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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modprm0 | Unicode version | ||
| Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}   ..^  ..^     ..^     |
, , ,
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | reumodprminv 13061 |
. . . 4
..^
  
| |
| 2 | reurex 2771 |
. . . 4
| |
| 3 | prmz 12914 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 4 | 3 | 3ad2ant1 1049 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 5 | 4 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 6 | elfzelz 10445 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 7 | 6 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 8 | elfzoelz 10571 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 9 | 8 | 3ad2ant3 1051 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 10 | zmulcl 9709 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 11 | 7, 9, 10 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 12 | 5, 11 | zsubcld 9784 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 13 | prmnn 12913 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 14 | 13 | 3ad2ant1 1049 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 16 | zmodfzo 10805 |
. . . . . . . 8
..^ | |
| 17 | 12, 15, 16 | syl2anc 415 |
. . . . . . 7
..^ ..^
..^ |
| 18 | 9 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 19 | zq 10042 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 20 | 18, 19 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 21 | zq 10042 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 22 | 12, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 23 | elfzoelz 10571 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 24 | 23 | 3ad2ant2 1050 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 26 | zq 10042 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 27 | 5, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 28 | 15 | nngt0d 9357 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
 |
| 29 | modqaddmulmod 10849 |
. . . . . . . . 9
| |
| 30 | 20, 22, 25, 27, 28, 29 | syl32anc 1286 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 31 | 13 | nncnd 9327 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
| 32 | 31 | 3ad2ant1 1049 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 33 | 32 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 34 | 6 | zcnd 9780 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 35 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 36 | 8 | zcnd 9780 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 37 | 36 | 3ad2ant3 1051 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 38 | mulcl 8312 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 39 | 35, 37, 38 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 40 | 23 | zcnd 9780 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 41 | 40 | 3ad2ant2 1050 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 42 | 41 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 43 | 33, 39, 42 | subdird 8749 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 44 | 43 | oveq2d 6104 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 45 | 44 | oveq1d 6103 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 46 | mulcom 8314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 47 | 31, 40, 46 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 48 | 47 | oveq1d 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 49 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 50 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 51 | 50, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 52 | 13 | nngt0d 9357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 53 | 52 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 54 | mulqmod0 10788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 55 | 49, 51, 53, 54 | syl3anc 1278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 56 | 48, 55 | eqtrd 2271 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 57 | 56 | 3adant3 1048 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 58 | 57 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 59 | 35 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 60 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 61 | 59, 60, 42 | mul32d 8486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 62 | 61 | oveq1d 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 63 | elfznn 10477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 64 | 63 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 65 | 64 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 66 | elfzo1 10620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^  | |
| 67 | 66 | simp1bi 1043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 68 | 67 | 3ad2ant2 1050 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 69 | 68 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 70 | 65, 69 | nnmulcld 9362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 71 | nnq 10049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 72 | 70, 71 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 73 | modqmulmod 10847 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 74 | 72, 18, 27, 28, 73 | syl22anc 1279 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 75 | 62, 74 | eqtr4d 2274 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 76 | 58, 75 | oveq12d 6106 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 77 | 76 | oveq1d 6103 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 78 | 15, 69 | nnmulcld 9362 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | nnq 10049 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 81 | elfzo1 10620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ | |
| 82 | 81 | simp1bi 1043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 83 | 82 | 3ad2ant3 1051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 85 | 65, 84 | nnmulcld 9362 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 86 | 85, 69 | nnmulcld 9362 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 87 | nnq 10049 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 89 | modqsubmodmod 10841 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 90 | 80, 88, 27, 28, 89 | syl22anc 1279 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 91 | mulcom 8314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 92 | 41, 34, 91 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ ..^
|
| 93 | 92 | oveq1d 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^
|
| 94 | 93 | eqeq1d 2247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^
|
| 95 | 94 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 96 | 95 | impancom 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 97 | 96 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 98 | 97 | oveq1d 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 99 | 98 | oveq1d 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 100 | 99 | oveq2d 6104 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 101 | 100 | oveq1d 6103 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 102 | 60 | mullidd 8350 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 103 | 102 | oveq1d 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 104 | 84 | nnnn0d 9631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
 |
| 105 | 104 | nn0ge0d 9634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
 |
| 106 | elfzolt2 10581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
| |
| 107 | 106 | 3ad2ant3 1051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 108 | 107 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 109 | modqid 10807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 110 | 20, 27, 105, 108, 109 | syl22anc 1279 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 111 | 103, 110 | eqtrd 2271 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 112 | 111 | oveq2d 6104 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 113 | 112 | oveq1d 6103 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 114 | 101, 113 | eqtrd 2271 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 115 | 77, 90, 114 | 3eqtr3d 2279 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 116 | 115 | oveq2d 6104 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 117 | 116 | oveq1d 6103 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 118 | qsubcl 10054 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 119 | 80, 88, 118 | syl2anc 415 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 120 | modqadd2mod 10832 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 121 | 119, 20, 27, 28, 120 | syl22anc 1279 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 122 | 0zd 9667 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
| |
| 123 | 122, 18 | zsubcld 9784 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 124 | zq 10042 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 125 | 123, 124 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 126 | modqadd2mod 10832 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 127 | 125, 20, 27, 28, 126 | syl22anc 1279 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 128 | 0cnd 8325 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
| |
| 129 | 36, 128 | pncan3d 8647 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 130 | 129 | 3ad2ant3 1051 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 131 | 130 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 132 | 131 | oveq1d 6103 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 133 | 3, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 134 | q0mod 10813 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 135 | 133, 52, 134 | syl2anc 415 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 136 | 135 | 3ad2ant1 1049 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 137 | 136 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 138 | 127, 132, 137 | 3eqtrd 2275 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 139 | 117, 121, 138 | 3eqtr3d 2279 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 140 | 30, 45, 139 | 3eqtrd 2275 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 141 | oveq1 6095 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 142 | 141 | oveq2d 6104 |
. . . . . . . . . 10
|
| 143 | 142 | oveq1d 6103 |
. . . . . . . . 9
|
| 144 | 143 | eqeq1d 2247 |
. . . . . . . 8
|
| 145 | 144 | rspcev 2929 |
. . . . . . 7
..^
..^ |
| 146 | 17, 140, 145 | syl2anc 415 |
. . . . . 6
..^ ..^
..^ |
| 147 | 146 | ex 115 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 148 | 147 | rexlimiva 2663 |
. . . 4
..^ ..^
..^ |
| 149 | 1, 2, 148 | 3syl 17 |
. . 3
..^
..^ ..^ ..^ |
| 150 | 149 | 3adant3 1048 |
. 2
..^ ..^
..^ ..^ ..^ |
| 151 | 150 | pm2.43i 49 |
1
..^ ..^ ..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| This proof depends on syntax axioms:
wi 4
wa 104
w3a 1009
wceq 1402
wcel 2209
wrex 2529
wreu 2530
class class class wbr 4131 (class class class)co 6088
cc 8183
cc0 8185
c1 8186
caddc 8188 cmul 8190 clt 8366 cle 8367 cmin 8504 cn 9313 cz 9655 cq 10035 cfz 10428 ..^cfzo 10566
cmo 10780
cprime 12910 |
| This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4248 ax-sep 4251 ax-nul 4261 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-iinf 4737 ax-cnex 8276 ax-resscn 8277 ax-1cn 8278 ax-1re 8279 ax-icn 8280 ax-addcl 8281 ax-addrcl 8282 ax-mulcl 8283 ax-mulrcl 8284 ax-addcom 8285 ax-mulcom 8286 ax-addass 8287 ax-mulass 8288 ax-distr 8289 ax-i2m1 8290 ax-0lt1 8291 ax-1rid 8292 ax-0id 8293 ax-rnegex 8294 ax-precex 8295 ax-cnre 8296 ax-pre-ltirr 8297 ax-pre-ltwlin 8298 ax-pre-lttrn 8299 ax-pre-apti 8300 ax-pre-ltadd 8301 ax-pre-mulgt0 8302 ax-pre-mulext 8303 ax-arch 8304 ax-caucvg 8305 |
| This proof depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4132 df-opab 4194 df-mpt 4195 df-tr 4232 df-id 4440 df-po 4443 df-iso 4444 df-iord 4513 df-on 4515 df-ilim 4516 df-suc 4518 df-iom 4740 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-rn 4787 df-res 4788 df-ima 4789 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fn 5383 df-f 5384 df-f1 5385 df-fo 5386 df-f1o 5387 df-fv 5388 df-isom 5389 df-riota 6041 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-1st 6378 df-2nd 6379 df-recs 6580 df-irdg 6645 df-frec 6666 df-1o 6691 df-2o 6692 df-oadd 6695 df-er 6811 df-en 7027 df-dom 7028 df-fin 7029 df-sup 7330 df-pnf 8368 df-mnf 8369 df-xr 8370 df-ltxr 8371 df-le 8372 df-sub 8506 df-neg 8507 df-reap 8911 df-ap 8918 df-div 9011 df-inn 9314 df-2 9372 df-3 9373 df-4 9374 df-n0 9575 df-z 9656 df-uz 9938 df-q 10036 df-rp 10072 df-fz 10429 df-fzo 10567 df-fl 10722 df-mod 10781 df-seqfrec 10906 df-exp 10997 df-ihash 11237 df-cj 11629 df-re 11630 df-im 11631 df-rsqrt 11786 df-abs 11787 df-clim 12070 df-proddc 12343 df-dvds 12580 df-gcd 12756 df-prm 12911 df-phi 13018 |
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