Theorem ringmneg2 13686

Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 8439 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	|- B = ( Base ` R )
ringneglmul.t	|- .x. = ( .r ` R )
ringneglmul.n	|- N = ( invg ` R )
ringneglmul.r	|- ( ph -> R e. Ring )
ringneglmul.x	|- ( ph -> X e. B )
ringneglmul.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
ringmneg2	|- ( ph -> ( X .x. ( N ` Y ) ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )

Proof of Theorem ringmneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
2		ringneglmul.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
3		ringneglmul.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
4		ringgrp 13633	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
5	1, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
6		ringneglmul.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
7		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8	6, 7	ringidcl 13652	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
9	1, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 1r ` R ) e. B )
10		ringneglmul.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` R )
11	6, 10	grpinvcl 13250	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
12	5, 9, 11	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
13		ringneglmul.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
14	6, 13	ringass 13648	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B ) ) -> ( ( X .x. Y ) .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( X .x. ( Y .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
15	1, 2, 3, 12, 14	syl13anc 1251	. 2 |- ( ph -> ( ( X .x. Y ) .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( X .x. ( Y .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
16	6, 13	ringcl 13645	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
17	1, 2, 3, 16	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( X .x. Y ) e. B )
18	6, 13, 7, 10, 1, 17	ringnegr 13684	. 2 |- ( ph -> ( ( X .x. Y ) .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )
19	6, 13, 7, 10, 1, 3	ringnegr 13684	. . 3 |- ( ph -> ( Y .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( N ` Y ) )
20	19	oveq2d 5941	. 2 |- ( ph -> ( X .x. ( Y .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) = ( X .x. ( N ` Y ) ) )
21	15, 18, 20	3eqtr3rd 2238	1 |- ( ph -> ( X .x. ( N ` Y ) ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   .rcmulr 12781   Grpcgrp 13202   invgcminusg 13203   1rcur 13591   Ringcrg 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630

This theorem is referenced by:  ringm2neg  13687  ringsubdi  13688