -> Z e. CC )
13		qcn 9653	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
14	12, 13	pncan3d 8290	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( Z + ( A - Z ) ) = A )
15	9, 14	eqtr2id 2235	. 2 |- ( A e. QQ -> A = ( Z + F ) )
16	6, 8, 15	3jca 1179	1 |- ( A e. QQ -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ A = ( Z + F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   0cc0 7830   1c1 7831   + caddc 7833   < clt 8011   <_ cle 8012   - cmin 8147   ZZcz 9272   QQcq 9638   |_cfl 10287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-q 9639  df-rp 9673  df-fl 10289

This theorem is referenced by:  intfracq  10339  flqdiv  10340