Theorem rexsub 10049

Description: Extended real subtraction when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexsub	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A +e -e B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem rexsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexneg 10026	. . . 4 |- ( B e. RR -> -e B = -u B )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -e B = -u B )
3	2	oveq2d 6017	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A +e -e B ) = ( A +e -u B ) )
4		renegcl 8407	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
5		rexadd 10048	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A +e -u B ) = ( A + -u B ) )
6	4, 5	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A +e -u B ) = ( A + -u B ) )
7		recn 8132	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
8		recn 8132	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
9		negsub 8394	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
10	7, 8, 9	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
11	3, 6, 10	3eqtrd 2266	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A +e -e B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   CCcc 7997   RRcr 7998   + caddc 8002   - cmin 8317   -ucneg 8318   -ecxne 9965   +ecxad 9966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-sub 8319  df-neg 8320  df-xneg 9968  df-xadd 9969

This theorem is referenced by:  xposdif  10078  blss2ps  15080  blss2  15081