ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringm2neg GIF version

Theorem ringm2neg 13551
Description: Double negation of a product in a ring. (mul2neg 8417 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringneglmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t · = (.r𝑅)
ringneglmul.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringneglmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x (𝜑𝑋𝐵)
ringneglmul.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringm2neg (𝜑 → ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))

Proof of Theorem ringm2neg
StepHypRef Expression
1 ringneglmul.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 ringneglmul.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 ringneglmul.n . . 3 𝑁 = (invg𝑅)
4 ringneglmul.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 ringneglmul.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
6 ringgrp 13497 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
74, 6syl 14 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
8 ringneglmul.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
91, 3grpinvcl 13120 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
107, 8, 9syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
111, 2, 3, 4, 5, 10ringmneg1 13549 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · (𝑁𝑌))))
121, 2, 3, 4, 5, 8ringmneg2 13550 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
1312fveq2d 5558 . 2 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · (𝑁𝑌))) = (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))))
141, 2ringcl 13509 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
154, 5, 8, 14syl3anc 1249 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
161, 3grpinvinv 13139 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
177, 15, 16syl2anc 411 . 2 (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
1811, 13, 173eqtrd 2230 1 (𝜑 → ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1364  wcel 2164  cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  .rcmulr 12696  Grpcgrp 13072  invgcminusg 13073  Ringcrg 13492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator