Theorem rlmscabas 14536

Description: Scalars in the ring module have the same base set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rlmscabas	⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))

Proof of Theorem rlmscabas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2	1	ressbasid 13214	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (Base‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = (Base‘𝑅))
3		rlmvalg 14530	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)))
4		ssidd 3249	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
5		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → 𝑅 ∈ 𝑋)
6	3, 4, 5	srascag 14518	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
7	6	fveq2d 5652	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (Base‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
8	2, 7	eqtr3d 2266	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13143   ↾_s cress 13144  Scalarcsca 13224  ringLModcrglmod 14510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-iress 13151  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-ip 13239  df-sra 14511  df-rgmod 14512

This theorem is referenced by:  islidlm  14555  lidlrsppropdg  14571  rspsn  14610