Theorem rexsub 9639

Description: Extended real subtraction when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexsub	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A +e -e B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem rexsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexneg 9616	. . . 4 |- ( B e. RR -> -e B = -u B )
2	1	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -e B = -u B )
3	2	oveq2d 5790	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A +e -e B ) = ( A +e -u B ) )
4		renegcl 8026	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
5		rexadd 9638	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A +e -u B ) = ( A + -u B ) )
6	4, 5	sylan2 284	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A +e -u B ) = ( A + -u B ) )
7		recn 7756	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
8		recn 7756	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
9		negsub 8013	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
10	7, 8, 9	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
11	3, 6, 10	3eqtrd 2176	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A +e -e B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   CCcc 7621   RRcr 7622   + caddc 7626   - cmin 7936   -ucneg 7937   -ecxne 9559   +ecxad 9560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-cnre 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-sub 7938  df-neg 7939  df-xneg 9562  df-xadd 9563

This theorem is referenced by:  xposdif  9668  blss2ps  12578  blss2  12579