odzdvds - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > odzdvds		Unicode version

Theorem odzdvds 12136

Description: The only powers of

that are congruent to

are the multiples of the order of

. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
odzdvds	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem odzdvds Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9193	. . . . . . . . . 10
2		zq 9542	. . . . . . . . . 10
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 275	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5		odzcl 12134	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
7		nnq 9549	. . . . . . . . 9
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
9	6	nngt0d 8883	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10		modqlt 10242	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1220	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
12	1	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
13	12, 6	zmodcld 10254	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	nn0zd 9290	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	6	nnzd 9291	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
16		zltnle 9219	. . . . . . . 8 $/\$
17	14, 15, 16	syl2anc 409	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
18	11, 17	mpbid 146	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
19		1zzd 9200	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nnuz 9480	. . . . . . . . . . 11
21	20	rabeqi 2705	. . . . . . . . . 10
22		oveq2 5835	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	oveq1d 5842	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	breq2d 3979	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	elrab 2868	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	25	biimpri 132	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27	26	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simp1 982	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
29	28	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simp2 983	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
31	30	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		elfznn 9963	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	nnnn0d 9149	. . . . . . . . . . . . . 14
34	33	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		zexpcl 10444	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
36	31, 34, 35	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		peano2zm 9211	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdsdc 11706	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
40	29, 38, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
41	19, 21, 27, 40	infssuzledc 11850	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
42	41	ex 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
43	42	ancomsd 267	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
44		odzval 12132	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ inf
45	44	adantr 274	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ inf
46	45	breq1d 3977	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ inf
47	43, 46	sylibrd 168	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	18, 47	mtod 653	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		imnan 680	. . . . 5 $/\$
50	48, 49	sylibr 133	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
51		elnn0 9098	. . . . . 6 $\/$
52	13, 51	sylib 121	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
53	52	ord 714	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
54	50, 53	syld 45	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
55		simpl1 985	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	nnzd 9291	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
57		dvds0 11714	. . . . . 6
58	56, 57	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
59		simpl2 986	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	zcnd 9293	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
61	60	exp0d 10555	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	oveq1d 5842	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
63		1m1e0 8908	. . . . . 6
64	62, 63	eqtrdi 2206	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
65	58, 64	breqtrrd 3995	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
66		oveq2 5835	. . . . . 6
67	66	oveq1d 5842	. . . . 5
68	67	breq2d 3979	. . . 4
69	65, 68	syl5ibrcom 156	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	impbid 128	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
71	6	nnnn0d 9149	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
72		znq 9540	. . . . . . . . . . 11 $/\$
73	12, 6, 72	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74		nn0ge0 9121	. . . . . . . . . . . 12
75	74	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0re 9105	. . . . . . . . . . . . 13
77	76	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
78	6	nnred 8852	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
79		ge0div 8748	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80	77, 78, 9, 79	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
81	75, 80	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
82		flqge0nn0 10202	. . . . . . . . . 10 $/\$
83	73, 81, 82	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
84	71, 83	nn0mulcld 9154	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
85		zexpcl 10444	. . . . . . . 8 $/\$
86	59, 84, 85	syl2anc 409	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87		zq 9542	. . . . . . 7
88	86, 87	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		1z 9199	. . . . . . 7
90		zq 9542	. . . . . . 7
91	89, 90	mp1i 10	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
92		zexpcl 10444	. . . . . . 7 $/\$
93	59, 13, 92	syl2anc 409	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
94		nnq 9549	. . . . . . 7
95	55, 94	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
96	55	nngt0d 8883	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	60, 83, 71	expmuld 10564	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	oveq1d 5842	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		zexpcl 10444	. . . . . . . . 9 $/\$
100	59, 71, 99	syl2anc 409	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101		1zzd 9200	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102		odzid 12135	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103	102	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
104		moddvds 11707	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
105	55, 100, 101, 104	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	mpbird 166	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107	100, 101, 83, 95, 96, 106	modqexp 10554	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
108	73	flqcld 10186	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
109		1exp 10458	. . . . . . . . 9
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	oveq1d 5842	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
112	98, 107, 111	3eqtrd 2194	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
113	88, 91, 93, 95, 96, 112	modqmul1 10286	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
114	60, 13, 84	expaddd 10563	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
115		modqval 10233	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116	4, 8, 9, 115	syl3anc 1220	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	oveq2d 5843	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
118	84	nn0cnd 9151	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
119	77	recnd 7909	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
120	118, 119	pncan3d 8194	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
121	117, 120	eqtrd 2190	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
122	121	oveq2d 5843	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
123	114, 122	eqtr3d 2192	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq1d 5842	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
125	93	zcnd 9293	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126	125	mulid2d 7899	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 5842	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
128	113, 124, 127	3eqtr3d 2198	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	eqeq1d 2166	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
130		zexpcl 10444	. . . . 5 $/\$
131	59, 130	sylancom 417	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
132		moddvds 11707	. . . 4 $/\$ $/\$
133	55, 131, 101, 132	syl3anc 1220	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
134		moddvds 11707	. . . 4 $/\$ $/\$
135	55, 93, 101, 134	syl3anc 1220	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
136	129, 133, 135	3bitr3d 217	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
137		dvdsval3 11699	. . 3 $/\$
138	6, 12, 137	syl2anc 409	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
139	70, 136, 138	3bitr4d 219	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 698 DECID wdc 820 $/\$ w3a 963

wceq 1335

wcel 2128

crab 2439 class class class wbr 3967

cfv 5173 (class class class)co 5827 infcinf 6930

cr 7734

cc0 7735

c1 7736

caddc 7738

cmul 7740

clt 7915

cle 7916

cmin 8051

cdiv 8550

cn 8839

cn0 9096

cz 9173

cuz 9445

cq 9535

cfz 9919

cfl 10177

cmo 10231

cexp 10428

cdvds 11695

cgcd 11842

codz 12099

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1427 ax-7 1428 ax-gen 1429 ax-ie1 1473 ax-ie2 1474 ax-8 1484 ax-10 1485 ax-11 1486 ax-i12 1487 ax-bndl 1489 ax-4 1490 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-13 2130 ax-14 2131 ax-ext 2139 ax-coll 4082 ax-sep 4085 ax-nul 4093 ax-pow 4138 ax-pr 4172 ax-un 4396 ax-setind 4499 ax-iinf 4550 ax-cnex 7826 ax-resscn 7827 ax-1cn 7828 ax-1re 7829 ax-icn 7830 ax-addcl 7831 ax-addrcl 7832 ax-mulcl 7833 ax-mulrcl 7834 ax-addcom 7835 ax-mulcom 7836 ax-addass 7837 ax-mulass 7838 ax-distr 7839 ax-i2m1 7840 ax-0lt1 7841 ax-1rid 7842 ax-0id 7843 ax-rnegex 7844 ax-precex 7845 ax-cnre 7846 ax-pre-ltirr 7847 ax-pre-ltwlin 7848 ax-pre-lttrn 7849 ax-pre-apti 7850 ax-pre-ltadd 7851 ax-pre-mulgt0 7852 ax-pre-mulext 7853 ax-arch 7854 ax-caucvg 7855

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 817 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1338 df-fal 1341 df-nf 1441 df-sb 1743 df-eu 2009 df-mo 2010 df-clab 2144 df-cleq 2150 df-clel 2153 df-nfc 2288 df-ne 2328 df-nel 2423 df-ral 2440 df-rex 2441 df-reu 2442 df-rmo 2443 df-rab 2444 df-v 2714 df-sbc 2938 df-csb 3032 df-dif 3104 df-un 3106 df-in 3108 df-ss 3115 df-nul 3396 df-if 3507 df-pw 3546 df-sn 3567 df-pr 3568 df-op 3570 df-uni 3775 df-int 3810 df-iun 3853 df-br 3968 df-opab 4029 df-mpt 4030 df-tr 4066 df-id 4256 df-po 4259 df-iso 4260 df-iord 4329 df-on 4331 df-ilim 4332 df-suc 4334 df-iom 4553 df-xp 4595 df-rel 4596 df-cnv 4597 df-co 4598 df-dm 4599 df-rn 4600 df-res 4601 df-ima 4602 df-iota 5138 df-fun 5175 df-fn 5176 df-f 5177 df-f1 5178 df-fo 5179 df-f1o 5180 df-fv 5181 df-isom 5182 df-riota 5783 df-ov 5830 df-oprab 5831 df-mpo 5832 df-1st 6091 df-2nd 6092 df-recs 6255 df-irdg 6320 df-frec 6341 df-1o 6366 df-oadd 6370 df-er 6483 df-en 6689 df-dom 6690 df-fin 6691 df-sup 6931 df-inf 6932 df-pnf 7917 df-mnf 7918 df-xr 7919 df-ltxr 7920 df-le 7921 df-sub 8053 df-neg 8054 df-reap 8455 df-ap 8462 df-div 8551 df-inn 8840 df-2 8898 df-3 8899 df-4 8900 df-n0 9097 df-z 9174 df-uz 9446 df-q 9536 df-rp 9568 df-fz 9920 df-fzo 10052 df-fl 10179 df-mod 10232 df-seqfrec 10355 df-exp 10429 df-ihash 10662 df-cj 10754 df-re 10755 df-im 10756 df-rsqrt 10910 df-abs 10911 df-clim 11188 df-proddc 11460 df-dvds 11696 df-gcd 11843 df-odz 12101 df-phi 12102

This theorem is referenced by: odzphi 12137

W3C validator