ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclem3step Unicode version

Theorem prarloclem3step 7429
Description: Induction step for prarloclem3 7430. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem3step  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  E. y  e.  om  (
( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
Distinct variable groups:    y, A    y, L    y, P    y, U    y, X

Proof of Theorem prarloclem3step
StepHypRef Expression
1 nfv 1515 . . 3  |-  F/ y ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )
2 nfre1 2507 . . 3  |-  F/ y E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)
3 prarloclemlo 7427 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) ) )
4 prarloclemup 7428 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) ) )
5 prarloclemlt 7426 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) )
6 prloc 7424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  ( A  +Q  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  <Q 
( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )  -> 
( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  \/  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
76ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  <Q 
( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  ->  (
( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  \/  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
873ad2ant1 1007 . . . . . . 7  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  <Q 
( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  ->  (
( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  \/  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
98ad2antlr 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  -> 
( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  \/  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
105, 9mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  \/  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
113, 4, 10mpjaod 708 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
1211ex 114 . . 3  |-  ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  -> 
( y  e.  om  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) ) )
131, 2, 12rexlimd 2578 . 2  |-  ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  -> 
( E. y  e. 
om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
1413imp 123 1  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  E. y  e.  om  (
( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698    /\ w3a 967    e. wcel 2135   E.wrex 2443   <.cop 3574   class class class wbr 3977   suc csuc 4338   omcom 4562  (class class class)co 5837   1oc1o 6369   2oc2o 6370    +o coa 6373   [cec 6491    ~Q ceq 7212   Q.cnq 7213    +Q cplq 7215    .Q cmq 7216    <Q cltq 7218   ~Q0 ceq0 7219   +Q0 cplq0 7222   ·Q0 cmq0 7223   P.cnp 7224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-eprel 4262  df-id 4266  df-iord 4339  df-on 4341  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-irdg 6330  df-1o 6376  df-2o 6377  df-oadd 6380  df-omul 6381  df-er 6493  df-ec 6495  df-qs 6499  df-ni 7237  df-pli 7238  df-mi 7239  df-lti 7240  df-plpq 7277  df-mpq 7278  df-enq 7280  df-nqqs 7281  df-plqqs 7282  df-mqqs 7283  df-ltnqqs 7286  df-enq0 7357  df-nq0 7358  df-plq0 7360  df-mq0 7361  df-inp 7399
This theorem is referenced by:  prarloclem3  7430
  Copyright terms: Public domain W3C validator