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Theorem odzdvds 12768

Description: The only powers of

that are congruent to

are the multiples of the order of

. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
odzdvds	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem odzdvds Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9466	. . . . . . . . . 10
2		zq 9821	. . . . . . . . . 10
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5		odzcl 12766	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
7		nnq 9828	. . . . . . . . 9
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
9	6	nngt0d 9154	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10		modqlt 10555	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1271	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
12	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
13	12, 6	zmodcld 10567	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	nn0zd 9567	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	6	nnzd 9568	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
16		zltnle 9492	. . . . . . . 8 $/\$
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
18	11, 17	mpbid 147	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
19		1zzd 9473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nnuz 9758	. . . . . . . . . . 11
21	20	rabeqi 2792	. . . . . . . . . 10
22		oveq2 6009	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	breq2d 4095	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	elrab 2959	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	25	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simp1 1021	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
29	28	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simp2 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		elfznn 10250	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	nnnn0d 9422	. . . . . . . . . . . . . 14
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		zexpcl 10776	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		peano2zm 9484	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdsdc 12309	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
40	29, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
41	19, 21, 27, 40	infssuzledc 10454	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
43	42	ancomsd 269	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
44		odzval 12764	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ inf
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ inf
46	45	breq1d 4093	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ inf
47	43, 46	sylibrd 169	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	18, 47	mtod 667	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		imnan 694	. . . . 5 $/\$
50	48, 49	sylibr 134	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
51		elnn0 9371	. . . . . 6 $\/$
52	13, 51	sylib 122	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
53	52	ord 729	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
54	50, 53	syld 45	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
55		simpl1 1024	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	nnzd 9568	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
57		dvds0 12317	. . . . . 6
58	56, 57	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
59		simpl2 1025	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	zcnd 9570	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
61	60	exp0d 10889	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	oveq1d 6016	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
63		1m1e0 9179	. . . . . 6
64	62, 63	eqtrdi 2278	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
65	58, 64	breqtrrd 4111	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
66		oveq2 6009	. . . . . 6
67	66	oveq1d 6016	. . . . 5
68	67	breq2d 4095	. . . 4
69	65, 68	syl5ibrcom 157	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	impbid 129	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
71	6	nnnn0d 9422	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
72		znq 9819	. . . . . . . . . . 11 $/\$
73	12, 6, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74		nn0ge0 9394	. . . . . . . . . . . 12
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0re 9378	. . . . . . . . . . . . 13
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
78	6	nnred 9123	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
79		ge0div 9018	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80	77, 78, 9, 79	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
81	75, 80	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
82		flqge0nn0 10513	. . . . . . . . . 10 $/\$
83	73, 81, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
84	71, 83	nn0mulcld 9427	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
85		zexpcl 10776	. . . . . . . 8 $/\$
86	59, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87		zq 9821	. . . . . . 7
88	86, 87	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		1z 9472	. . . . . . 7
90		zq 9821	. . . . . . 7
91	89, 90	mp1i 10	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
92		zexpcl 10776	. . . . . . 7 $/\$
93	59, 13, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
94		nnq 9828	. . . . . . 7
95	55, 94	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
96	55	nngt0d 9154	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	60, 83, 71	expmuld 10898	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	oveq1d 6016	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		zexpcl 10776	. . . . . . . . 9 $/\$
100	59, 71, 99	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101		1zzd 9473	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102		odzid 12767	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
104		moddvds 12310	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
105	55, 100, 101, 104	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107	100, 101, 83, 95, 96, 106	modqexp 10888	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
108	73	flqcld 10497	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
109		1exp 10790	. . . . . . . . 9
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	oveq1d 6016	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
112	98, 107, 111	3eqtrd 2266	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
113	88, 91, 93, 95, 96, 112	modqmul1 10599	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
114	60, 13, 84	expaddd 10897	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
115		modqval 10546	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116	4, 8, 9, 115	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
118	84	nn0cnd 9424	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
119	77	recnd 8175	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
120	118, 119	pncan3d 8460	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
121	117, 120	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
122	121	oveq2d 6017	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
123	114, 122	eqtr3d 2264	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq1d 6016	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
125	93	zcnd 9570	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126	125	mulid2d 8165	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 6016	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
128	113, 124, 127	3eqtr3d 2270	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	eqeq1d 2238	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
130		zexpcl 10776	. . . . 5 $/\$
131	59, 130	sylancom 420	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
132		moddvds 12310	. . . 4 $/\$ $/\$
133	55, 131, 101, 132	syl3anc 1271	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
134		moddvds 12310	. . . 4 $/\$ $/\$
135	55, 93, 101, 134	syl3anc 1271	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
136	129, 133, 135	3bitr3d 218	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
137		dvdsval3 12302	. . 3 $/\$
138	6, 12, 137	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
139	70, 136, 138	3bitr4d 220	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713 DECID wdc 839 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

crab 2512 class class class wbr 4083

cfv 5318 (class class class)co 6001 infcinf 7150

cr 7998

cc0 7999

c1 8000

caddc 8002

cmul 8004

clt 8181

cle 8182

cmin 8317

cdiv 8819

cn 9110

cn0 9369

cz 9446

cuz 9722

cq 9814

cfz 10204

cfl 10488

cmo 10544

cexp 10760

cdvds 12298

cgcd 12474

codz 12730

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-mulrcl 8098 ax-addcom 8099 ax-mulcom 8100 ax-addass 8101 ax-mulass 8102 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-1rid 8106 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-precex 8109 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-ltwlin 8112 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-apti 8114 ax-pre-ltadd 8115 ax-pre-mulgt0 8116 ax-pre-mulext 8117 ax-arch 8118 ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-isom 5327 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-1st 6286 df-2nd 6287 df-recs 6451 df-irdg 6516 df-frec 6537 df-1o 6562 df-oadd 6566 df-er 6680 df-en 6888 df-dom 6889 df-fin 6890 df-sup 7151 df-inf 7152 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-xr 8185 df-ltxr 8186 df-le 8187 df-sub 8319 df-neg 8320 df-reap 8722 df-ap 8729 df-div 8820 df-inn 9111 df-2 9169 df-3 9170 df-4 9171 df-n0 9370 df-z 9447 df-uz 9723 df-q 9815 df-rp 9850 df-fz 10205 df-fzo 10339 df-fl 10490 df-mod 10545 df-seqfrec 10670 df-exp 10761 df-ihash 10998 df-cj 11353 df-re 11354 df-im 11355 df-rsqrt 11509 df-abs 11510 df-clim 11790 df-proddc 12062 df-dvds 12299 df-gcd 12475 df-odz 12732 df-phi 12733

This theorem is referenced by: odzphi 12769 pockthlem 12879

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