Nearby theorems
|
|
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modprm0 | Unicode version | ||
| Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}   ..^  ..^     ..^     |
, , ,
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | reumodprminv 12849 |
. . . 4
..^
  
| |
| 2 | reurex 2751 |
. . . 4
| |
| 3 | prmz 12706 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 4 | 3 | 3ad2ant1 1044 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 5 | 4 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 6 | elfzelz 10265 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 7 | 6 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 8 | elfzoelz 10387 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 9 | 8 | 3ad2ant3 1046 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 10 | zmulcl 9538 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 11 | 7, 9, 10 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 12 | 5, 11 | zsubcld 9612 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 13 | prmnn 12705 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 14 | 13 | 3ad2ant1 1044 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 16 | zmodfzo 10615 |
. . . . . . . 8
..^ | |
| 17 | 12, 15, 16 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
..^ ..^
..^ |
| 18 | 9 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 19 | zq 9865 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 20 | 18, 19 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 21 | zq 9865 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 22 | 12, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 23 | elfzoelz 10387 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 24 | 23 | 3ad2ant2 1045 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 26 | zq 9865 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 27 | 5, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 28 | 15 | nngt0d 9192 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
 |
| 29 | modqaddmulmod 10659 |
. . . . . . . . 9
| |
| 30 | 20, 22, 25, 27, 28, 29 | syl32anc 1281 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 31 | 13 | nncnd 9162 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
| 32 | 31 | 3ad2ant1 1044 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 33 | 32 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 34 | 6 | zcnd 9608 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 35 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 36 | 8 | zcnd 9608 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 37 | 36 | 3ad2ant3 1046 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 38 | mulcl 8164 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 39 | 35, 37, 38 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 40 | 23 | zcnd 9608 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 41 | 40 | 3ad2ant2 1045 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 42 | 41 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 43 | 33, 39, 42 | subdird 8599 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 44 | 43 | oveq2d 6039 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 45 | 44 | oveq1d 6038 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 46 | mulcom 8166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 47 | 31, 40, 46 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 48 | 47 | oveq1d 6038 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 49 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 50 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 51 | 50, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 52 | 13 | nngt0d 9192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 53 | 52 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 54 | mulqmod0 10598 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 55 | 49, 51, 53, 54 | syl3anc 1273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 56 | 48, 55 | eqtrd 2263 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 57 | 56 | 3adant3 1043 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 58 | 57 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 59 | 35 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 60 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 61 | 59, 60, 42 | mul32d 8337 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 62 | 61 | oveq1d 6038 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 63 | elfznn 10294 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 64 | 63 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 65 | 64 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 66 | elfzo1 10436 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^  | |
| 67 | 66 | simp1bi 1038 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 68 | 67 | 3ad2ant2 1045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 69 | 68 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 70 | 65, 69 | nnmulcld 9197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 71 | nnq 9872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 72 | 70, 71 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 73 | modqmulmod 10657 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 74 | 72, 18, 27, 28, 73 | syl22anc 1274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 75 | 62, 74 | eqtr4d 2266 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 76 | 58, 75 | oveq12d 6041 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 77 | 76 | oveq1d 6038 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 78 | 15, 69 | nnmulcld 9197 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | nnq 9872 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 81 | elfzo1 10436 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ | |
| 82 | 81 | simp1bi 1038 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 83 | 82 | 3ad2ant3 1046 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 85 | 65, 84 | nnmulcld 9197 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 86 | 85, 69 | nnmulcld 9197 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 87 | nnq 9872 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 89 | modqsubmodmod 10651 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 90 | 80, 88, 27, 28, 89 | syl22anc 1274 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 91 | mulcom 8166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 92 | 41, 34, 91 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ ..^
|
| 93 | 92 | oveq1d 6038 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^
|
| 94 | 93 | eqeq1d 2239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^
|
| 95 | 94 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 96 | 95 | impancom 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 97 | 96 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 98 | 97 | oveq1d 6038 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 99 | 98 | oveq1d 6038 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 100 | 99 | oveq2d 6039 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 101 | 100 | oveq1d 6038 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 102 | 60 | mulid2d 8203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 103 | 102 | oveq1d 6038 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 104 | 84 | nnnn0d 9460 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
 |
| 105 | 104 | nn0ge0d 9463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
 |
| 106 | elfzolt2 10397 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
| |
| 107 | 106 | 3ad2ant3 1046 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 108 | 107 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 109 | modqid 10617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 110 | 20, 27, 105, 108, 109 | syl22anc 1274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 111 | 103, 110 | eqtrd 2263 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 112 | 111 | oveq2d 6039 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 113 | 112 | oveq1d 6038 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 114 | 101, 113 | eqtrd 2263 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 115 | 77, 90, 114 | 3eqtr3d 2271 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 116 | 115 | oveq2d 6039 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 117 | 116 | oveq1d 6038 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 118 | qsubcl 9877 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 119 | 80, 88, 118 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 120 | modqadd2mod 10642 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 121 | 119, 20, 27, 28, 120 | syl22anc 1274 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 122 | 0zd 9496 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
| |
| 123 | 122, 18 | zsubcld 9612 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 124 | zq 9865 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 125 | 123, 124 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 126 | modqadd2mod 10642 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 127 | 125, 20, 27, 28, 126 | syl22anc 1274 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 128 | 0cnd 8177 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
| |
| 129 | 36, 128 | pncan3d 8498 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 130 | 129 | 3ad2ant3 1046 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 131 | 130 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 132 | 131 | oveq1d 6038 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 133 | 3, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 134 | q0mod 10623 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 135 | 133, 52, 134 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 136 | 135 | 3ad2ant1 1044 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 137 | 136 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 138 | 127, 132, 137 | 3eqtrd 2267 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 139 | 117, 121, 138 | 3eqtr3d 2271 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 140 | 30, 45, 139 | 3eqtrd 2267 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 141 | oveq1 6030 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 142 | 141 | oveq2d 6039 |
. . . . . . . . . 10
|
| 143 | 142 | oveq1d 6038 |
. . . . . . . . 9
|
| 144 | 143 | eqeq1d 2239 |
. . . . . . . 8
|
| 145 | 144 | rspcev 2909 |
. . . . . . 7
..^
..^ |
| 146 | 17, 140, 145 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
..^ ..^
..^ |
| 147 | 146 | ex 115 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 148 | 147 | rexlimiva 2644 |
. . . 4
..^ ..^
..^ |
| 149 | 1, 2, 148 | 3syl 17 |
. . 3
..^
..^ ..^ ..^ |
| 150 | 149 | 3adant3 1043 |
. 2
..^ ..^
..^ ..^ ..^ |
| 151 | 150 | pm2.43i 49 |
1
..^ ..^ ..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
w3a 1004
wceq 1397
wcel 2201
wrex 2510
wreu 2511
class class class wbr 4089 (class class class)co 6023
cc 8035
cc0 8037
c1 8038
caddc 8040 cmul 8042 clt 8219 cle 8220 cmin 8355 cn 9148 cz 9484 cq 9858 cfz 10248 ..^cfzo 10382
cmo 10590
cprime 12702 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2203 ax-14 2204 ax-ext 2212 ax-coll 4205 ax-sep 4208 ax-nul 4216 ax-pow 4266 ax-pr 4301 ax-un 4532 ax-setind 4637 ax-iinf 4688 ax-cnex 8128 ax-resscn 8129 ax-1cn 8130 ax-1re 8131 ax-icn 8132 ax-addcl 8133 ax-addrcl 8134 ax-mulcl 8135 ax-mulrcl 8136 ax-addcom 8137 ax-mulcom 8138 ax-addass 8139 ax-mulass 8140 ax-distr 8141 ax-i2m1 8142 ax-0lt1 8143 ax-1rid 8144 ax-0id 8145 ax-rnegex 8146 ax-precex 8147 ax-cnre 8148 ax-pre-ltirr 8149 ax-pre-ltwlin 8150 ax-pre-lttrn 8151 ax-pre-apti 8152 ax-pre-ltadd 8153 ax-pre-mulgt0 8154 ax-pre-mulext 8155 ax-arch 8156 ax-caucvg 8157 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1810 df-eu 2081 df-mo 2082 df-clab 2217 df-cleq 2223 df-clel 2226 df-nfc 2362 df-ne 2402 df-nel 2497 df-ral 2514 df-rex 2515 df-reu 2516 df-rmo 2517 df-rab 2518 df-v 2803 df-sbc 3031 df-csb 3127 df-dif 3201 df-un 3203 df-in 3205 df-ss 3212 df-nul 3494 df-if 3605 df-pw 3655 df-sn 3676 df-pr 3677 df-op 3679 df-uni 3895 df-int 3930 df-iun 3973 df-br 4090 df-opab 4152 df-mpt 4153 df-tr 4189 df-id 4392 df-po 4395 df-iso 4396 df-iord 4465 df-on 4467 df-ilim 4468 df-suc 4470 df-iom 4691 df-xp 4733 df-rel 4734 df-cnv 4735 df-co 4736 df-dm 4737 df-rn 4738 df-res 4739 df-ima 4740 df-iota 5288 df-fun 5330 df-fn 5331 df-f 5332 df-f1 5333 df-fo 5334 df-f1o 5335 df-fv 5336 df-isom 5337 df-riota 5976 df-ov 6026 df-oprab 6027 df-mpo 6028 df-1st 6308 df-2nd 6309 df-recs 6476 df-irdg 6541 df-frec 6562 df-1o 6587 df-2o 6588 df-oadd 6591 df-er 6707 df-en 6915 df-dom 6916 df-fin 6917 df-sup 7188 df-pnf 8221 df-mnf 8222 df-xr 8223 df-ltxr 8224 df-le 8225 df-sub 8357 df-neg 8358 df-reap 8760 df-ap 8767 df-div 8858 df-inn 9149 df-2 9207 df-3 9208 df-4 9209 df-n0 9408 df-z 9485 df-uz 9761 df-q 9859 df-rp 9894 df-fz 10249 df-fzo 10383 df-fl 10536 df-mod 10591 df-seqfrec 10716 df-exp 10807 df-ihash 11044 df-cj 11425 df-re 11426 df-im 11427 df-rsqrt 11581 df-abs 11582 df-clim 11862 df-proddc 12135 df-dvds 12372 df-gcd 12548 df-prm 12703 df-phi 12806 |
| This theorem is referenced by: nnnn0modprm0 12851 |
| Copyright terms: Public domain | W3C validator |