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Theorem odzdvds 12683

Description: The only powers of

that are congruent to

are the multiples of the order of

. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
odzdvds	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem odzdvds Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9427	. . . . . . . . . 10
2		zq 9782	. . . . . . . . . 10
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5		odzcl 12681	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
7		nnq 9789	. . . . . . . . 9
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
9	6	nngt0d 9115	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10		modqlt 10515	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1250	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
12	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
13	12, 6	zmodcld 10527	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	nn0zd 9528	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	6	nnzd 9529	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
16		zltnle 9453	. . . . . . . 8 $/\$
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
18	11, 17	mpbid 147	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
19		1zzd 9434	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nnuz 9719	. . . . . . . . . . 11
21	20	rabeqi 2769	. . . . . . . . . 10
22		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	breq2d 4071	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	elrab 2936	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	25	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simp1 1000	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
29	28	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simp2 1001	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		elfznn 10211	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	nnnn0d 9383	. . . . . . . . . . . . . 14
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		zexpcl 10736	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		peano2zm 9445	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdsdc 12224	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
40	29, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
41	19, 21, 27, 40	infssuzledc 10414	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
43	42	ancomsd 269	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
44		odzval 12679	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ inf
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ inf
46	45	breq1d 4069	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ inf
47	43, 46	sylibrd 169	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	18, 47	mtod 665	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		imnan 692	. . . . 5 $/\$
50	48, 49	sylibr 134	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
51		elnn0 9332	. . . . . 6 $\/$
52	13, 51	sylib 122	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
53	52	ord 726	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
54	50, 53	syld 45	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
55		simpl1 1003	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	nnzd 9529	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
57		dvds0 12232	. . . . . 6
58	56, 57	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
59		simpl2 1004	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	zcnd 9531	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
61	60	exp0d 10849	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	oveq1d 5982	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
63		1m1e0 9140	. . . . . 6
64	62, 63	eqtrdi 2256	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
65	58, 64	breqtrrd 4087	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
66		oveq2 5975	. . . . . 6
67	66	oveq1d 5982	. . . . 5
68	67	breq2d 4071	. . . 4
69	65, 68	syl5ibrcom 157	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	impbid 129	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
71	6	nnnn0d 9383	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
72		znq 9780	. . . . . . . . . . 11 $/\$
73	12, 6, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74		nn0ge0 9355	. . . . . . . . . . . 12
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . . 13
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
78	6	nnred 9084	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
79		ge0div 8979	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80	77, 78, 9, 79	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
81	75, 80	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
82		flqge0nn0 10473	. . . . . . . . . 10 $/\$
83	73, 81, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
84	71, 83	nn0mulcld 9388	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
85		zexpcl 10736	. . . . . . . 8 $/\$
86	59, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87		zq 9782	. . . . . . 7
88	86, 87	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		1z 9433	. . . . . . 7
90		zq 9782	. . . . . . 7
91	89, 90	mp1i 10	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
92		zexpcl 10736	. . . . . . 7 $/\$
93	59, 13, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
94		nnq 9789	. . . . . . 7
95	55, 94	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
96	55	nngt0d 9115	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	60, 83, 71	expmuld 10858	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	oveq1d 5982	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		zexpcl 10736	. . . . . . . . 9 $/\$
100	59, 71, 99	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101		1zzd 9434	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102		odzid 12682	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
104		moddvds 12225	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
105	55, 100, 101, 104	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107	100, 101, 83, 95, 96, 106	modqexp 10848	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
108	73	flqcld 10457	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
109		1exp 10750	. . . . . . . . 9
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	oveq1d 5982	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
112	98, 107, 111	3eqtrd 2244	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
113	88, 91, 93, 95, 96, 112	modqmul1 10559	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
114	60, 13, 84	expaddd 10857	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
115		modqval 10506	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116	4, 8, 9, 115	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
118	84	nn0cnd 9385	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
119	77	recnd 8136	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
120	118, 119	pncan3d 8421	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
121	117, 120	eqtrd 2240	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
122	121	oveq2d 5983	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
123	114, 122	eqtr3d 2242	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq1d 5982	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
125	93	zcnd 9531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126	125	mulid2d 8126	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 5982	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
128	113, 124, 127	3eqtr3d 2248	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	eqeq1d 2216	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
130		zexpcl 10736	. . . . 5 $/\$
131	59, 130	sylancom 420	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
132		moddvds 12225	. . . 4 $/\$ $/\$
133	55, 131, 101, 132	syl3anc 1250	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
134		moddvds 12225	. . . 4 $/\$ $/\$
135	55, 93, 101, 134	syl3anc 1250	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
136	129, 133, 135	3bitr3d 218	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
137		dvdsval3 12217	. . 3 $/\$
138	6, 12, 137	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
139	70, 136, 138	3bitr4d 220	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 710 DECID wdc 836 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2178

crab 2490 class class class wbr 4059

cfv 5290 (class class class)co 5967 infcinf 7111

cr 7959

cc0 7960

c1 7961

caddc 7963

cmul 7965

clt 8142

cle 8143

cmin 8278

cdiv 8780

cn 9071

cn0 9330

cz 9407

cuz 9683

cq 9775

cfz 10165

cfl 10448

cmo 10504

cexp 10720

cdvds 12213

cgcd 12389

codz 12645

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2180 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-coll 4175 ax-sep 4178 ax-nul 4186 ax-pow 4234 ax-pr 4269 ax-un 4498 ax-setind 4603 ax-iinf 4654 ax-cnex 8051 ax-resscn 8052 ax-1cn 8053 ax-1re 8054 ax-icn 8055 ax-addcl 8056 ax-addrcl 8057 ax-mulcl 8058 ax-mulrcl 8059 ax-addcom 8060 ax-mulcom 8061 ax-addass 8062 ax-mulass 8063 ax-distr 8064 ax-i2m1 8065 ax-0lt1 8066 ax-1rid 8067 ax-0id 8068 ax-rnegex 8069 ax-precex 8070 ax-cnre 8071 ax-pre-ltirr 8072 ax-pre-ltwlin 8073 ax-pre-lttrn 8074 ax-pre-apti 8075 ax-pre-ltadd 8076 ax-pre-mulgt0 8077 ax-pre-mulext 8078 ax-arch 8079 ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ne 2379 df-nel 2474 df-ral 2491 df-rex 2492 df-reu 2493 df-rmo 2494 df-rab 2495 df-v 2778 df-sbc 3006 df-csb 3102 df-dif 3176 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-nul 3469 df-if 3580 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-int 3900 df-iun 3943 df-br 4060 df-opab 4122 df-mpt 4123 df-tr 4159 df-id 4358 df-po 4361 df-iso 4362 df-iord 4431 df-on 4433 df-ilim 4434 df-suc 4436 df-iom 4657 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705 df-ima 4706 df-iota 5251 df-fun 5292 df-fn 5293 df-f 5294 df-f1 5295 df-fo 5296 df-f1o 5297 df-fv 5298 df-isom 5299 df-riota 5922 df-ov 5970 df-oprab 5971 df-mpo 5972 df-1st 6249 df-2nd 6250 df-recs 6414 df-irdg 6479 df-frec 6500 df-1o 6525 df-oadd 6529 df-er 6643 df-en 6851 df-dom 6852 df-fin 6853 df-sup 7112 df-inf 7113 df-pnf 8144 df-mnf 8145 df-xr 8146 df-ltxr 8147 df-le 8148 df-sub 8280 df-neg 8281 df-reap 8683 df-ap 8690 df-div 8781 df-inn 9072 df-2 9130 df-3 9131 df-4 9132 df-n0 9331 df-z 9408 df-uz 9684 df-q 9776 df-rp 9811 df-fz 10166 df-fzo 10300 df-fl 10450 df-mod 10505 df-seqfrec 10630 df-exp 10721 df-ihash 10958 df-cj 11268 df-re 11269 df-im 11270 df-rsqrt 11424 df-abs 11425 df-clim 11705 df-proddc 11977 df-dvds 12214 df-gcd 12390 df-odz 12647 df-phi 12648

This theorem is referenced by: odzphi 12684 pockthlem 12794

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