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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modprm0 | Unicode version | ||
| Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}   ..^  ..^     ..^     |
, , ,
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | reumodprminv 12207 |
. . . 4
..^
  
| |
| 2 | reurex 2683 |
. . . 4
| |
| 3 | prmz 12065 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 4 | 3 | 3ad2ant1 1013 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 5 | 4 | adantl 275 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 6 | elfzelz 9981 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 7 | 6 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
|
| 8 | elfzoelz 10103 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 9 | 8 | 3ad2ant3 1015 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 10 | zmulcl 9265 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 11 | 7, 9, 10 | syl2an 287 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 12 | 5, 11 | zsubcld 9339 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 13 | prmnn 12064 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 14 | 13 | 3ad2ant1 1013 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 15 | 14 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 16 | zmodfzo 10303 |
. . . . . . . 8
..^ | |
| 17 | 12, 15, 16 | syl2anc 409 |
. . . . . . 7
..^ ..^
..^ |
| 18 | 9 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 19 | zq 9585 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 20 | 18, 19 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 21 | zq 9585 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 22 | 12, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 23 | elfzoelz 10103 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 24 | 23 | 3ad2ant2 1014 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 25 | 24 | adantl 275 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 26 | zq 9585 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 27 | 5, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 28 | 15 | nngt0d 8922 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
 |
| 29 | modqaddmulmod 10347 |
. . . . . . . . 9
| |
| 30 | 20, 22, 25, 27, 28, 29 | syl32anc 1241 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 31 | 13 | nncnd 8892 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
| 32 | 31 | 3ad2ant1 1013 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 33 | 32 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 34 | 6 | zcnd 9335 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 35 | 34 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 36 | 8 | zcnd 9335 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 37 | 36 | 3ad2ant3 1015 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 38 | mulcl 7901 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 39 | 35, 37, 38 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 40 | 23 | zcnd 9335 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 41 | 40 | 3ad2ant2 1014 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 42 | 41 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 43 | 33, 39, 42 | subdird 8334 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 44 | 43 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 45 | 44 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 46 | mulcom 7903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 47 | 31, 40, 46 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 48 | 47 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 49 | 23 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 50 | 3 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 51 | 50, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 52 | 13 | nngt0d 8922 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 53 | 52 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 54 | mulqmod0 10286 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 55 | 49, 51, 53, 54 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 56 | 48, 55 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 57 | 56 | 3adant3 1012 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 58 | 57 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 59 | 35 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 60 | 37 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 61 | 59, 60, 42 | mul32d 8072 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 62 | 61 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 63 | elfznn 10010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 64 | 63 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 65 | 64 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 66 | elfzo1 10146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^  | |
| 67 | 66 | simp1bi 1007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 68 | 67 | 3ad2ant2 1014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 69 | 68 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 70 | 65, 69 | nnmulcld 8927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 71 | nnq 9592 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 72 | 70, 71 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 73 | modqmulmod 10345 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 74 | 72, 18, 27, 28, 73 | syl22anc 1234 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 75 | 62, 74 | eqtr4d 2206 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 76 | 58, 75 | oveq12d 5871 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 77 | 76 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 78 | 15, 69 | nnmulcld 8927 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | nnq 9592 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 81 | elfzo1 10146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ | |
| 82 | 81 | simp1bi 1007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 83 | 82 | 3ad2ant3 1015 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 84 | 83 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 85 | 65, 84 | nnmulcld 8927 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 86 | 85, 69 | nnmulcld 8927 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 87 | nnq 9592 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 89 | modqsubmodmod 10339 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 90 | 80, 88, 27, 28, 89 | syl22anc 1234 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 91 | mulcom 7903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 92 | 41, 34, 91 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ ..^
|
| 93 | 92 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^
|
| 94 | 93 | eqeq1d 2179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^
|
| 95 | 94 | biimpd 143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 96 | 95 | impancom 258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 97 | 96 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 98 | 97 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 99 | 98 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 100 | 99 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 101 | 100 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 102 | 60 | mulid2d 7938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 103 | 102 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 104 | 84 | nnnn0d 9188 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
 |
| 105 | 104 | nn0ge0d 9191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
 |
| 106 | elfzolt2 10112 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
| |
| 107 | 106 | 3ad2ant3 1015 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 108 | 107 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 109 | modqid 10305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 110 | 20, 27, 105, 108, 109 | syl22anc 1234 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 111 | 103, 110 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 112 | 111 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 113 | 112 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 114 | 101, 113 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 115 | 77, 90, 114 | 3eqtr3d 2211 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 116 | 115 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 117 | 116 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 118 | qsubcl 9597 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 119 | 80, 88, 118 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 120 | modqadd2mod 10330 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 121 | 119, 20, 27, 28, 120 | syl22anc 1234 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 122 | 0zd 9224 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
| |
| 123 | 122, 18 | zsubcld 9339 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 124 | zq 9585 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 125 | 123, 124 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 126 | modqadd2mod 10330 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 127 | 125, 20, 27, 28, 126 | syl22anc 1234 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 128 | 0cnd 7913 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
| |
| 129 | 36, 128 | pncan3d 8233 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 130 | 129 | 3ad2ant3 1015 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 131 | 130 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 132 | 131 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 133 | 3, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 134 | q0mod 10311 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 135 | 133, 52, 134 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 136 | 135 | 3ad2ant1 1013 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 137 | 136 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 138 | 127, 132, 137 | 3eqtrd 2207 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 139 | 117, 121, 138 | 3eqtr3d 2211 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 140 | 30, 45, 139 | 3eqtrd 2207 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 141 | oveq1 5860 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 142 | 141 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . . . 10
|
| 143 | 142 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . 9
|
| 144 | 143 | eqeq1d 2179 |
. . . . . . . 8
|
| 145 | 144 | rspcev 2834 |
. . . . . . 7
..^
..^ |
| 146 | 17, 140, 145 | syl2anc 409 |
. . . . . 6
..^ ..^
..^ |
| 147 | 146 | ex 114 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 148 | 147 | rexlimiva 2582 |
. . . 4
..^ ..^
..^ |
| 149 | 1, 2, 148 | 3syl 17 |
. . 3
..^
..^ ..^ ..^ |
| 150 | 149 | 3adant3 1012 |
. 2
..^ ..^
..^ ..^ ..^ |
| 151 | 150 | pm2.43i 49 |
1
..^ ..^ ..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 103
w3a 973
wceq 1348
wcel 2141
wrex 2449
wreu 2450
class class class wbr 3989 (class class class)co 5853
cc 7772
cc0 7774
c1 7775
caddc 7777 cmul 7779 clt 7954 cle 7955 cmin 8090 cn 8878 cz 9212 cq 9578 cfz 9965 ..^cfzo 10098
cmo 10278
cprime 12061 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893 ax-caucvg 7894 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 826 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-isom 5207 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-irdg 6349 df-frec 6370 df-1o 6395 df-2o 6396 df-oadd 6399 df-er 6513 df-en 6719 df-dom 6720 df-fin 6721 df-sup 6961 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-q 9579 df-rp 9611 df-fz 9966 df-fzo 10099 df-fl 10226 df-mod 10279 df-seqfrec 10402 df-exp 10476 df-ihash 10710 df-cj 10806 df-re 10807 df-im 10808 df-rsqrt 10962 df-abs 10963 df-clim 11242 df-proddc 11514 df-dvds 11750 df-gcd 11898 df-prm 12062 df-phi 12165 |
| This theorem is referenced by: nnnn0modprm0 12209 |
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