Theorem pwsdiagel 13325

Description: Membership of diagonal elements in the structure power base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiagel.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsdiagel.b	|- B = ( Base ` R )
pwsdiagel.c	|- C = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
pwsdiagel	|- ( ( ( R e. V /\ I e. W ) /\ A e. B ) -> ( I X. { A } ) e. C )

Proof of Theorem pwsdiagel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5523	. . 3 |- ( A e. B -> ( I X. { A } ) : I --> B )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ I e. W ) /\ A e. B ) -> ( I X. { A } ) : I --> B )
3		pwsdiagel.y	. . . 4 |- Y = ( R ^s I )
4		pwsdiagel.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
5		pwsdiagel.c	. . . 4 |- C = ( Base ` Y )
6	3, 4, 5	pwselbasb 13321	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( ( I X. { A } ) e. C <-> ( I X. { A } ) : I --> B ) )
7	6	adantr 276	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ I e. W ) /\ A e. B ) -> ( ( I X. { A } ) e. C <-> ( I X. { A } ) : I --> B ) )
8	2, 7	mpbird 167	1 |- ( ( ( R e. V /\ I e. W ) /\ A e. B ) -> ( I X. { A } ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {csn 3666   X. cxp 4716   -->wf 5313   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   ^_s cpws 13294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-map 6795  df-ixp 6844  df-sup 7147  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-dec 9575  df-uz 9719  df-fz 10201  df-struct 13029  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-ip 13123  df-tset 13124  df-ple 13125  df-ds 13127  df-hom 13129  df-cco 13130  df-rest 13269  df-topn 13270  df-topgen 13288  df-pt 13289  df-prds 13295  df-pws 13318

This theorem is referenced by: (None)