Theorem ringmneg2 14359

Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 8723 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	|- B = ( Base ` R )
ringneglmul.t	|- .x. = ( .r ` R )
ringneglmul.n	|- N = ( invg ` R )
ringneglmul.r	|- ( ph -> R e. Ring )
ringneglmul.x	|- ( ph -> X e. B )
ringneglmul.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
ringmneg2	|- ( ph -> ( X .x. ( N ` Y ) ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )

Proof of Theorem ringmneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
2		ringneglmul.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
3		ringneglmul.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
4		ringgrp 14305	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
5	1, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
6		ringneglmul.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
7		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8	6, 7	ringidcl 14325	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
9	1, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 1r ` R ) e. B )
10		ringneglmul.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` R )
11	6, 10	grpinvcl 13853	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
12	5, 9, 11	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
13		ringneglmul.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
14	6, 13	ringass 14320	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B ) ) -> ( ( X .x. Y ) .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( X .x. ( Y .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
15	1, 2, 3, 12, 14	syl13anc 1280	. 2 |- ( ph -> ( ( X .x. Y ) .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( X .x. ( Y .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
16	6, 13	ringcl 14317	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
17	1, 2, 3, 16	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( X .x. Y ) e. B )
18	6, 13, 7, 10, 1, 17	ringnegr 14357	. 2 |- ( ph -> ( ( X .x. Y ) .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )
19	6, 13, 7, 10, 1, 3	ringnegr 14357	. . 3 |- ( ph -> ( Y .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( N ` Y ) )
20	19	oveq2d 6101	. 2 |- ( ph -> ( X .x. ( Y .x. ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) = ( X .x. ( N ` Y ) ) )
21	15, 18, 20	3eqtr3rd 2280	1 |- ( ph -> ( X .x. ( N ` Y ) ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   .rcmulr 13432   Grpcgrp 13805   invgcminusg 13806   1rcur 14262   Ringcrg 14300

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-mgp 14218  df-ur 14263  df-ring 14302

This theorem is used by:  ringm2neg  14360  ringsubdi  14361