Theorem ringm2neg 13045

Description: Double negation of a product in a ring. (mul2neg 8332 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	|- B = ( Base ` R )
ringneglmul.t	|- .x. = ( .r ` R )
ringneglmul.n	|- N = ( invg ` R )
ringneglmul.r	|- ( ph -> R e. Ring )
ringneglmul.x	|- ( ph -> X e. B )
ringneglmul.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
ringm2neg	|- ( ph -> ( ( N ` X ) .x. ( N ` Y ) ) = ( X .x. Y ) )

Proof of Theorem ringm2neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		ringneglmul.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
3		ringneglmul.n	. . 3 |- N = ( invg ` R )
4		ringneglmul.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
5		ringneglmul.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
6		ringgrp 12997	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
7	4, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
8		ringneglmul.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
9	1, 3	grpinvcl 12798	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` Y ) e. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	ringmneg1 13043	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` X ) .x. ( N ` Y ) ) = ( N ` ( X .x. ( N ` Y ) ) ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 8	ringmneg2 13044	. . 3 |- ( ph -> ( X .x. ( N ` Y ) ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )
13	12	fveq2d 5514	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( X .x. ( N ` Y ) ) ) = ( N ` ( N ` ( X .x. Y ) ) ) )
14	1, 2	ringcl 13009	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
15	4, 5, 8, 14	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> ( X .x. Y ) e. B )
16	1, 3	grpinvinv 12813	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ ( X .x. Y ) e. B ) -> ( N ` ( N ` ( X .x. Y ) ) ) = ( X .x. Y ) )
17	7, 15, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( N ` ( X .x. Y ) ) ) = ( X .x. Y ) )
18	11, 13, 17	3eqtrd 2214	1 |- ( ph -> ( ( N ` X ) .x. ( N ` Y ) ) = ( X .x. Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   Basecbs 12432   .rcmulr 12506   Grpcgrp 12754   invgcminusg 12755   Ringcrg 12992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltadd 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-ltxr 7974  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-sets 12439  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-minusg 12758  df-mgp 12945  df-ur 12956  df-ring 12994

This theorem is referenced by: (None)