Theorem ringmneg1 13022

Description: Negation of a product in a ring. (mulneg1 8326 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	|- B = ( Base ` R )
ringneglmul.t	|- .x. = ( .r ` R )
ringneglmul.n	|- N = ( invg ` R )
ringneglmul.r	|- ( ph -> R e. Ring )
ringneglmul.x	|- ( ph -> X e. B )
ringneglmul.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
ringmneg1	|- ( ph -> ( ( N ` X ) .x. Y ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )

Proof of Theorem ringmneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
2		ringgrp 12977	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
4		ringneglmul.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
5		eqid 2175	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
6	4, 5	ringidcl 12996	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
7	1, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 1r ` R ) e. B )
8		ringneglmul.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` R )
9	4, 8	grpinvcl 12781	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
10	3, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
11		ringneglmul.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
12		ringneglmul.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
13		ringneglmul.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
14	4, 13	ringass 12992	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. X ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. ( X .x. Y ) ) )
15	1, 10, 11, 12, 14	syl13anc 1240	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. X ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. ( X .x. Y ) ) )
16	4, 13, 5, 8, 1, 11	ringnegl 13020	. . 3 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. X ) = ( N ` X ) )
17	16	oveq1d 5880	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. X ) .x. Y ) = ( ( N ` X ) .x. Y ) )
18	4, 13	ringcl 12989	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
19	1, 11, 12, 18	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> ( X .x. Y ) e. B )
20	4, 13, 5, 8, 1, 19	ringnegl 13020	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. ( X .x. Y ) ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )
21	15, 17, 20	3eqtr3d 2216	1 |- ( ph -> ( ( N ` X ) .x. Y ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2146   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Basecbs 12427   .rcmulr 12492   Grpcgrp 12737   invgcminusg 12738   1rcur 12935   Ringcrg 12972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-ndx 12430  df-slot 12431  df-base 12433  df-sets 12434  df-plusg 12504  df-mulr 12505  df-0g 12627  df-mgm 12639  df-sgrp 12672  df-mnd 12682  df-grp 12740  df-minusg 12741  df-mgp 12926  df-ur 12936  df-ring 12974

This theorem is referenced by:  ringm2neg  13024  rngsubdir  13026  mulgass2  13027