Theorem pwsdiagel 13370

Description: Membership of diagonal elements in the structure power base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiagel.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsdiagel.b	|- B = ( Base ` R )
pwsdiagel.c	|- C = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
pwsdiagel	|- ( ( ( R e. V /\ I e. W ) /\ A e. B ) -> ( I X. { A } ) e. C )

Proof of Theorem pwsdiagel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5532	. . 3 |- ( A e. B -> ( I X. { A } ) : I --> B )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ I e. W ) /\ A e. B ) -> ( I X. { A } ) : I --> B )
3		pwsdiagel.y	. . . 4 |- Y = ( R ^s I )
4		pwsdiagel.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
5		pwsdiagel.c	. . . 4 |- C = ( Base ` Y )
6	3, 4, 5	pwselbasb 13366	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( ( I X. { A } ) e. C <-> ( I X. { A } ) : I --> B ) )
7	6	adantr 276	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ I e. W ) /\ A e. B ) -> ( ( I X. { A } ) e. C <-> ( I X. { A } ) : I --> B ) )
8	2, 7	mpbird 167	1 |- ( ( ( R e. V /\ I e. W ) /\ A e. B ) -> ( I X. { A } ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {csn 3667   X. cxp 4721   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   ^_s cpws 13339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-ixp 6863  df-sup 7174  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-dec 9602  df-uz 9746  df-fz 10234  df-struct 13074  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-sca 13166  df-vsca 13167  df-ip 13168  df-tset 13169  df-ple 13170  df-ds 13172  df-hom 13174  df-cco 13175  df-rest 13314  df-topn 13315  df-topgen 13333  df-pt 13334  df-prds 13340  df-pws 13363

This theorem is referenced by: (None)