Theorem rexsub 9789

Description: Extended real subtraction when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem rexsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexneg 9766	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
2	1	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
3	2	oveq2d 5858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 -𝐵))
4		renegcl 8159	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
5		rexadd 9788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝐵) = (𝐴 + -𝐵))
6	4, 5	sylan2 284	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝐵) = (𝐴 + -𝐵))
7		recn 7886	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8		recn 7886	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
9		negsub 8146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	7, 8, 9	syl2an 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
11	3, 6, 10	3eqtrd 2202	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752   + caddc 7756   − cmin 8069  -cneg 8070  -_𝑒cxne 9705   +_𝑒 cxad 9706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-sub 8071  df-neg 8072  df-xneg 9708  df-xadd 9709

This theorem is referenced by:  xposdif  9818  blss2ps  13046  blss2  13047