Theorem ringm2neg 13433

Description: Double negation of a product in a ring. (mul2neg 8391 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringm2neg	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))

Proof of Theorem ringm2neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringneglmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ringneglmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
4		ringneglmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringneglmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ringgrp 13381	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	4, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		ringneglmul.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3	grpinvcl 13016	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	ringmneg1 13431	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · (𝑁‘𝑌))))
12	1, 2, 3, 4, 5, 8	ringmneg2 13432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
13	12	fveq2d 5541	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · (𝑁‘𝑌))) = (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))))
14	1, 2	ringcl 13393	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15	4, 5, 8, 14	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
16	1, 3	grpinvinv 13035	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
17	7, 15, 16	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
18	11, 13, 17	3eqtrd 2226	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  Basecbs 12524  ._rcmulr 12602  Grpcgrp 12969  inv_gcminusg 12970  Ringcrg 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8030  df-mnf 8031  df-ltxr 8033  df-inn 8956  df-2 9014  df-3 9015  df-ndx 12527  df-slot 12528  df-base 12530  df-sets 12531  df-plusg 12614  df-mulr 12615  df-0g 12775  df-mgm 12844  df-sgrp 12889  df-mnd 12902  df-grp 12972  df-minusg 12973  df-mgp 13301  df-ur 13340  df-ring 13378

This theorem is referenced by: (None)