Theorem pwssnf1o 13404

Description: Triviality of singleton powers: set equipollence. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssnf1o.y	|- Y = ( R ^s { I } )
pwssnf1o.b	|- B = ( Base ` R )
pwssnf1o.f	|- F = ( x e. B |-> ( { I } X. { x } ) )
pwssnf1o.c	|- C = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
pwssnf1o	|- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> F : B -1-1-onto-> C )

Distinct variable groups:   x, Y   x, R   x, I   x, B   x, C   x, W

Allowed substitution hints:   F( x)   V( x)

Proof of Theorem pwssnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssnf1o.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2		basfn 13164	. . . . 5 |- Base Fn _V
3		elex 2813	. . . . . 6 |- ( R e. V -> R e. _V )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> R e. _V )
5		funfvex 5659	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
6	5	funfni 5434	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
7	2, 4, 6	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` R ) e. _V )
8	1, 7	eqeltrid 2317	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> B e. _V )
9		pwssnf1o.f	. . . 4 |- F = ( x e. B |-> ( { I } X. { x } ) )
10	9	mapsnf1o 6911	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ I e. W ) -> F : B -1-1-onto-> ( B ^m { I } ) )
11	8, 10	sylancom 420	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> F : B -1-1-onto-> ( B ^m { I } ) )
12		pwssnf1o.c	. . . 4 |- C = ( Base ` Y )
13		snexg 4276	. . . . 5 |- ( I e. W -> { I } e. _V )
14		pwssnf1o.y	. . . . . 6 |- Y = ( R ^s { I } )
15	14, 1	pwsbas 13398	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ { I } e. _V ) -> ( B ^m { I } ) = ( Base ` Y ) )
16	13, 15	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( B ^m { I } ) = ( Base ` Y ) )
17	12, 16	eqtr4id 2282	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> C = ( B ^m { I } ) )
18	17	f1oeq3d 5583	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( F : B -1-1-onto-> C <-> F : B -1-1-onto-> ( B ^m { I } ) ) )
19	11, 18	mpbird 167	1 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> F : B -1-1-onto-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201   _Vcvv 2801   {csn 3670   |-> cmpt 4151   X. cxp 4725   Fn wfn 5323   -1-1-onto->wf1o 5327   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   ^m cmap 6822   Basecbs 13105   ^_s cpws 13372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824  df-ixp 6873  df-sup 7188  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-fz 10249  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-tset 13202  df-ple 13203  df-ds 13205  df-hom 13207  df-cco 13208  df-rest 13347  df-topn 13348  df-topgen 13366  df-pt 13367  df-prds 13373  df-pws 13396

This theorem is referenced by: (None)