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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modprm0 | Unicode version | ||
| Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}   ..^  ..^     ..^     |
, , ,
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | reumodprminv 12255 |
. . . 4
..^
  
| |
| 2 | reurex 2691 |
. . . 4
| |
| 3 | prmz 12113 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 4 | 3 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 5 | 4 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 6 | elfzelz 10027 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 7 | 6 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 8 | elfzoelz 10149 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 9 | 8 | 3ad2ant3 1020 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 10 | zmulcl 9308 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 11 | 7, 9, 10 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 12 | 5, 11 | zsubcld 9382 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 13 | prmnn 12112 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 14 | 13 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 16 | zmodfzo 10349 |
. . . . . . . 8
..^ | |
| 17 | 12, 15, 16 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
..^ ..^
..^ |
| 18 | 9 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 19 | zq 9628 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 20 | 18, 19 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 21 | zq 9628 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 22 | 12, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 23 | elfzoelz 10149 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 24 | 23 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 26 | zq 9628 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 27 | 5, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 28 | 15 | nngt0d 8965 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
 |
| 29 | modqaddmulmod 10393 |
. . . . . . . . 9
| |
| 30 | 20, 22, 25, 27, 28, 29 | syl32anc 1246 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 31 | 13 | nncnd 8935 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
| 32 | 31 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 33 | 32 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 34 | 6 | zcnd 9378 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 35 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 36 | 8 | zcnd 9378 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 37 | 36 | 3ad2ant3 1020 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 38 | mulcl 7940 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 39 | 35, 37, 38 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 40 | 23 | zcnd 9378 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 41 | 40 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 42 | 41 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 43 | 33, 39, 42 | subdird 8374 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 44 | 43 | oveq2d 5893 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 45 | 44 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 46 | mulcom 7942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 47 | 31, 40, 46 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 48 | 47 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 49 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 50 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 51 | 50, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 52 | 13 | nngt0d 8965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 53 | 52 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 54 | mulqmod0 10332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 55 | 49, 51, 53, 54 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 56 | 48, 55 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 57 | 56 | 3adant3 1017 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 58 | 57 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 59 | 35 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 60 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 61 | 59, 60, 42 | mul32d 8112 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 62 | 61 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 63 | elfznn 10056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 64 | 63 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 65 | 64 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 66 | elfzo1 10192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^  | |
| 67 | 66 | simp1bi 1012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 68 | 67 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 69 | 68 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 70 | 65, 69 | nnmulcld 8970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 71 | nnq 9635 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 72 | 70, 71 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 73 | modqmulmod 10391 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 74 | 72, 18, 27, 28, 73 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 75 | 62, 74 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 76 | 58, 75 | oveq12d 5895 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 77 | 76 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 78 | 15, 69 | nnmulcld 8970 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | nnq 9635 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 81 | elfzo1 10192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ | |
| 82 | 81 | simp1bi 1012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 83 | 82 | 3ad2ant3 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 85 | 65, 84 | nnmulcld 8970 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 86 | 85, 69 | nnmulcld 8970 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 87 | nnq 9635 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 89 | modqsubmodmod 10385 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 90 | 80, 88, 27, 28, 89 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 91 | mulcom 7942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 92 | 41, 34, 91 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ ..^
|
| 93 | 92 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^
|
| 94 | 93 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^
|
| 95 | 94 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 96 | 95 | impancom 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 97 | 96 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 98 | 97 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 99 | 98 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 100 | 99 | oveq2d 5893 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 101 | 100 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 102 | 60 | mulid2d 7978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 103 | 102 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 104 | 84 | nnnn0d 9231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
 |
| 105 | 104 | nn0ge0d 9234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
 |
| 106 | elfzolt2 10158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
| |
| 107 | 106 | 3ad2ant3 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 108 | 107 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 109 | modqid 10351 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 110 | 20, 27, 105, 108, 109 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 111 | 103, 110 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 112 | 111 | oveq2d 5893 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 113 | 112 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
|
| 114 | 101, 113 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 115 | 77, 90, 114 | 3eqtr3d 2218 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 116 | 115 | oveq2d 5893 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 117 | 116 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 118 | qsubcl 9640 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 119 | 80, 88, 118 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 120 | modqadd2mod 10376 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 121 | 119, 20, 27, 28, 120 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 122 | 0zd 9267 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
| |
| 123 | 122, 18 | zsubcld 9382 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 124 | zq 9628 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 125 | 123, 124 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 126 | modqadd2mod 10376 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 127 | 125, 20, 27, 28, 126 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 128 | 0cnd 7952 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
| |
| 129 | 36, 128 | pncan3d 8273 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 130 | 129 | 3ad2ant3 1020 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 131 | 130 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 132 | 131 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 133 | 3, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 134 | q0mod 10357 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 135 | 133, 52, 134 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 136 | 135 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 137 | 136 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^
|
| 138 | 127, 132, 137 | 3eqtrd 2214 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 139 | 117, 121, 138 | 3eqtr3d 2218 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 140 | 30, 45, 139 | 3eqtrd 2214 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 141 | oveq1 5884 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 142 | 141 | oveq2d 5893 |
. . . . . . . . . 10
|
| 143 | 142 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . 9
|
| 144 | 143 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . 8
|
| 145 | 144 | rspcev 2843 |
. . . . . . 7
..^
..^ |
| 146 | 17, 140, 145 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
..^ ..^
..^ |
| 147 | 146 | ex 115 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 148 | 147 | rexlimiva 2589 |
. . . 4
..^ ..^
..^ |
| 149 | 1, 2, 148 | 3syl 17 |
. . 3
..^
..^ ..^ ..^ |
| 150 | 149 | 3adant3 1017 |
. 2
..^ ..^
..^ ..^ ..^ |
| 151 | 150 | pm2.43i 49 |
1
..^ ..^ ..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
w3a 978
wceq 1353
wcel 2148
wrex 2456
wreu 2457
class class class wbr 4005 (class class class)co 5877
cc 7811
cc0 7813
c1 7814
caddc 7816 cmul 7818 clt 7994 cle 7995 cmin 8130 cn 8921 cz 9255 cq 9621 cfz 10010 ..^cfzo 10144
cmo 10324
cprime 12109 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 ax-caucvg 7933 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-isom 5227 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-irdg 6373 df-frec 6394 df-1o 6419 df-2o 6420 df-oadd 6423 df-er 6537 df-en 6743 df-dom 6744 df-fin 6745 df-sup 6985 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-q 9622 df-rp 9656 df-fz 10011 df-fzo 10145 df-fl 10272 df-mod 10325 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-ihash 10758 df-cj 10853 df-re 10854 df-im 10855 df-rsqrt 11009 df-abs 11010 df-clim 11289 df-proddc 11561 df-dvds 11797 df-gcd 11946 df-prm 12110 df-phi 12213 |
| This theorem is referenced by: nnnn0modprm0 12257 |
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