ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexsub GIF version

Theorem rexsub 9665
Description: Extended real subtraction when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexsub ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem rexsub
StepHypRef Expression
1 rexneg 9642 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
21adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
32oveq2d 5797 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 -𝐵))
4 renegcl 8046 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
5 rexadd 9664 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝐵) = (𝐴 + -𝐵))
64, 5sylan2 284 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝐵) = (𝐴 + -𝐵))
7 recn 7776 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8 recn 7776 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
9 negsub 8033 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
107, 8, 9syl2an 287 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
113, 6, 103eqtrd 2177 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  (class class class)co 5781  cc 7641  cr 7642   + caddc 7646  cmin 7956  -cneg 7957  -𝑒cxne 9585   +𝑒 cxad 9586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-sub 7958  df-neg 7959  df-xneg 9588  df-xadd 9589
This theorem is referenced by:  xposdif  9694  blss2ps  12612  blss2  12613
  Copyright terms: Public domain W3C validator