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Theorem odzdvds 12836

Description: The only powers of

that are congruent to

are the multiples of the order of

. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
odzdvds	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem odzdvds Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9499	. . . . . . . . . 10
2		zq 9860	. . . . . . . . . 10
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5		odzcl 12834	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
7		nnq 9867	. . . . . . . . 9
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
9	6	nngt0d 9187	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10		modqlt 10596	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1273	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
12	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
13	12, 6	zmodcld 10608	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	nn0zd 9600	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	6	nnzd 9601	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
16		zltnle 9525	. . . . . . . 8 $/\$
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
18	11, 17	mpbid 147	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
19		1zzd 9506	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nnuz 9792	. . . . . . . . . . 11
21	20	rabeqi 2795	. . . . . . . . . 10
22		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	elrab 2962	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	25	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simp1 1023	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
29	28	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simp2 1024	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		elfznn 10289	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	nnnn0d 9455	. . . . . . . . . . . . . 14
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		zexpcl 10817	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		peano2zm 9517	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdsdc 12377	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
40	29, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
41	19, 21, 27, 40	infssuzledc 10495	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
43	42	ancomsd 269	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
44		odzval 12832	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ inf
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ inf
46	45	breq1d 4098	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ inf
47	43, 46	sylibrd 169	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	18, 47	mtod 669	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		imnan 696	. . . . 5 $/\$
50	48, 49	sylibr 134	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
51		elnn0 9404	. . . . . 6 $\/$
52	13, 51	sylib 122	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
53	52	ord 731	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
54	50, 53	syld 45	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
55		simpl1 1026	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	nnzd 9601	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
57		dvds0 12385	. . . . . 6
58	56, 57	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
59		simpl2 1027	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	zcnd 9603	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
61	60	exp0d 10930	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	oveq1d 6033	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
63		1m1e0 9212	. . . . . 6
64	62, 63	eqtrdi 2280	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
65	58, 64	breqtrrd 4116	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
66		oveq2 6026	. . . . . 6
67	66	oveq1d 6033	. . . . 5
68	67	breq2d 4100	. . . 4
69	65, 68	syl5ibrcom 157	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	impbid 129	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
71	6	nnnn0d 9455	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
72		znq 9858	. . . . . . . . . . 11 $/\$
73	12, 6, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74		nn0ge0 9427	. . . . . . . . . . . 12
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0re 9411	. . . . . . . . . . . . 13
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
78	6	nnred 9156	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
79		ge0div 9051	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80	77, 78, 9, 79	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
81	75, 80	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
82		flqge0nn0 10554	. . . . . . . . . 10 $/\$
83	73, 81, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
84	71, 83	nn0mulcld 9460	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
85		zexpcl 10817	. . . . . . . 8 $/\$
86	59, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87		zq 9860	. . . . . . 7
88	86, 87	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		1z 9505	. . . . . . 7
90		zq 9860	. . . . . . 7
91	89, 90	mp1i 10	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
92		zexpcl 10817	. . . . . . 7 $/\$
93	59, 13, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
94		nnq 9867	. . . . . . 7
95	55, 94	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
96	55	nngt0d 9187	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	60, 83, 71	expmuld 10939	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	oveq1d 6033	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		zexpcl 10817	. . . . . . . . 9 $/\$
100	59, 71, 99	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101		1zzd 9506	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102		odzid 12835	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
104		moddvds 12378	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
105	55, 100, 101, 104	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107	100, 101, 83, 95, 96, 106	modqexp 10929	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
108	73	flqcld 10538	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
109		1exp 10831	. . . . . . . . 9
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	oveq1d 6033	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
112	98, 107, 111	3eqtrd 2268	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
113	88, 91, 93, 95, 96, 112	modqmul1 10640	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
114	60, 13, 84	expaddd 10938	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
115		modqval 10587	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116	4, 8, 9, 115	syl3anc 1273	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
118	84	nn0cnd 9457	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
119	77	recnd 8208	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
120	118, 119	pncan3d 8493	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
121	117, 120	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
122	121	oveq2d 6034	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
123	114, 122	eqtr3d 2266	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq1d 6033	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
125	93	zcnd 9603	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126	125	mulid2d 8198	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 6033	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
128	113, 124, 127	3eqtr3d 2272	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	eqeq1d 2240	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
130		zexpcl 10817	. . . . 5 $/\$
131	59, 130	sylancom 420	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
132		moddvds 12378	. . . 4 $/\$ $/\$
133	55, 131, 101, 132	syl3anc 1273	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
134		moddvds 12378	. . . 4 $/\$ $/\$
135	55, 93, 101, 134	syl3anc 1273	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
136	129, 133, 135	3bitr3d 218	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
137		dvdsval3 12370	. . 3 $/\$
138	6, 12, 137	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
139	70, 136, 138	3bitr4d 220	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 715 DECID wdc 841 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

crab 2514 class class class wbr 4088

cfv 5326 (class class class)co 6018 infcinf 7182

cr 8031

cc0 8032

c1 8033

caddc 8035

cmul 8037

clt 8214

cle 8215

cmin 8350

cdiv 8852

cn 9143

cn0 9402

cz 9479

cuz 9755

cq 9853

cfz 10243

cfl 10529

cmo 10585

cexp 10801

cdvds 12366

cgcd 12542

codz 12798

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151 ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-isom 5335 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-irdg 6536 df-frec 6557 df-1o 6582 df-oadd 6586 df-er 6702 df-en 6910 df-dom 6911 df-fin 6912 df-sup 7183 df-inf 7184 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-3 9203 df-4 9204 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-fz 10244 df-fzo 10378 df-fl 10531 df-mod 10586 df-seqfrec 10711 df-exp 10802 df-ihash 11039 df-cj 11420 df-re 11421 df-im 11422 df-rsqrt 11576 df-abs 11577 df-clim 11857 df-proddc 12130 df-dvds 12367 df-gcd 12543 df-odz 12800 df-phi 12801

This theorem is referenced by: odzphi 12837 pockthlem 12947

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