Theorem ringm2neg 13735

Description: Double negation of a product in a ring. (mul2neg 8452 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringm2neg	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))

Proof of Theorem ringm2neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringneglmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ringneglmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
4		ringneglmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringneglmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ringgrp 13681	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	4, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		ringneglmul.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3	grpinvcl 13298	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	ringmneg1 13733	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · (𝑁‘𝑌))))
12	1, 2, 3, 4, 5, 8	ringmneg2 13734	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
13	12	fveq2d 5574	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · (𝑁‘𝑌))) = (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))))
14	1, 2	ringcl 13693	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15	4, 5, 8, 14	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
16	1, 3	grpinvinv 13317	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
17	7, 15, 16	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
18	11, 13, 17	3eqtrd 2241	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  Basecbs 12751  ._rcmulr 12829  Grpcgrp 13250  inv_gcminusg 13251  Ringcrg 13676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-minusg 13254  df-mgp 13601  df-ur 13640  df-ring 13678

This theorem is referenced by: (None)