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Theorem odzdvds 12784

Description: The only powers of

that are congruent to

are the multiples of the order of

. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
odzdvds	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem odzdvds Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9477	. . . . . . . . . 10
2		zq 9833	. . . . . . . . . 10
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5		odzcl 12782	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
7		nnq 9840	. . . . . . . . 9
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
9	6	nngt0d 9165	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10		modqlt 10567	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1271	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
12	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
13	12, 6	zmodcld 10579	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	nn0zd 9578	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	6	nnzd 9579	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
16		zltnle 9503	. . . . . . . 8 $/\$
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
18	11, 17	mpbid 147	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
19		1zzd 9484	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nnuz 9770	. . . . . . . . . . 11
21	20	rabeqi 2792	. . . . . . . . . 10
22		oveq2 6015	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	breq2d 4095	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	elrab 2959	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	25	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simp1 1021	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
29	28	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simp2 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		elfznn 10262	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	nnnn0d 9433	. . . . . . . . . . . . . 14
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		zexpcl 10788	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		peano2zm 9495	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdsdc 12325	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
40	29, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
41	19, 21, 27, 40	infssuzledc 10466	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
43	42	ancomsd 269	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
44		odzval 12780	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ inf
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ inf
46	45	breq1d 4093	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ inf
47	43, 46	sylibrd 169	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	18, 47	mtod 667	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		imnan 694	. . . . 5 $/\$
50	48, 49	sylibr 134	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
51		elnn0 9382	. . . . . 6 $\/$
52	13, 51	sylib 122	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
53	52	ord 729	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
54	50, 53	syld 45	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
55		simpl1 1024	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	nnzd 9579	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
57		dvds0 12333	. . . . . 6
58	56, 57	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
59		simpl2 1025	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	zcnd 9581	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
61	60	exp0d 10901	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	oveq1d 6022	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
63		1m1e0 9190	. . . . . 6
64	62, 63	eqtrdi 2278	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
65	58, 64	breqtrrd 4111	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
66		oveq2 6015	. . . . . 6
67	66	oveq1d 6022	. . . . 5
68	67	breq2d 4095	. . . 4
69	65, 68	syl5ibrcom 157	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	impbid 129	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
71	6	nnnn0d 9433	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
72		znq 9831	. . . . . . . . . . 11 $/\$
73	12, 6, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74		nn0ge0 9405	. . . . . . . . . . . 12
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0re 9389	. . . . . . . . . . . . 13
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
78	6	nnred 9134	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
79		ge0div 9029	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80	77, 78, 9, 79	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
81	75, 80	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
82		flqge0nn0 10525	. . . . . . . . . 10 $/\$
83	73, 81, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
84	71, 83	nn0mulcld 9438	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
85		zexpcl 10788	. . . . . . . 8 $/\$
86	59, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87		zq 9833	. . . . . . 7
88	86, 87	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		1z 9483	. . . . . . 7
90		zq 9833	. . . . . . 7
91	89, 90	mp1i 10	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
92		zexpcl 10788	. . . . . . 7 $/\$
93	59, 13, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
94		nnq 9840	. . . . . . 7
95	55, 94	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
96	55	nngt0d 9165	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	60, 83, 71	expmuld 10910	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	oveq1d 6022	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		zexpcl 10788	. . . . . . . . 9 $/\$
100	59, 71, 99	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101		1zzd 9484	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102		odzid 12783	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
104		moddvds 12326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
105	55, 100, 101, 104	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107	100, 101, 83, 95, 96, 106	modqexp 10900	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
108	73	flqcld 10509	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
109		1exp 10802	. . . . . . . . 9
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	oveq1d 6022	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
112	98, 107, 111	3eqtrd 2266	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
113	88, 91, 93, 95, 96, 112	modqmul1 10611	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
114	60, 13, 84	expaddd 10909	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
115		modqval 10558	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116	4, 8, 9, 115	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	oveq2d 6023	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
118	84	nn0cnd 9435	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
119	77	recnd 8186	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
120	118, 119	pncan3d 8471	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
121	117, 120	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
122	121	oveq2d 6023	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
123	114, 122	eqtr3d 2264	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq1d 6022	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
125	93	zcnd 9581	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126	125	mulid2d 8176	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 6022	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
128	113, 124, 127	3eqtr3d 2270	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	eqeq1d 2238	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
130		zexpcl 10788	. . . . 5 $/\$
131	59, 130	sylancom 420	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
132		moddvds 12326	. . . 4 $/\$ $/\$
133	55, 131, 101, 132	syl3anc 1271	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
134		moddvds 12326	. . . 4 $/\$ $/\$
135	55, 93, 101, 134	syl3anc 1271	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
136	129, 133, 135	3bitr3d 218	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
137		dvdsval3 12318	. . 3 $/\$
138	6, 12, 137	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
139	70, 136, 138	3bitr4d 220	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713 DECID wdc 839 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

crab 2512 class class class wbr 4083

cfv 5318 (class class class)co 6007 infcinf 7161

cr 8009

cc0 8010

c1 8011

caddc 8013

cmul 8015

clt 8192

cle 8193

cmin 8328

cdiv 8830

cn 9121

cn0 9380

cz 9457

cuz 9733

cq 9826

cfz 10216

cfl 10500

cmo 10556

cexp 10772

cdvds 12314

cgcd 12490

codz 12746

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8101 ax-resscn 8102 ax-1cn 8103 ax-1re 8104 ax-icn 8105 ax-addcl 8106 ax-addrcl 8107 ax-mulcl 8108 ax-mulrcl 8109 ax-addcom 8110 ax-mulcom 8111 ax-addass 8112 ax-mulass 8113 ax-distr 8114 ax-i2m1 8115 ax-0lt1 8116 ax-1rid 8117 ax-0id 8118 ax-rnegex 8119 ax-precex 8120 ax-cnre 8121 ax-pre-ltirr 8122 ax-pre-ltwlin 8123 ax-pre-lttrn 8124 ax-pre-apti 8125 ax-pre-ltadd 8126 ax-pre-mulgt0 8127 ax-pre-mulext 8128 ax-arch 8129 ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-isom 5327 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-irdg 6522 df-frec 6543 df-1o 6568 df-oadd 6572 df-er 6688 df-en 6896 df-dom 6897 df-fin 6898 df-sup 7162 df-inf 7163 df-pnf 8194 df-mnf 8195 df-xr 8196 df-ltxr 8197 df-le 8198 df-sub 8330 df-neg 8331 df-reap 8733 df-ap 8740 df-div 8831 df-inn 9122 df-2 9180 df-3 9181 df-4 9182 df-n0 9381 df-z 9458 df-uz 9734 df-q 9827 df-rp 9862 df-fz 10217 df-fzo 10351 df-fl 10502 df-mod 10557 df-seqfrec 10682 df-exp 10773 df-ihash 11010 df-cj 11369 df-re 11370 df-im 11371 df-rsqrt 11525 df-abs 11526 df-clim 11806 df-proddc 12078 df-dvds 12315 df-gcd 12491 df-odz 12748 df-phi 12749

This theorem is referenced by: odzphi 12785 pockthlem 12895

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