Theorem prarloclem3step 7458

Description: Induction step for prarloclem3 7459. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem3step	⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐿   𝑦,𝑃   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋

Proof of Theorem prarloclem3step

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1521	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q))
2		nfre1 2513	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)
3		prarloclemlo 7456	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
4		prarloclemup 7457	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
5		prarloclemlt 7455	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
6		prloc 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∨ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
7	6	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∨ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
8	7	3ad2ant1 1013	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∨ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9	8	ad2antlr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∨ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
10	5, 9	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∨ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
11	3, 4, 10	mpjaod 713	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
12	11	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
13	1, 2, 12	rexlimd 2584	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
14	13	imp 123	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o suc 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  suc csuc 4350  ωcom 4574  (class class class)co 5853  1_oc1o 6388  2_oc2o 6389   +_o coa 6392  [cec 6511   ~_Q ceq 7241  Qcnq 7242   +_Q cplq 7244   ·_Q cmq 7245   <_Q cltq 7247   ~_Q0 ceq0 7248   +_Q0 cplq0 7251   ·_Q0 cmq0 7252  Pcnp 7253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428

This theorem is referenced by:  prarloclem3  7459