ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexsub Unicode version

Theorem rexsub 9853
Description: Extended real subtraction when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexsub  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e  -e B )  =  ( A  -  B
) )

Proof of Theorem rexsub
StepHypRef Expression
1 rexneg 9830 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  -e
B  =  -u B
)
21adantl 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-e B  = 
-u B )
32oveq2d 5891 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e  -e B )  =  ( A +e -u B ) )
4 renegcl 8218 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
5 rexadd 9852 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  ( A +e -u B )  =  ( A  +  -u B ) )
64, 5sylan2 286 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e -u B )  =  ( A  +  -u B
) )
7 recn 7944 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
8 recn 7944 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
9 negsub 8205 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
107, 8, 9syl2an 289 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
113, 6, 103eqtrd 2214 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e  -e B )  =  ( A  -  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148  (class class class)co 5875   CCcc 7809   RRcr 7810    + caddc 7814    - cmin 8128   -ucneg 8129    -ecxne 9769   +ecxad 9770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-sub 8130  df-neg 8131  df-xneg 9772  df-xadd 9773
This theorem is referenced by:  xposdif  9882  blss2ps  13909  blss2  13910
  Copyright terms: Public domain W3C validator