Theorem pwselbasb 13523

Description: Membership in the base set of a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsbas.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsbas.f	|- B = ( Base ` R )
pwselbas.v	|- V = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
pwselbasb	|- ( ( R e. W /\ I e. Z ) -> ( X e. V <-> X : I --> B ) )

Proof of Theorem pwselbasb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsbas.y	. . . . 5 |- Y = ( R ^s I )
2		pwsbas.f	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
3	1, 2	pwsbas 13522	. . . 4 |- ( ( R e. W /\ I e. Z ) -> ( B ^m I ) = ( Base ` Y ) )
4		pwselbas.v	. . . 4 |- V = ( Base ` Y )
5	3, 4	eqtr4di 2285	. . 3 |- ( ( R e. W /\ I e. Z ) -> ( B ^m I ) = V )
6	5	eleq2d 2304	. 2 |- ( ( R e. W /\ I e. Z ) -> ( X e. ( B ^m I ) <-> X e. V ) )
7		basfn 13288	. . . . 5 |- Base Fn _V
8		elex 2827	. . . . 5 |- ( R e. W -> R e. _V )
9		funfvex 5689	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
10	9	funfni 5460	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
11	7, 8, 10	sylancr 414	. . . 4 |- ( R e. W -> ( Base ` R ) e. _V )
12	2, 11	eqeltrid 2321	. . 3 |- ( R e. W -> B e. _V )
13		elmapg 6897	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ I e. Z ) -> ( X e. ( B ^m I ) <-> X : I --> B ) )
14	12, 13	sylan 283	. 2 |- ( ( R e. W /\ I e. Z ) -> ( X e. ( B ^m I ) <-> X : I --> B ) )
15	6, 14	bitr3d 190	1 |- ( ( R e. W /\ I e. Z ) -> ( X e. V <-> X : I --> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   Fn wfn 5349   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   ^m cmap 6884   Basecbs 13229   ^_s cpws 13496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-ixp 6936  df-sup 7277  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-fz 10346  df-struct 13231  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-sca 13323  df-vsca 13324  df-ip 13325  df-tset 13326  df-ple 13327  df-ds 13329  df-hom 13331  df-cco 13332  df-rest 13471  df-topn 13472  df-topgen 13490  df-pt 13491  df-prds 13497  df-pws 13520

This theorem is referenced by:  pwselbas  13524  pwsdiagel  13527