Theorem ringmneg2 13361

Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 8367 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	|- B = ( Base ` R )
ringneglmul.t	|- .x. = ( .r ` R )
ringneglmul.n	|- N = ( invg ` R )
ringneglmul.r	|- ( ph -> R e. Ring )
ringneglmul.x	|- ( ph -> X e. B )
ringneglmul.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
ringmneg2	|- ( ph -> ( X .x. ( N ` Y ) ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )

Proof of Theorem ringmneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
2		ringneglmul.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
3		ringneglmul.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
4		ringgrp 13310	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
5	1, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
6		ringneglmul.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
7		eqid 2187	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8	6, 7	ringidcl 13329	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
9	1, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 1r ` R ) e. B )
10		ringneglmul.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` R )
11	6, 10	grpinvcl 12953	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
12	5, 9, 11	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
13		ringneglmul.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
14	6, 13	ringass 13325	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B ) ) -> ( ( X .x. Y ) .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( X .x. ( Y .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
15	1, 2, 3, 12, 14	syl13anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( X .x. Y ) .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( X .x. ( Y .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
16	6, 13	ringcl 13322	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
17	1, 2, 3, 16	syl3anc 1248	. . 3 |- ( ph -> ( X .x. Y ) e. B )
18	6, 13, 7, 10, 1, 17	ringnegr 13359	. 2 |- ( ph -> ( ( X .x. Y ) .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )
19	6, 13, 7, 10, 1, 3	ringnegr 13359	. . 3 |- ( ph -> ( Y .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( N ` Y ) )
20	19	oveq2d 5904	. 2 |- ( ph -> ( X .x. ( Y .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) = ( X .x. ( N ` Y ) ) )
21	15, 18, 20	3eqtr3rd 2229	1 |- ( ph -> ( X .x. ( N ` Y ) ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12476   .rcmulr 12552   Grpcgrp 12906   invgcminusg 12907   1rcur 13268   Ringcrg 13305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12909  df-minusg 12910  df-mgp 13230  df-ur 13269  df-ring 13307

This theorem is referenced by:  ringm2neg  13362  ringsubdi  13363