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Theorem odzdvds 12898

Description: The only powers of

that are congruent to

are the multiples of the order of

. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
odzdvds	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem odzdvds Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9560	. . . . . . . . . 10
2		zq 9921	. . . . . . . . . 10
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
5		odzcl 12896	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
7		nnq 9928	. . . . . . . . 9
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
9	6	nngt0d 9246	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
10		modqlt 10658	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
12	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
13	12, 6	zmodcld 10670	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	nn0zd 9661	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
15	6	nnzd 9662	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
16		zltnle 9586	. . . . . . . 8 $/\$
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
18	11, 17	mpbid 147	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
19		1zzd 9567	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nnuz 9853	. . . . . . . . . . 11
21	20	rabeqi 2796	. . . . . . . . . 10
22		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	elrab 2963	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	25	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simp1 1024	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
29	28	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simp2 1025	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		elfznn 10351	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	nnnn0d 9516	. . . . . . . . . . . . . 14
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		zexpcl 10879	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		peano2zm 9578	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdsdc 12439	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
40	29, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
41	19, 21, 27, 40	infssuzledc 10557	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
43	42	ancomsd 269	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ inf
44		odzval 12894	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ inf
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ inf
46	45	breq1d 4103	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ inf
47	43, 46	sylibrd 169	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	18, 47	mtod 669	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		imnan 697	. . . . 5 $/\$
50	48, 49	sylibr 134	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
51		elnn0 9463	. . . . . 6 $\/$
52	13, 51	sylib 122	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
53	52	ord 732	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
54	50, 53	syld 45	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
55		simpl1 1027	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	nnzd 9662	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
57		dvds0 12447	. . . . . 6
58	56, 57	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
59		simpl2 1028	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	zcnd 9664	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
61	60	exp0d 10992	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	oveq1d 6043	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
63		1m1e0 9271	. . . . . 6
64	62, 63	eqtrdi 2280	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
65	58, 64	breqtrrd 4121	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
66		oveq2 6036	. . . . . 6
67	66	oveq1d 6043	. . . . 5
68	67	breq2d 4105	. . . 4
69	65, 68	syl5ibrcom 157	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
70	54, 69	impbid 129	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
71	6	nnnn0d 9516	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
72		znq 9919	. . . . . . . . . . 11 $/\$
73	12, 6, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74		nn0ge0 9486	. . . . . . . . . . . 12
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0re 9470	. . . . . . . . . . . . 13
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
78	6	nnred 9215	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
79		ge0div 9110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80	77, 78, 9, 79	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
81	75, 80	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
82		flqge0nn0 10616	. . . . . . . . . 10 $/\$
83	73, 81, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
84	71, 83	nn0mulcld 9521	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
85		zexpcl 10879	. . . . . . . 8 $/\$
86	59, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87		zq 9921	. . . . . . 7
88	86, 87	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
89		1z 9566	. . . . . . 7
90		zq 9921	. . . . . . 7
91	89, 90	mp1i 10	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
92		zexpcl 10879	. . . . . . 7 $/\$
93	59, 13, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
94		nnq 9928	. . . . . . 7
95	55, 94	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
96	55	nngt0d 9246	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	60, 83, 71	expmuld 11001	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	oveq1d 6043	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		zexpcl 10879	. . . . . . . . 9 $/\$
100	59, 71, 99	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101		1zzd 9567	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
102		odzid 12897	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
104		moddvds 12440	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
105	55, 100, 101, 104	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
107	100, 101, 83, 95, 96, 106	modqexp 10991	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
108	73	flqcld 10600	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
109		1exp 10893	. . . . . . . . 9
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	oveq1d 6043	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
112	98, 107, 111	3eqtrd 2268	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
113	88, 91, 93, 95, 96, 112	modqmul1 10702	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
114	60, 13, 84	expaddd 11000	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
115		modqval 10649	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116	4, 8, 9, 115	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
118	84	nn0cnd 9518	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
119	77	recnd 8267	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
120	118, 119	pncan3d 8552	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
121	117, 120	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
122	121	oveq2d 6044	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
123	114, 122	eqtr3d 2266	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq1d 6043	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
125	93	zcnd 9664	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
126	125	mullidd 8257	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 6043	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
128	113, 124, 127	3eqtr3d 2272	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	eqeq1d 2240	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
130		zexpcl 10879	. . . . 5 $/\$
131	59, 130	sylancom 420	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
132		moddvds 12440	. . . 4 $/\$ $/\$
133	55, 131, 101, 132	syl3anc 1274	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
134		moddvds 12440	. . . 4 $/\$ $/\$
135	55, 93, 101, 134	syl3anc 1274	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
136	129, 133, 135	3bitr3d 218	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
137		dvdsval3 12432	. . 3 $/\$
138	6, 12, 137	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
139	70, 136, 138	3bitr4d 220	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716 DECID wdc 842 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2202

crab 2515 class class class wbr 4093

cfv 5333 (class class class)co 6028 infcinf 7242

cr 8091

cc0 8092

c1 8093

caddc 8095

cmul 8097

clt 8273

cle 8274

cmin 8409

cdiv 8911

cn 9202

cn0 9461

cz 9540

cuz 9816

cq 9914

cfz 10305

cfl 10591

cmo 10647

cexp 10863

cdvds 12428

cgcd 12604

codz 12860

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8183 ax-resscn 8184 ax-1cn 8185 ax-1re 8186 ax-icn 8187 ax-addcl 8188 ax-addrcl 8189 ax-mulcl 8190 ax-mulrcl 8191 ax-addcom 8192 ax-mulcom 8193 ax-addass 8194 ax-mulass 8195 ax-distr 8196 ax-i2m1 8197 ax-0lt1 8198 ax-1rid 8199 ax-0id 8200 ax-rnegex 8201 ax-precex 8202 ax-cnre 8203 ax-pre-ltirr 8204 ax-pre-ltwlin 8205 ax-pre-lttrn 8206 ax-pre-apti 8207 ax-pre-ltadd 8208 ax-pre-mulgt0 8209 ax-pre-mulext 8210 ax-arch 8211 ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-isom 5342 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-irdg 6579 df-frec 6600 df-1o 6625 df-oadd 6629 df-er 6745 df-en 6953 df-dom 6954 df-fin 6955 df-sup 7243 df-inf 7244 df-pnf 8275 df-mnf 8276 df-xr 8277 df-ltxr 8278 df-le 8279 df-sub 8411 df-neg 8412 df-reap 8814 df-ap 8821 df-div 8912 df-inn 9203 df-2 9261 df-3 9262 df-4 9263 df-n0 9462 df-z 9541 df-uz 9817 df-q 9915 df-rp 9950 df-fz 10306 df-fzo 10440 df-fl 10593 df-mod 10648 df-seqfrec 10773 df-exp 10864 df-ihash 11101 df-cj 11482 df-re 11483 df-im 11484 df-rsqrt 11638 df-abs 11639 df-clim 11919 df-proddc 12192 df-dvds 12429 df-gcd 12605 df-odz 12862 df-phi 12863

This theorem is referenced by: odzphi 12899 pockthlem 13009

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