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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modprm0 | Unicode version | ||
| Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}   ..^  ..^     ..^     |
, , ,
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | reumodprminv 12256 |
. . . 4
..^
  
| |
| 2 | reurex 2691 |
. . . 4
| |
| 3 | prmz 12114 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 4 | 3 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 5 | 4 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 6 | elfzelz 10028 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 7 | 6 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 8 | elfzoelz 10150 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 9 | 8 | 3ad2ant3 1020 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 10 | zmulcl 9309 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 11 | 7, 9, 10 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 12 | 5, 11 | zsubcld 9383 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 13 | prmnn 12113 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 14 | 13 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 16 | zmodfzo 10350 |
. . . . . . . 8
..^ | |
| 17 | 12, 15, 16 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
..^ ..^
..^ |
| 18 | 9 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 19 | zq 9629 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 20 | 18, 19 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 21 | zq 9629 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 22 | 12, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 23 | elfzoelz 10150 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 24 | 23 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 26 | zq 9629 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 27 | 5, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 28 | 15 | nngt0d 8966 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
 |
| 29 | modqaddmulmod 10394 |
. . . . . . . . 9
| |
| 30 | 20, 22, 25, 27, 28, 29 | syl32anc 1246 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 31 | 13 | nncnd 8936 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
| 32 | 31 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 33 | 32 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 34 | 6 | zcnd 9379 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 35 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 36 | 8 | zcnd 9379 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 37 | 36 | 3ad2ant3 1020 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 38 | mulcl 7941 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 39 | 35, 37, 38 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 40 | 23 | zcnd 9379 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 41 | 40 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 42 | 41 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 43 | 33, 39, 42 | subdird 8375 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 44 | 43 | oveq2d 5894 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 45 | 44 | oveq1d 5893 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 46 | mulcom 7943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 47 | 31, 40, 46 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 48 | 47 | oveq1d 5893 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 49 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 50 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 51 | 50, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 52 | 13 | nngt0d 8966 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 53 | 52 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 54 | mulqmod0 10333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 55 | 49, 51, 53, 54 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 56 | 48, 55 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 57 | 56 | 3adant3 1017 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 58 | 57 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 59 | 35 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 60 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 61 | 59, 60, 42 | mul32d 8113 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 62 | 61 | oveq1d 5893 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 63 | elfznn 10057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 64 | 63 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 65 | 64 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 66 | elfzo1 10193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^  | |
| 67 | 66 | simp1bi 1012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 68 | 67 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 69 | 68 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 70 | 65, 69 | nnmulcld 8971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 71 | nnq 9636 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 72 | 70, 71 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 73 | modqmulmod 10392 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 74 | 72, 18, 27, 28, 73 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 75 | 62, 74 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 76 | 58, 75 | oveq12d 5896 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 77 | 76 | oveq1d 5893 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 78 | 15, 69 | nnmulcld 8971 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | nnq 9636 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 81 | elfzo1 10193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ | |
| 82 | 81 | simp1bi 1012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 83 | 82 | 3ad2ant3 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 85 | 65, 84 | nnmulcld 8971 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 86 | 85, 69 | nnmulcld 8971 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 87 | nnq 9636 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 89 | modqsubmodmod 10386 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 90 | 80, 88, 27, 28, 89 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 91 | mulcom 7943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 92 | 41, 34, 91 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ ..^
|
| 93 | 92 | oveq1d 5893 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^
|
| 94 | 93 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^
|
| 95 | 94 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 96 | 95 | impancom 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 97 | 96 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 98 | 97 | oveq1d 5893 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 99 | 98 | oveq1d 5893 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 100 | 99 | oveq2d 5894 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 101 | 100 | oveq1d 5893 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 102 | 60 | mulid2d 7979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 103 | 102 | oveq1d 5893 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 104 | 84 | nnnn0d 9232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
 |
| 105 | 104 | nn0ge0d 9235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
 |
| 106 | elfzolt2 10159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
| |
| 107 | 106 | 3ad2ant3 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 108 | 107 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 109 | modqid 10352 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 110 | 20, 27, 105, 108, 109 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 111 | 103, 110 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 112 | 111 | oveq2d 5894 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 113 | 112 | oveq1d 5893 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 114 | 101, 113 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 115 | 77, 90, 114 | 3eqtr3d 2218 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 116 | 115 | oveq2d 5894 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 117 | 116 | oveq1d 5893 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 118 | qsubcl 9641 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 119 | 80, 88, 118 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 120 | modqadd2mod 10377 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 121 | 119, 20, 27, 28, 120 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 122 | 0zd 9268 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
| |
| 123 | 122, 18 | zsubcld 9383 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 124 | zq 9629 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 125 | 123, 124 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 126 | modqadd2mod 10377 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 127 | 125, 20, 27, 28, 126 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 128 | 0cnd 7953 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
| |
| 129 | 36, 128 | pncan3d 8274 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 130 | 129 | 3ad2ant3 1020 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 131 | 130 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 132 | 131 | oveq1d 5893 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 133 | 3, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 134 | q0mod 10358 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 135 | 133, 52, 134 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 136 | 135 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 137 | 136 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 138 | 127, 132, 137 | 3eqtrd 2214 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 139 | 117, 121, 138 | 3eqtr3d 2218 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 140 | 30, 45, 139 | 3eqtrd 2214 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 141 | oveq1 5885 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 142 | 141 | oveq2d 5894 |
. . . . . . . . . 10
|
| 143 | 142 | oveq1d 5893 |
. . . . . . . . 9
|
| 144 | 143 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . 8
|
| 145 | 144 | rspcev 2843 |
. . . . . . 7
..^
..^ |
| 146 | 17, 140, 145 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
..^ ..^
..^ |
| 147 | 146 | ex 115 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 148 | 147 | rexlimiva 2589 |
. . . 4
..^ ..^
..^ |
| 149 | 1, 2, 148 | 3syl 17 |
. . 3
..^
..^ ..^ ..^ |
| 150 | 149 | 3adant3 1017 |
. 2
..^ ..^
..^ ..^ ..^ |
| 151 | 150 | pm2.43i 49 |
1
..^ ..^ ..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
w3a 978
wceq 1353
wcel 2148
wrex 2456
wreu 2457
class class class wbr 4005 (class class class)co 5878
cc 7812
cc0 7814
c1 7815
caddc 7817 cmul 7819 clt 7995 cle 7996 cmin 8131 cn 8922 cz 9256 cq 9622 cfz 10011 ..^cfzo 10145
cmo 10325
cprime 12110 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7905 ax-resscn 7906 ax-1cn 7907 ax-1re 7908 ax-icn 7909 ax-addcl 7910 ax-addrcl 7911 ax-mulcl 7912 ax-mulrcl 7913 ax-addcom 7914 ax-mulcom 7915 ax-addass 7916 ax-mulass 7917 ax-distr 7918 ax-i2m1 7919 ax-0lt1 7920 ax-1rid 7921 ax-0id 7922 ax-rnegex 7923 ax-precex 7924 ax-cnre 7925 ax-pre-ltirr 7926 ax-pre-ltwlin 7927 ax-pre-lttrn 7928 ax-pre-apti 7929 ax-pre-ltadd 7930 ax-pre-mulgt0 7931 ax-pre-mulext 7932 ax-arch 7933 ax-caucvg 7934 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-isom 5227 df-riota 5834 df-ov 5881 df-oprab 5882 df-mpo 5883 df-1st 6144 df-2nd 6145 df-recs 6309 df-irdg 6374 df-frec 6395 df-1o 6420 df-2o 6421 df-oadd 6424 df-er 6538 df-en 6744 df-dom 6745 df-fin 6746 df-sup 6986 df-pnf 7997 df-mnf 7998 df-xr 7999 df-ltxr 8000 df-le 8001 df-sub 8133 df-neg 8134 df-reap 8535 df-ap 8542 df-div 8633 df-inn 8923 df-2 8981 df-3 8982 df-4 8983 df-n0 9180 df-z 9257 df-uz 9532 df-q 9623 df-rp 9657 df-fz 10012 df-fzo 10146 df-fl 10273 df-mod 10326 df-seqfrec 10449 df-exp 10523 df-ihash 10759 df-cj 10854 df-re 10855 df-im 10856 df-rsqrt 11010 df-abs 11011 df-clim 11290 df-proddc 11562 df-dvds 11798 df-gcd 11947 df-prm 12111 df-phi 12214 |
| This theorem is referenced by: nnnn0modprm0 12258 |
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