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Theorem odzdvds 12808

Description: The only powers of

that are congruent to

are the multiples of the order of

. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
odzdvds	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem odzdvds Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9489	. . . . . . . . . 10
2		zq 9850	. . . . . . . . . 10
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5		odzcl 12806	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
7		nnq 9857	. . . . . . . . 9
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
9	6	nngt0d 9177	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10		modqlt 10585	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1271	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
12	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
13	12, 6	zmodcld 10597	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	nn0zd 9590	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	6	nnzd 9591	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
16		zltnle 9515	. . . . . . . 8 $/\$
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
18	11, 17	mpbid 147	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
19		1zzd 9496	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nnuz 9782	. . . . . . . . . . 11
21	20	rabeqi 2793	. . . . . . . . . 10
22		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	elrab 2960	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	25	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simp1 1021	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
29	28	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simp2 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		elfznn 10279	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	nnnn0d 9445	. . . . . . . . . . . . . 14
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		zexpcl 10806	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		peano2zm 9507	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdsdc 12349	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
40	29, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
41	19, 21, 27, 40	infssuzledc 10484	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
43	42	ancomsd 269	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
44		odzval 12804	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ inf
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ inf
46	45	breq1d 4096	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ inf
47	43, 46	sylibrd 169	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	18, 47	mtod 667	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		imnan 694	. . . . 5 $/\$
50	48, 49	sylibr 134	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
51		elnn0 9394	. . . . . 6 $\/$
52	13, 51	sylib 122	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
53	52	ord 729	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
54	50, 53	syld 45	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
55		simpl1 1024	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	nnzd 9591	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
57		dvds0 12357	. . . . . 6
58	56, 57	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
59		simpl2 1025	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	zcnd 9593	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
61	60	exp0d 10919	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	oveq1d 6028	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
63		1m1e0 9202	. . . . . 6
64	62, 63	eqtrdi 2278	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
65	58, 64	breqtrrd 4114	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
66		oveq2 6021	. . . . . 6
67	66	oveq1d 6028	. . . . 5
68	67	breq2d 4098	. . . 4
69	65, 68	syl5ibrcom 157	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	impbid 129	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
71	6	nnnn0d 9445	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
72		znq 9848	. . . . . . . . . . 11 $/\$
73	12, 6, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74		nn0ge0 9417	. . . . . . . . . . . 12
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0re 9401	. . . . . . . . . . . . 13
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
78	6	nnred 9146	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
79		ge0div 9041	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80	77, 78, 9, 79	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
81	75, 80	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
82		flqge0nn0 10543	. . . . . . . . . 10 $/\$
83	73, 81, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
84	71, 83	nn0mulcld 9450	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
85		zexpcl 10806	. . . . . . . 8 $/\$
86	59, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87		zq 9850	. . . . . . 7
88	86, 87	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		1z 9495	. . . . . . 7
90		zq 9850	. . . . . . 7
91	89, 90	mp1i 10	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
92		zexpcl 10806	. . . . . . 7 $/\$
93	59, 13, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
94		nnq 9857	. . . . . . 7
95	55, 94	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
96	55	nngt0d 9177	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	60, 83, 71	expmuld 10928	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	oveq1d 6028	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		zexpcl 10806	. . . . . . . . 9 $/\$
100	59, 71, 99	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101		1zzd 9496	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102		odzid 12807	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
104		moddvds 12350	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
105	55, 100, 101, 104	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107	100, 101, 83, 95, 96, 106	modqexp 10918	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
108	73	flqcld 10527	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
109		1exp 10820	. . . . . . . . 9
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	oveq1d 6028	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
112	98, 107, 111	3eqtrd 2266	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
113	88, 91, 93, 95, 96, 112	modqmul1 10629	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
114	60, 13, 84	expaddd 10927	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
115		modqval 10576	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116	4, 8, 9, 115	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	oveq2d 6029	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
118	84	nn0cnd 9447	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
119	77	recnd 8198	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
120	118, 119	pncan3d 8483	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
121	117, 120	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
122	121	oveq2d 6029	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
123	114, 122	eqtr3d 2264	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq1d 6028	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
125	93	zcnd 9593	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126	125	mulid2d 8188	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 6028	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
128	113, 124, 127	3eqtr3d 2270	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	eqeq1d 2238	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
130		zexpcl 10806	. . . . 5 $/\$
131	59, 130	sylancom 420	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
132		moddvds 12350	. . . 4 $/\$ $/\$
133	55, 131, 101, 132	syl3anc 1271	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
134		moddvds 12350	. . . 4 $/\$ $/\$
135	55, 93, 101, 134	syl3anc 1271	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
136	129, 133, 135	3bitr3d 218	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
137		dvdsval3 12342	. . 3 $/\$
138	6, 12, 137	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
139	70, 136, 138	3bitr4d 220	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713 DECID wdc 839 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

crab 2512 class class class wbr 4086

cfv 5324 (class class class)co 6013 infcinf 7173

cr 8021

cc0 8022

c1 8023

caddc 8025

cmul 8027

clt 8204

cle 8205

cmin 8340

cdiv 8842

cn 9133

cn0 9392

cz 9469

cuz 9745

cq 9843

cfz 10233

cfl 10518

cmo 10574

cexp 10790

cdvds 12338

cgcd 12514

codz 12770

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140 ax-arch 8141 ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-isom 5333 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-irdg 6531 df-frec 6552 df-1o 6577 df-oadd 6581 df-er 6697 df-en 6905 df-dom 6906 df-fin 6907 df-sup 7174 df-inf 7175 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-2 9192 df-3 9193 df-4 9194 df-n0 9393 df-z 9470 df-uz 9746 df-q 9844 df-rp 9879 df-fz 10234 df-fzo 10368 df-fl 10520 df-mod 10575 df-seqfrec 10700 df-exp 10791 df-ihash 11028 df-cj 11393 df-re 11394 df-im 11395 df-rsqrt 11549 df-abs 11550 df-clim 11830 df-proddc 12102 df-dvds 12339 df-gcd 12515 df-odz 12772 df-phi 12773

This theorem is referenced by: odzphi 12809 pockthlem 12919

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