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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modprm0 | Unicode version | ||
| Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}   ..^  ..^     ..^     |
, , ,
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | reumodprminv 12449 |
. . . 4
..^
  
| |
| 2 | reurex 2715 |
. . . 4
| |
| 3 | prmz 12306 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 4 | 3 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 5 | 4 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 6 | elfzelz 10119 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 7 | 6 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 8 | elfzoelz 10241 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 9 | 8 | 3ad2ant3 1022 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 10 | zmulcl 9398 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 11 | 7, 9, 10 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 12 | 5, 11 | zsubcld 9472 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 13 | prmnn 12305 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 14 | 13 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 16 | zmodfzo 10458 |
. . . . . . . 8
..^ | |
| 17 | 12, 15, 16 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
..^ ..^
..^ |
| 18 | 9 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 19 | zq 9719 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 20 | 18, 19 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 21 | zq 9719 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 22 | 12, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 23 | elfzoelz 10241 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 24 | 23 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 26 | zq 9719 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 27 | 5, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 28 | 15 | nngt0d 9053 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
 |
| 29 | modqaddmulmod 10502 |
. . . . . . . . 9
| |
| 30 | 20, 22, 25, 27, 28, 29 | syl32anc 1257 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 31 | 13 | nncnd 9023 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
| 32 | 31 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 33 | 32 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 34 | 6 | zcnd 9468 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 35 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 36 | 8 | zcnd 9468 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 37 | 36 | 3ad2ant3 1022 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 38 | mulcl 8025 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 39 | 35, 37, 38 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 40 | 23 | zcnd 9468 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 41 | 40 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 42 | 41 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 43 | 33, 39, 42 | subdird 8460 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 44 | 43 | oveq2d 5941 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 45 | 44 | oveq1d 5940 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 46 | mulcom 8027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 47 | 31, 40, 46 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 48 | 47 | oveq1d 5940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 49 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 50 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 51 | 50, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 52 | 13 | nngt0d 9053 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 53 | 52 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 54 | mulqmod0 10441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 55 | 49, 51, 53, 54 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 56 | 48, 55 | eqtrd 2229 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 57 | 56 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 58 | 57 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 59 | 35 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 60 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 61 | 59, 60, 42 | mul32d 8198 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 62 | 61 | oveq1d 5940 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 63 | elfznn 10148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 64 | 63 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 65 | 64 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 66 | elfzo1 10285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^  | |
| 67 | 66 | simp1bi 1014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 68 | 67 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 69 | 68 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 70 | 65, 69 | nnmulcld 9058 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 71 | nnq 9726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 72 | 70, 71 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 73 | modqmulmod 10500 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 74 | 72, 18, 27, 28, 73 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 75 | 62, 74 | eqtr4d 2232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 76 | 58, 75 | oveq12d 5943 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 77 | 76 | oveq1d 5940 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 78 | 15, 69 | nnmulcld 9058 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | nnq 9726 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 81 | elfzo1 10285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ | |
| 82 | 81 | simp1bi 1014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 83 | 82 | 3ad2ant3 1022 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 85 | 65, 84 | nnmulcld 9058 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 86 | 85, 69 | nnmulcld 9058 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 87 | nnq 9726 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 89 | modqsubmodmod 10494 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 90 | 80, 88, 27, 28, 89 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 91 | mulcom 8027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 92 | 41, 34, 91 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ ..^
|
| 93 | 92 | oveq1d 5940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^
|
| 94 | 93 | eqeq1d 2205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^
|
| 95 | 94 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 96 | 95 | impancom 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 97 | 96 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 98 | 97 | oveq1d 5940 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 99 | 98 | oveq1d 5940 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 100 | 99 | oveq2d 5941 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 101 | 100 | oveq1d 5940 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 102 | 60 | mulid2d 8064 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 103 | 102 | oveq1d 5940 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 104 | 84 | nnnn0d 9321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
 |
| 105 | 104 | nn0ge0d 9324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
 |
| 106 | elfzolt2 10251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
| |
| 107 | 106 | 3ad2ant3 1022 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 108 | 107 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 109 | modqid 10460 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 110 | 20, 27, 105, 108, 109 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 111 | 103, 110 | eqtrd 2229 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 112 | 111 | oveq2d 5941 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 113 | 112 | oveq1d 5940 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 114 | 101, 113 | eqtrd 2229 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 115 | 77, 90, 114 | 3eqtr3d 2237 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 116 | 115 | oveq2d 5941 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 117 | 116 | oveq1d 5940 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 118 | qsubcl 9731 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 119 | 80, 88, 118 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 120 | modqadd2mod 10485 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 121 | 119, 20, 27, 28, 120 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 122 | 0zd 9357 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
| |
| 123 | 122, 18 | zsubcld 9472 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 124 | zq 9719 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 125 | 123, 124 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 126 | modqadd2mod 10485 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 127 | 125, 20, 27, 28, 126 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 128 | 0cnd 8038 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
| |
| 129 | 36, 128 | pncan3d 8359 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 130 | 129 | 3ad2ant3 1022 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 131 | 130 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 132 | 131 | oveq1d 5940 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 133 | 3, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 134 | q0mod 10466 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 135 | 133, 52, 134 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 136 | 135 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 137 | 136 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 138 | 127, 132, 137 | 3eqtrd 2233 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 139 | 117, 121, 138 | 3eqtr3d 2237 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 140 | 30, 45, 139 | 3eqtrd 2233 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 141 | oveq1 5932 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 142 | 141 | oveq2d 5941 |
. . . . . . . . . 10
|
| 143 | 142 | oveq1d 5940 |
. . . . . . . . 9
|
| 144 | 143 | eqeq1d 2205 |
. . . . . . . 8
|
| 145 | 144 | rspcev 2868 |
. . . . . . 7
..^
..^ |
| 146 | 17, 140, 145 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
..^ ..^
..^ |
| 147 | 146 | ex 115 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 148 | 147 | rexlimiva 2609 |
. . . 4
..^ ..^
..^ |
| 149 | 1, 2, 148 | 3syl 17 |
. . 3
..^
..^ ..^ ..^ |
| 150 | 149 | 3adant3 1019 |
. 2
..^ ..^
..^ ..^ ..^ |
| 151 | 150 | pm2.43i 49 |
1
..^ ..^ ..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
w3a 980
wceq 1364
wcel 2167
wrex 2476
wreu 2477
class class class wbr 4034 (class class class)co 5925
cc 7896
cc0 7898
c1 7899
caddc 7901 cmul 7903 clt 8080 cle 8081 cmin 8216 cn 9009 cz 9345 cq 9712 cfz 10102 ..^cfzo 10236
cmo 10433
cprime 12302 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7989 ax-resscn 7990 ax-1cn 7991 ax-1re 7992 ax-icn 7993 ax-addcl 7994 ax-addrcl 7995 ax-mulcl 7996 ax-mulrcl 7997 ax-addcom 7998 ax-mulcom 7999 ax-addass 8000 ax-mulass 8001 ax-distr 8002 ax-i2m1 8003 ax-0lt1 8004 ax-1rid 8005 ax-0id 8006 ax-rnegex 8007 ax-precex 8008 ax-cnre 8009 ax-pre-ltirr 8010 ax-pre-ltwlin 8011 ax-pre-lttrn 8012 ax-pre-apti 8013 ax-pre-ltadd 8014 ax-pre-mulgt0 8015 ax-pre-mulext 8016 ax-arch 8017 ax-caucvg 8018 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-isom 5268 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-irdg 6437 df-frec 6458 df-1o 6483 df-2o 6484 df-oadd 6487 df-er 6601 df-en 6809 df-dom 6810 df-fin 6811 df-sup 7059 df-pnf 8082 df-mnf 8083 df-xr 8084 df-ltxr 8085 df-le 8086 df-sub 8218 df-neg 8219 df-reap 8621 df-ap 8628 df-div 8719 df-inn 9010 df-2 9068 df-3 9069 df-4 9070 df-n0 9269 df-z 9346 df-uz 9621 df-q 9713 df-rp 9748 df-fz 10103 df-fzo 10237 df-fl 10379 df-mod 10434 df-seqfrec 10559 df-exp 10650 df-ihash 10887 df-cj 11026 df-re 11027 df-im 11028 df-rsqrt 11182 df-abs 11183 df-clim 11463 df-proddc 11735 df-dvds 11972 df-gcd 12148 df-prm 12303 df-phi 12406 |
| This theorem is referenced by: nnnn0modprm0 12451 |
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