Theorem ringm2neg 13817

Description: Double negation of a product in a ring. (mul2neg 8470 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	|- B = ( Base ` R )
ringneglmul.t	|- .x. = ( .r ` R )
ringneglmul.n	|- N = ( invg ` R )
ringneglmul.r	|- ( ph -> R e. Ring )
ringneglmul.x	|- ( ph -> X e. B )
ringneglmul.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
ringm2neg	|- ( ph -> ( ( N ` X ) .x. ( N ` Y ) ) = ( X .x. Y ) )

Proof of Theorem ringm2neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		ringneglmul.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
3		ringneglmul.n	. . 3 |- N = ( invg ` R )
4		ringneglmul.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
5		ringneglmul.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
6		ringgrp 13763	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
7	4, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
8		ringneglmul.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
9	1, 3	grpinvcl 13380	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` Y ) e. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	ringmneg1 13815	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` X ) .x. ( N ` Y ) ) = ( N ` ( X .x. ( N ` Y ) ) ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 8	ringmneg2 13816	. . 3 |- ( ph -> ( X .x. ( N ` Y ) ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )
13	12	fveq2d 5580	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( X .x. ( N ` Y ) ) ) = ( N ` ( N ` ( X .x. Y ) ) ) )
14	1, 2	ringcl 13775	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
15	4, 5, 8, 14	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ph -> ( X .x. Y ) e. B )
16	1, 3	grpinvinv 13399	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ ( X .x. Y ) e. B ) -> ( N ` ( N ` ( X .x. Y ) ) ) = ( X .x. Y ) )
17	7, 15, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( N ` ( X .x. Y ) ) ) = ( X .x. Y ) )
18	11, 13, 17	3eqtrd 2242	1 |- ( ph -> ( ( N ` X ) .x. ( N ` Y ) ) = ( X .x. Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   .rcmulr 12910   Grpcgrp 13332   invgcminusg 13333   Ringcrg 13758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-ring 13760

This theorem is referenced by: (None)