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Theorem odzdvds 12568

Description: The only powers of

that are congruent to

are the multiples of the order of

. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
odzdvds	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem odzdvds Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9392	. . . . . . . . . 10
2		zq 9747	. . . . . . . . . 10
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5		odzcl 12566	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
7		nnq 9754	. . . . . . . . 9
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
9	6	nngt0d 9080	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10		modqlt 10478	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1250	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
12	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
13	12, 6	zmodcld 10490	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	nn0zd 9493	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	6	nnzd 9494	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
16		zltnle 9418	. . . . . . . 8 $/\$
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
18	11, 17	mpbid 147	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
19		1zzd 9399	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nnuz 9684	. . . . . . . . . . 11
21	20	rabeqi 2765	. . . . . . . . . 10
22		oveq2 5952	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	breq2d 4056	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	elrab 2929	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	25	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simp1 1000	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
29	28	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simp2 1001	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		elfznn 10176	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	nnnn0d 9348	. . . . . . . . . . . . . 14
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		zexpcl 10699	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		peano2zm 9410	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdsdc 12109	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
40	29, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
41	19, 21, 27, 40	infssuzledc 10377	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
43	42	ancomsd 269	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
44		odzval 12564	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ inf
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ inf
46	45	breq1d 4054	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ inf
47	43, 46	sylibrd 169	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	18, 47	mtod 665	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		imnan 692	. . . . 5 $/\$
50	48, 49	sylibr 134	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
51		elnn0 9297	. . . . . 6 $\/$
52	13, 51	sylib 122	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
53	52	ord 726	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
54	50, 53	syld 45	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
55		simpl1 1003	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	nnzd 9494	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
57		dvds0 12117	. . . . . 6
58	56, 57	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
59		simpl2 1004	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	zcnd 9496	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
61	60	exp0d 10812	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	oveq1d 5959	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
63		1m1e0 9105	. . . . . 6
64	62, 63	eqtrdi 2254	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
65	58, 64	breqtrrd 4072	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
66		oveq2 5952	. . . . . 6
67	66	oveq1d 5959	. . . . 5
68	67	breq2d 4056	. . . 4
69	65, 68	syl5ibrcom 157	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	impbid 129	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
71	6	nnnn0d 9348	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
72		znq 9745	. . . . . . . . . . 11 $/\$
73	12, 6, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74		nn0ge0 9320	. . . . . . . . . . . 12
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0re 9304	. . . . . . . . . . . . 13
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
78	6	nnred 9049	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
79		ge0div 8944	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80	77, 78, 9, 79	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
81	75, 80	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
82		flqge0nn0 10436	. . . . . . . . . 10 $/\$
83	73, 81, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
84	71, 83	nn0mulcld 9353	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
85		zexpcl 10699	. . . . . . . 8 $/\$
86	59, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87		zq 9747	. . . . . . 7
88	86, 87	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		1z 9398	. . . . . . 7
90		zq 9747	. . . . . . 7
91	89, 90	mp1i 10	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
92		zexpcl 10699	. . . . . . 7 $/\$
93	59, 13, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
94		nnq 9754	. . . . . . 7
95	55, 94	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
96	55	nngt0d 9080	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	60, 83, 71	expmuld 10821	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	oveq1d 5959	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		zexpcl 10699	. . . . . . . . 9 $/\$
100	59, 71, 99	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101		1zzd 9399	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102		odzid 12567	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
104		moddvds 12110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
105	55, 100, 101, 104	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107	100, 101, 83, 95, 96, 106	modqexp 10811	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
108	73	flqcld 10420	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
109		1exp 10713	. . . . . . . . 9
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	oveq1d 5959	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
112	98, 107, 111	3eqtrd 2242	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
113	88, 91, 93, 95, 96, 112	modqmul1 10522	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
114	60, 13, 84	expaddd 10820	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
115		modqval 10469	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116	4, 8, 9, 115	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
118	84	nn0cnd 9350	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
119	77	recnd 8101	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
120	118, 119	pncan3d 8386	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
121	117, 120	eqtrd 2238	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
122	121	oveq2d 5960	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
123	114, 122	eqtr3d 2240	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq1d 5959	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
125	93	zcnd 9496	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126	125	mulid2d 8091	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 5959	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
128	113, 124, 127	3eqtr3d 2246	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	eqeq1d 2214	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
130		zexpcl 10699	. . . . 5 $/\$
131	59, 130	sylancom 420	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
132		moddvds 12110	. . . 4 $/\$ $/\$
133	55, 131, 101, 132	syl3anc 1250	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
134		moddvds 12110	. . . 4 $/\$ $/\$
135	55, 93, 101, 134	syl3anc 1250	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
136	129, 133, 135	3bitr3d 218	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
137		dvdsval3 12102	. . 3 $/\$
138	6, 12, 137	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
139	70, 136, 138	3bitr4d 220	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 710 DECID wdc 836 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2176

crab 2488 class class class wbr 4044

cfv 5271 (class class class)co 5944 infcinf 7085

cr 7924

cc0 7925

c1 7926

caddc 7928

cmul 7930

clt 8107

cle 8108

cmin 8243

cdiv 8745

cn 9036

cn0 9295

cz 9372

cuz 9648

cq 9740

cfz 10130

cfl 10411

cmo 10467

cexp 10683

cdvds 12098

cgcd 12274

codz 12530

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-coll 4159 ax-sep 4162 ax-nul 4170 ax-pow 4218 ax-pr 4253 ax-un 4480 ax-setind 4585 ax-iinf 4636 ax-cnex 8016 ax-resscn 8017 ax-1cn 8018 ax-1re 8019 ax-icn 8020 ax-addcl 8021 ax-addrcl 8022 ax-mulcl 8023 ax-mulrcl 8024 ax-addcom 8025 ax-mulcom 8026 ax-addass 8027 ax-mulass 8028 ax-distr 8029 ax-i2m1 8030 ax-0lt1 8031 ax-1rid 8032 ax-0id 8033 ax-rnegex 8034 ax-precex 8035 ax-cnre 8036 ax-pre-ltirr 8037 ax-pre-ltwlin 8038 ax-pre-lttrn 8039 ax-pre-apti 8040 ax-pre-ltadd 8041 ax-pre-mulgt0 8042 ax-pre-mulext 8043 ax-arch 8044 ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-nel 2472 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rmo 2492 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-csb 3094 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-nul 3461 df-if 3572 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-int 3886 df-iun 3929 df-br 4045 df-opab 4106 df-mpt 4107 df-tr 4143 df-id 4340 df-po 4343 df-iso 4344 df-iord 4413 df-on 4415 df-ilim 4416 df-suc 4418 df-iom 4639 df-xp 4681 df-rel 4682 df-cnv 4683 df-co 4684 df-dm 4685 df-rn 4686 df-res 4687 df-ima 4688 df-iota 5232 df-fun 5273 df-fn 5274 df-f 5275 df-f1 5276 df-fo 5277 df-f1o 5278 df-fv 5279 df-isom 5280 df-riota 5899 df-ov 5947 df-oprab 5948 df-mpo 5949 df-1st 6226 df-2nd 6227 df-recs 6391 df-irdg 6456 df-frec 6477 df-1o 6502 df-oadd 6506 df-er 6620 df-en 6828 df-dom 6829 df-fin 6830 df-sup 7086 df-inf 7087 df-pnf 8109 df-mnf 8110 df-xr 8111 df-ltxr 8112 df-le 8113 df-sub 8245 df-neg 8246 df-reap 8648 df-ap 8655 df-div 8746 df-inn 9037 df-2 9095 df-3 9096 df-4 9097 df-n0 9296 df-z 9373 df-uz 9649 df-q 9741 df-rp 9776 df-fz 10131 df-fzo 10265 df-fl 10413 df-mod 10468 df-seqfrec 10593 df-exp 10684 df-ihash 10921 df-cj 11153 df-re 11154 df-im 11155 df-rsqrt 11309 df-abs 11310 df-clim 11590 df-proddc 11862 df-dvds 12099 df-gcd 12275 df-odz 12532 df-phi 12533

This theorem is referenced by: odzphi 12569 pockthlem 12679

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