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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modprm0 | Unicode version | ||
| Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}   ..^  ..^     ..^     |
, , ,
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | reumodprminv 12979 |
. . . 4
..^
  
| |
| 2 | reurex 2765 |
. . . 4
| |
| 3 | prmz 12836 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 4 | 3 | 3ad2ant1 1045 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 5 | 4 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 6 | elfzelz 10381 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 7 | 6 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 8 | elfzoelz 10506 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 9 | 8 | 3ad2ant3 1047 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 10 | zmulcl 9651 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 11 | 7, 9, 10 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 12 | 5, 11 | zsubcld 9726 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 13 | prmnn 12835 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 14 | 13 | 3ad2ant1 1045 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 16 | zmodfzo 10736 |
. . . . . . . 8
..^ | |
| 17 | 12, 15, 16 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
..^ ..^
..^ |
| 18 | 9 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 19 | zq 9979 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 20 | 18, 19 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 21 | zq 9979 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 22 | 12, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 23 | elfzoelz 10506 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 24 | 23 | 3ad2ant2 1046 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 26 | zq 9979 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 27 | 5, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 28 | 15 | nngt0d 9301 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
 |
| 29 | modqaddmulmod 10780 |
. . . . . . . . 9
| |
| 30 | 20, 22, 25, 27, 28, 29 | syl32anc 1282 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 31 | 13 | nncnd 9271 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
| 32 | 31 | 3ad2ant1 1045 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 33 | 32 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 34 | 6 | zcnd 9722 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 35 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 36 | 8 | zcnd 9722 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 37 | 36 | 3ad2ant3 1047 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 38 | mulcl 8270 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 39 | 35, 37, 38 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 40 | 23 | zcnd 9722 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 41 | 40 | 3ad2ant2 1046 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 42 | 41 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 43 | 33, 39, 42 | subdird 8706 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 44 | 43 | oveq2d 6074 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 45 | 44 | oveq1d 6073 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 46 | mulcom 8272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 47 | 31, 40, 46 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 48 | 47 | oveq1d 6073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 49 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 50 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 51 | 50, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 52 | 13 | nngt0d 9301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 53 | 52 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 54 | mulqmod0 10719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 55 | 49, 51, 53, 54 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 56 | 48, 55 | eqtrd 2267 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 57 | 56 | 3adant3 1044 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 58 | 57 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 59 | 35 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 60 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 61 | 59, 60, 42 | mul32d 8443 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 62 | 61 | oveq1d 6073 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 63 | elfznn 10412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 64 | 63 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 65 | 64 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 66 | elfzo1 10555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^  | |
| 67 | 66 | simp1bi 1039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 68 | 67 | 3ad2ant2 1046 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 69 | 68 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 70 | 65, 69 | nnmulcld 9306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 71 | nnq 9986 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 72 | 70, 71 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 73 | modqmulmod 10778 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 74 | 72, 18, 27, 28, 73 | syl22anc 1275 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 75 | 62, 74 | eqtr4d 2270 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 76 | 58, 75 | oveq12d 6076 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 77 | 76 | oveq1d 6073 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 78 | 15, 69 | nnmulcld 9306 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | nnq 9986 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 81 | elfzo1 10555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ | |
| 82 | 81 | simp1bi 1039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 83 | 82 | 3ad2ant3 1047 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 85 | 65, 84 | nnmulcld 9306 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 86 | 85, 69 | nnmulcld 9306 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 87 | nnq 9986 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 89 | modqsubmodmod 10772 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 90 | 80, 88, 27, 28, 89 | syl22anc 1275 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 91 | mulcom 8272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 92 | 41, 34, 91 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ ..^
|
| 93 | 92 | oveq1d 6073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^
|
| 94 | 93 | eqeq1d 2243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^
|
| 95 | 94 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 96 | 95 | impancom 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 97 | 96 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 98 | 97 | oveq1d 6073 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 99 | 98 | oveq1d 6073 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 100 | 99 | oveq2d 6074 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 101 | 100 | oveq1d 6073 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 102 | 60 | mullidd 8308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 103 | 102 | oveq1d 6073 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 104 | 84 | nnnn0d 9573 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
 |
| 105 | 104 | nn0ge0d 9576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
 |
| 106 | elfzolt2 10516 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
| |
| 107 | 106 | 3ad2ant3 1047 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 108 | 107 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 109 | modqid 10738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 110 | 20, 27, 105, 108, 109 | syl22anc 1275 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 111 | 103, 110 | eqtrd 2267 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 112 | 111 | oveq2d 6074 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 113 | 112 | oveq1d 6073 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 114 | 101, 113 | eqtrd 2267 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 115 | 77, 90, 114 | 3eqtr3d 2275 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 116 | 115 | oveq2d 6074 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 117 | 116 | oveq1d 6073 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 118 | qsubcl 9991 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 119 | 80, 88, 118 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 120 | modqadd2mod 10763 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 121 | 119, 20, 27, 28, 120 | syl22anc 1275 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 122 | 0zd 9609 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
| |
| 123 | 122, 18 | zsubcld 9726 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 124 | zq 9979 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 125 | 123, 124 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 126 | modqadd2mod 10763 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 127 | 125, 20, 27, 28, 126 | syl22anc 1275 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 128 | 0cnd 8283 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
| |
| 129 | 36, 128 | pncan3d 8604 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 130 | 129 | 3ad2ant3 1047 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 131 | 130 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 132 | 131 | oveq1d 6073 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 133 | 3, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 134 | q0mod 10744 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 135 | 133, 52, 134 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 136 | 135 | 3ad2ant1 1045 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 137 | 136 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 138 | 127, 132, 137 | 3eqtrd 2271 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 139 | 117, 121, 138 | 3eqtr3d 2275 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 140 | 30, 45, 139 | 3eqtrd 2271 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 141 | oveq1 6065 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 142 | 141 | oveq2d 6074 |
. . . . . . . . . 10
|
| 143 | 142 | oveq1d 6073 |
. . . . . . . . 9
|
| 144 | 143 | eqeq1d 2243 |
. . . . . . . 8
|
| 145 | 144 | rspcev 2923 |
. . . . . . 7
..^
..^ |
| 146 | 17, 140, 145 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
..^ ..^
..^ |
| 147 | 146 | ex 115 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 148 | 147 | rexlimiva 2657 |
. . . 4
..^ ..^
..^ |
| 149 | 1, 2, 148 | 3syl 17 |
. . 3
..^
..^ ..^ ..^ |
| 150 | 149 | 3adant3 1044 |
. 2
..^ ..^
..^ ..^ ..^ |
| 151 | 150 | pm2.43i 49 |
1
..^ ..^ ..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
w3a 1005
wceq 1398
wcel 2205
wrex 2523
wreu 2524
class class class wbr 4114 (class class class)co 6058
cc 8141
cc0 8143
c1 8144
caddc 8146 cmul 8148 clt 8324 cle 8325 cmin 8461 cn 9257 cz 9597 cq 9972 cfz 10364 ..^cfzo 10501
cmo 10711
cprime 12832 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261 ax-arch 8262 ax-caucvg 8263 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-isom 5366 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-irdg 6614 df-frec 6635 df-1o 6660 df-2o 6661 df-oadd 6664 df-er 6780 df-en 6989 df-dom 6990 df-fin 6991 df-sup 7288 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8463 df-neg 8464 df-reap 8867 df-ap 8874 df-div 8967 df-inn 9258 df-2 9316 df-3 9317 df-4 9318 df-n0 9517 df-z 9598 df-uz 9875 df-q 9973 df-rp 10008 df-fz 10365 df-fzo 10502 df-fl 10657 df-mod 10712 df-seqfrec 10837 df-exp 10928 df-ihash 11167 df-cj 11555 df-re 11556 df-im 11557 df-rsqrt 11711 df-abs 11712 df-clim 11992 df-proddc 12265 df-dvds 12502 df-gcd 12678 df-prm 12833 df-phi 12936 |
| This theorem is referenced by: nnnn0modprm0 12981 |
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