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Theorem odzdvds 12817

Description: The only powers of

that are congruent to

are the multiples of the order of

. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
odzdvds	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem odzdvds Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9498	. . . . . . . . . 10
2		zq 9859	. . . . . . . . . 10
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5		odzcl 12815	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
7		nnq 9866	. . . . . . . . 9
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
9	6	nngt0d 9186	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10		modqlt 10594	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1273	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
12	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
13	12, 6	zmodcld 10606	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	nn0zd 9599	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	6	nnzd 9600	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
16		zltnle 9524	. . . . . . . 8 $/\$
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
18	11, 17	mpbid 147	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
19		1zzd 9505	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nnuz 9791	. . . . . . . . . . 11
21	20	rabeqi 2795	. . . . . . . . . 10
22		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	elrab 2962	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	25	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simp1 1023	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
29	28	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simp2 1024	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		elfznn 10288	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	nnnn0d 9454	. . . . . . . . . . . . . 14
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		zexpcl 10815	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		peano2zm 9516	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdsdc 12358	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
40	29, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
41	19, 21, 27, 40	infssuzledc 10493	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
43	42	ancomsd 269	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
44		odzval 12813	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ inf
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ inf
46	45	breq1d 4098	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ inf
47	43, 46	sylibrd 169	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	18, 47	mtod 669	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		imnan 696	. . . . 5 $/\$
50	48, 49	sylibr 134	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
51		elnn0 9403	. . . . . 6 $\/$
52	13, 51	sylib 122	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
53	52	ord 731	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
54	50, 53	syld 45	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
55		simpl1 1026	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	nnzd 9600	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
57		dvds0 12366	. . . . . 6
58	56, 57	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
59		simpl2 1027	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	zcnd 9602	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
61	60	exp0d 10928	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	oveq1d 6032	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
63		1m1e0 9211	. . . . . 6
64	62, 63	eqtrdi 2280	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
65	58, 64	breqtrrd 4116	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
66		oveq2 6025	. . . . . 6
67	66	oveq1d 6032	. . . . 5
68	67	breq2d 4100	. . . 4
69	65, 68	syl5ibrcom 157	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	impbid 129	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
71	6	nnnn0d 9454	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
72		znq 9857	. . . . . . . . . . 11 $/\$
73	12, 6, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74		nn0ge0 9426	. . . . . . . . . . . 12
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . 13
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
78	6	nnred 9155	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
79		ge0div 9050	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80	77, 78, 9, 79	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
81	75, 80	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
82		flqge0nn0 10552	. . . . . . . . . 10 $/\$
83	73, 81, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
84	71, 83	nn0mulcld 9459	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
85		zexpcl 10815	. . . . . . . 8 $/\$
86	59, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87		zq 9859	. . . . . . 7
88	86, 87	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		1z 9504	. . . . . . 7
90		zq 9859	. . . . . . 7
91	89, 90	mp1i 10	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
92		zexpcl 10815	. . . . . . 7 $/\$
93	59, 13, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
94		nnq 9866	. . . . . . 7
95	55, 94	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
96	55	nngt0d 9186	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	60, 83, 71	expmuld 10937	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	oveq1d 6032	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		zexpcl 10815	. . . . . . . . 9 $/\$
100	59, 71, 99	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101		1zzd 9505	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102		odzid 12816	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
104		moddvds 12359	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
105	55, 100, 101, 104	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107	100, 101, 83, 95, 96, 106	modqexp 10927	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
108	73	flqcld 10536	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
109		1exp 10829	. . . . . . . . 9
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	oveq1d 6032	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
112	98, 107, 111	3eqtrd 2268	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
113	88, 91, 93, 95, 96, 112	modqmul1 10638	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
114	60, 13, 84	expaddd 10936	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
115		modqval 10585	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116	4, 8, 9, 115	syl3anc 1273	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
118	84	nn0cnd 9456	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
119	77	recnd 8207	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
120	118, 119	pncan3d 8492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
121	117, 120	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
122	121	oveq2d 6033	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
123	114, 122	eqtr3d 2266	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq1d 6032	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
125	93	zcnd 9602	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126	125	mulid2d 8197	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 6032	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
128	113, 124, 127	3eqtr3d 2272	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	eqeq1d 2240	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
130		zexpcl 10815	. . . . 5 $/\$
131	59, 130	sylancom 420	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
132		moddvds 12359	. . . 4 $/\$ $/\$
133	55, 131, 101, 132	syl3anc 1273	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
134		moddvds 12359	. . . 4 $/\$ $/\$
135	55, 93, 101, 134	syl3anc 1273	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
136	129, 133, 135	3bitr3d 218	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
137		dvdsval3 12351	. . 3 $/\$
138	6, 12, 137	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
139	70, 136, 138	3bitr4d 220	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 715 DECID wdc 841 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

crab 2514 class class class wbr 4088

cfv 5326 (class class class)co 6017 infcinf 7181

cr 8030

cc0 8031

c1 8032

caddc 8034

cmul 8036

clt 8213

cle 8214

cmin 8349

cdiv 8851

cn 9142

cn0 9401

cz 9478

cuz 9754

cq 9852

cfz 10242

cfl 10527

cmo 10583

cexp 10799

cdvds 12347

cgcd 12523

codz 12779

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149 ax-arch 8150 ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-isom 5335 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-recs 6470 df-irdg 6535 df-frec 6556 df-1o 6581 df-oadd 6585 df-er 6701 df-en 6909 df-dom 6910 df-fin 6911 df-sup 7182 df-inf 7183 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-2 9201 df-3 9202 df-4 9203 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-q 9853 df-rp 9888 df-fz 10243 df-fzo 10377 df-fl 10529 df-mod 10584 df-seqfrec 10709 df-exp 10800 df-ihash 11037 df-cj 11402 df-re 11403 df-im 11404 df-rsqrt 11558 df-abs 11559 df-clim 11839 df-proddc 12111 df-dvds 12348 df-gcd 12524 df-odz 12781 df-phi 12782

This theorem is referenced by: odzphi 12818 pockthlem 12928

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