Theorem ringmneg1 13609

Description: Negation of a product in a ring. (mulneg1 8421 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	|- B = ( Base ` R )
ringneglmul.t	|- .x. = ( .r ` R )
ringneglmul.n	|- N = ( invg ` R )
ringneglmul.r	|- ( ph -> R e. Ring )
ringneglmul.x	|- ( ph -> X e. B )
ringneglmul.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
ringmneg1	|- ( ph -> ( ( N ` X ) .x. Y ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )

Proof of Theorem ringmneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
2		ringgrp 13557	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
4		ringneglmul.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
5		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
6	4, 5	ringidcl 13576	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
7	1, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 1r ` R ) e. B )
8		ringneglmul.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` R )
9	4, 8	grpinvcl 13180	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
10	3, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
11		ringneglmul.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
12		ringneglmul.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
13		ringneglmul.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
14	4, 13	ringass 13572	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. X ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. ( X .x. Y ) ) )
15	1, 10, 11, 12, 14	syl13anc 1251	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. X ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. ( X .x. Y ) ) )
16	4, 13, 5, 8, 1, 11	ringnegl 13607	. . 3 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. X ) = ( N ` X ) )
17	16	oveq1d 5937	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. X ) .x. Y ) = ( ( N ` X ) .x. Y ) )
18	4, 13	ringcl 13569	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
19	1, 11, 12, 18	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( X .x. Y ) e. B )
20	4, 13, 5, 8, 1, 19	ringnegl 13607	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` R ) ) .x. ( X .x. Y ) ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )
21	15, 17, 20	3eqtr3d 2237	1 |- ( ph -> ( ( N ` X ) .x. Y ) = ( N ` ( X .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   .rcmulr 12756   Grpcgrp 13132   invgcminusg 13133   1rcur 13515   Ringcrg 13552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554

This theorem is referenced by:  ringm2neg  13611  ringsubdir  13613  mulgass2  13614