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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modprm0 | Unicode version | ||
| Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}   ..^  ..^     ..^     |
, , ,
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | reumodprminv 12422 |
. . . 4
..^
  
| |
| 2 | reurex 2715 |
. . . 4
| |
| 3 | prmz 12279 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 4 | 3 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 5 | 4 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 6 | elfzelz 10100 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 7 | 6 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 8 | elfzoelz 10222 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 9 | 8 | 3ad2ant3 1022 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 10 | zmulcl 9379 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 11 | 7, 9, 10 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 12 | 5, 11 | zsubcld 9453 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 13 | prmnn 12278 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 14 | 13 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 16 | zmodfzo 10439 |
. . . . . . . 8
..^ | |
| 17 | 12, 15, 16 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
..^ ..^
..^ |
| 18 | 9 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 19 | zq 9700 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 20 | 18, 19 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 21 | zq 9700 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 22 | 12, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 23 | elfzoelz 10222 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 24 | 23 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 26 | zq 9700 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 27 | 5, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 28 | 15 | nngt0d 9034 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
 |
| 29 | modqaddmulmod 10483 |
. . . . . . . . 9
| |
| 30 | 20, 22, 25, 27, 28, 29 | syl32anc 1257 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 31 | 13 | nncnd 9004 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
| 32 | 31 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 33 | 32 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 34 | 6 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 35 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 36 | 8 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 37 | 36 | 3ad2ant3 1022 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 38 | mulcl 8006 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 39 | 35, 37, 38 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 40 | 23 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 41 | 40 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 42 | 41 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 43 | 33, 39, 42 | subdird 8441 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 44 | 43 | oveq2d 5938 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 45 | 44 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 46 | mulcom 8008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 47 | 31, 40, 46 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 48 | 47 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 49 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 50 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 51 | 50, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 52 | 13 | nngt0d 9034 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 53 | 52 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 54 | mulqmod0 10422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 55 | 49, 51, 53, 54 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 56 | 48, 55 | eqtrd 2229 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 57 | 56 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 58 | 57 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 59 | 35 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 60 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 61 | 59, 60, 42 | mul32d 8179 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 62 | 61 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 63 | elfznn 10129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 64 | 63 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 65 | 64 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 66 | elfzo1 10266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^  | |
| 67 | 66 | simp1bi 1014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 68 | 67 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 69 | 68 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 70 | 65, 69 | nnmulcld 9039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 71 | nnq 9707 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 72 | 70, 71 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 73 | modqmulmod 10481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 74 | 72, 18, 27, 28, 73 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 75 | 62, 74 | eqtr4d 2232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 76 | 58, 75 | oveq12d 5940 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 77 | 76 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 78 | 15, 69 | nnmulcld 9039 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | nnq 9707 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 81 | elfzo1 10266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ | |
| 82 | 81 | simp1bi 1014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 83 | 82 | 3ad2ant3 1022 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 85 | 65, 84 | nnmulcld 9039 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 86 | 85, 69 | nnmulcld 9039 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 87 | nnq 9707 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 89 | modqsubmodmod 10475 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 90 | 80, 88, 27, 28, 89 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 91 | mulcom 8008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 92 | 41, 34, 91 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ ..^
|
| 93 | 92 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^
|
| 94 | 93 | eqeq1d 2205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^
|
| 95 | 94 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 96 | 95 | impancom 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 97 | 96 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 98 | 97 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 99 | 98 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 100 | 99 | oveq2d 5938 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 101 | 100 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 102 | 60 | mulid2d 8045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 103 | 102 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 104 | 84 | nnnn0d 9302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
 |
| 105 | 104 | nn0ge0d 9305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
 |
| 106 | elfzolt2 10232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
| |
| 107 | 106 | 3ad2ant3 1022 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 108 | 107 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 109 | modqid 10441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 110 | 20, 27, 105, 108, 109 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 111 | 103, 110 | eqtrd 2229 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 112 | 111 | oveq2d 5938 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 113 | 112 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 114 | 101, 113 | eqtrd 2229 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 115 | 77, 90, 114 | 3eqtr3d 2237 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 116 | 115 | oveq2d 5938 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 117 | 116 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 118 | qsubcl 9712 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 119 | 80, 88, 118 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 120 | modqadd2mod 10466 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 121 | 119, 20, 27, 28, 120 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 122 | 0zd 9338 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
| |
| 123 | 122, 18 | zsubcld 9453 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 124 | zq 9700 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 125 | 123, 124 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 126 | modqadd2mod 10466 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 127 | 125, 20, 27, 28, 126 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 128 | 0cnd 8019 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
| |
| 129 | 36, 128 | pncan3d 8340 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 130 | 129 | 3ad2ant3 1022 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 131 | 130 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 132 | 131 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 133 | 3, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 134 | q0mod 10447 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 135 | 133, 52, 134 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 136 | 135 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 137 | 136 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 138 | 127, 132, 137 | 3eqtrd 2233 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 139 | 117, 121, 138 | 3eqtr3d 2237 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 140 | 30, 45, 139 | 3eqtrd 2233 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 141 | oveq1 5929 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 142 | 141 | oveq2d 5938 |
. . . . . . . . . 10
|
| 143 | 142 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . 9
|
| 144 | 143 | eqeq1d 2205 |
. . . . . . . 8
|
| 145 | 144 | rspcev 2868 |
. . . . . . 7
..^
..^ |
| 146 | 17, 140, 145 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
..^ ..^
..^ |
| 147 | 146 | ex 115 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 148 | 147 | rexlimiva 2609 |
. . . 4
..^ ..^
..^ |
| 149 | 1, 2, 148 | 3syl 17 |
. . 3
..^
..^ ..^ ..^ |
| 150 | 149 | 3adant3 1019 |
. 2
..^ ..^
..^ ..^ ..^ |
| 151 | 150 | pm2.43i 49 |
1
..^ ..^ ..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
w3a 980
wceq 1364
wcel 2167
wrex 2476
wreu 2477
class class class wbr 4033 (class class class)co 5922
cc 7877
cc0 7879
c1 7880
caddc 7882 cmul 7884 clt 8061 cle 8062 cmin 8197 cn 8990 cz 9326 cq 9693 cfz 10083 ..^cfzo 10217
cmo 10414
cprime 12275 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-irdg 6428 df-frec 6449 df-1o 6474 df-2o 6475 df-oadd 6478 df-er 6592 df-en 6800 df-dom 6801 df-fin 6802 df-sup 7050 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-ihash 10868 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-clim 11444 df-proddc 11716 df-dvds 11953 df-gcd 12121 df-prm 12276 df-phi 12379 |
| This theorem is referenced by: nnnn0modprm0 12424 |
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