Theorem nzrunit 13791

Description: A unit is nonzero in any nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nzrunit.1	|- U = (Unit ` R )
nzrunit.2	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
nzrunit	|- ( ( R e. NzRing /\ A e. U ) -> A =/= .0. )

Proof of Theorem nzrunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
2		nzrunit.2	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` R )
3	1, 2	nzrnz 13785	. . . . 5 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) =/= .0. )
4		nzrring 13786	. . . . . 6 |- ( R e. NzRing -> R e. Ring )
5		nzrunit.1	. . . . . . . 8 |- U = (Unit ` R )
6	5, 2, 1	0unit 13732	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( .0. e. U <-> ( 1r ` R ) = .0. ) )
7	6	necon3bbid 2407	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( -. .0. e. U <-> ( 1r ` R ) =/= .0. ) )
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( R e. NzRing -> ( -. .0. e. U <-> ( 1r ` R ) =/= .0. ) )
9	3, 8	mpbird 167	. . . 4 |- ( R e. NzRing -> -. .0. e. U )
10		eleq1 2259	. . . . 5 |- ( A = .0. -> ( A e. U <-> .0. e. U ) )
11	10	notbid 668	. . . 4 |- ( A = .0. -> ( -. A e. U <-> -. .0. e. U ) )
12	9, 11	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( R e. NzRing -> ( A = .0. -> -. A e. U ) )
13	12	necon2ad 2424	. 2 |- ( R e. NzRing -> ( A e. U -> A =/= .0. ) )
14	13	imp 124	1 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. U ) -> A =/= .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   ` cfv 5259   0gc0g 12946   1rcur 13562   Ringcrg 13599  Unitcui 13690  NzRingcnzr 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7975  ax-resscn 7976  ax-1cn 7977  ax-1re 7978  ax-icn 7979  ax-addcl 7980  ax-addrcl 7981  ax-mulcl 7982  ax-addcom 7984  ax-addass 7986  ax-i2m1 7989  ax-0lt1 7990  ax-0id 7992  ax-rnegex 7993  ax-pre-ltirr 7996  ax-pre-lttrn 7998  ax-pre-ltadd 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-tpos 6307  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-ltxr 8071  df-inn 8996  df-2 9054  df-3 9055  df-ndx 12694  df-slot 12695  df-base 12697  df-sets 12698  df-iress 12699  df-plusg 12781  df-mulr 12782  df-0g 12948  df-mgm 13046  df-sgrp 13092  df-mnd 13105  df-grp 13182  df-minusg 13183  df-cmn 13463  df-abl 13464  df-mgp 13524  df-ur 13563  df-srg 13567  df-ring 13601  df-oppr 13671  df-dvdsr 13692  df-unit 13693  df-invr 13724  df-nzr 13783

This theorem is referenced by: (None)