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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > efival | Unicode version |
Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.) |
Ref | Expression |
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efival |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ax-icn 7503 |
. . . . . 6
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2 | mulcl 7532 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | mpan 416 |
. . . . 5
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4 | efcl 11017 |
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5 | 3, 4 | syl 14 |
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6 | negicn 7746 |
. . . . . 6
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7 | mulcl 7532 |
. . . . . 6
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8 | 6, 7 | mpan 416 |
. . . . 5
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9 | efcl 11017 |
. . . . 5
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10 | 8, 9 | syl 14 |
. . . 4
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11 | 5, 10 | addcld 7570 |
. . 3
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12 | 5, 10 | subcld 7856 |
. . 3
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13 | 2cn 8556 |
. . . . 5
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14 | 2ap0 8578 |
. . . . 5
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15 | 13, 14 | pm3.2i 267 |
. . . 4
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16 | divdirap 8227 |
. . . 4
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17 | 15, 16 | mp3an3 1263 |
. . 3
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18 | 11, 12, 17 | syl2anc 404 |
. 2
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19 | 10, 5 | pncan3d 7859 |
. . . . . 6
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20 | 19 | oveq2d 5684 |
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21 | 5, 10, 12 | addassd 7573 |
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22 | 5 | 2timesd 8721 |
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23 | 20, 21, 22 | 3eqtr4d 2131 |
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24 | 23 | oveq1d 5683 |
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25 | divcanap3 8228 |
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26 | 13, 14, 25 | mp3an23 1266 |
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27 | 5, 26 | syl 14 |
. . 3
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28 | 24, 27 | eqtr2d 2122 |
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29 | cosval 11057 |
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30 | 2mulicn 8701 |
. . . . . . 7
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31 | 2muliap0 8703 |
. . . . . . 7
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32 | 30, 31 | pm3.2i 267 |
. . . . . 6
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33 | div12ap 8224 |
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34 | 1, 32, 33 | mp3an13 1265 |
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35 | 12, 34 | syl 14 |
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36 | sinval 11056 |
. . . . 5
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37 | 36 | oveq2d 5684 |
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38 | divrecap 8218 |
. . . . . . 7
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39 | 13, 14, 38 | mp3an23 1266 |
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40 | 12, 39 | syl 14 |
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41 | 1 | mulid2i 7554 |
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42 | 41 | oveq1i 5678 |
. . . . . . 7
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43 | iap0 8702 |
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44 | 1, 43 | dividapi 8275 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 44 | oveq2i 5679 |
. . . . . . . . 9
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46 | ax-1cn 7501 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46, 13, 1, 1, 14, 43 | divmuldivapi 8302 |
. . . . . . . . 9
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48 | 45, 47 | eqtr3i 2111 |
. . . . . . . 8
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49 | halfcn 8693 |
. . . . . . . . 9
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50 | 49 | mulid1i 7553 |
. . . . . . . 8
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51 | 48, 50 | eqtr3i 2111 |
. . . . . . 7
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52 | 42, 51 | eqtr3i 2111 |
. . . . . 6
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53 | 52 | oveq2i 5679 |
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54 | 40, 53 | syl6eqr 2139 |
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55 | 35, 37, 54 | 3eqtr4d 2131 |
. . 3
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56 | 29, 55 | oveq12d 5686 |
. 2
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57 | 18, 28, 56 | 3eqtr4d 2131 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3962 ax-sep 3965 ax-nul 3973 ax-pow 4017 ax-pr 4047 ax-un 4271 ax-setind 4368 ax-iinf 4418 ax-cnex 7499 ax-resscn 7500 ax-1cn 7501 ax-1re 7502 ax-icn 7503 ax-addcl 7504 ax-addrcl 7505 ax-mulcl 7506 ax-mulrcl 7507 ax-addcom 7508 ax-mulcom 7509 ax-addass 7510 ax-mulass 7511 ax-distr 7512 ax-i2m1 7513 ax-0lt1 7514 ax-1rid 7515 ax-0id 7516 ax-rnegex 7517 ax-precex 7518 ax-cnre 7519 ax-pre-ltirr 7520 ax-pre-ltwlin 7521 ax-pre-lttrn 7522 ax-pre-apti 7523 ax-pre-ltadd 7524 ax-pre-mulgt0 7525 ax-pre-mulext 7526 ax-arch 7527 ax-caucvg 7528 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rmo 2368 df-rab 2369 df-v 2624 df-sbc 2844 df-csb 2937 df-dif 3004 df-un 3006 df-in 3008 df-ss 3015 df-nul 3290 df-if 3400 df-pw 3437 df-sn 3458 df-pr 3459 df-op 3461 df-uni 3662 df-int 3697 df-iun 3740 df-br 3854 df-opab 3908 df-mpt 3909 df-tr 3945 df-id 4131 df-po 4134 df-iso 4135 df-iord 4204 df-on 4206 df-ilim 4207 df-suc 4209 df-iom 4421 df-xp 4460 df-rel 4461 df-cnv 4462 df-co 4463 df-dm 4464 df-rn 4465 df-res 4466 df-ima 4467 df-iota 4995 df-fun 5032 df-fn 5033 df-f 5034 df-f1 5035 df-fo 5036 df-f1o 5037 df-fv 5038 df-isom 5039 df-riota 5624 df-ov 5671 df-oprab 5672 df-mpt2 5673 df-1st 5927 df-2nd 5928 df-recs 6086 df-irdg 6151 df-frec 6172 df-1o 6197 df-oadd 6201 df-er 6308 df-en 6514 df-dom 6515 df-fin 6516 df-pnf 7587 df-mnf 7588 df-xr 7589 df-ltxr 7590 df-le 7591 df-sub 7718 df-neg 7719 df-reap 8115 df-ap 8122 df-div 8203 df-inn 8486 df-2 8544 df-3 8545 df-4 8546 df-n0 8737 df-z 8814 df-uz 9083 df-q 9168 df-rp 9198 df-ico 9375 df-fz 9488 df-fzo 9617 df-iseq 9916 df-seq3 9917 df-exp 10018 df-fac 10197 df-ihash 10247 df-cj 10339 df-re 10340 df-im 10341 df-rsqrt 10494 df-abs 10495 df-clim 10730 df-isum 10806 df-ef 11001 df-sin 11003 df-cos 11004 |
This theorem is referenced by: efmival 11087 efeul 11088 efieq 11089 sinadd 11090 cosadd 11091 absefi 11121 demoivre 11125 |
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