ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclem3step GIF version

Theorem prarloclem3step 7508
Description: Induction step for prarloclem3 7509. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem3step (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฆ,๐ฟ   ๐‘ฆ,๐‘ƒ   ๐‘ฆ,๐‘ˆ   ๐‘ฆ,๐‘‹

Proof of Theorem prarloclem3step
StepHypRef Expression
1 nfv 1538 . . 3 โ„ฒ๐‘ฆ(๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q))
2 nfre1 2530 . . 3 โ„ฒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)
3 prarloclemlo 7506 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))))
4 prarloclemup 7507 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))))
5 prarloclemlt 7505 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) <Q (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)))
6 prloc 7503 . . . . . . . . 9 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) <Q (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆจ (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
76ex 115 . . . . . . . 8 (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) <Q (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆจ (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
873ad2ant1 1019 . . . . . . 7 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) <Q (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆจ (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
98ad2antlr 489 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) <Q (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆจ (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
105, 9mpd 13 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆจ (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
113, 4, 10mpjaod 719 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
1211ex 115 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))))
131, 2, 12rexlimd 2601 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
1413imp 124 1 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   โˆง w3a 979   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466  โŸจcop 3607   class class class wbr 4015  suc csuc 4377  ฯ‰com 4601  (class class class)co 5888  1oc1o 6423  2oc2o 6424   +o coa 6427  [cec 6546   ~Q ceq 7291  Qcnq 7292   +Q cplq 7294   ยทQ cmq 7295   <Q cltq 7297   ~Q0 ceq0 7298   +Q0 cplq0 7301   ยทQ0 cmq0 7302  Pcnp 7303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-2o 6431  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318  df-lti 7319  df-plpq 7356  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-plqqs 7361  df-mqqs 7362  df-ltnqqs 7365  df-enq0 7436  df-nq0 7437  df-plq0 7439  df-mq0 7440  df-inp 7478
This theorem is referenced by:  prarloclem3  7509
  Copyright terms: Public domain W3C validator