Theorem rlmscabas 14042

Description: Scalars in the ring module have the same base set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rlmscabas	⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))

Proof of Theorem rlmscabas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2	1	ressbasid 12759	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (Base‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = (Base‘𝑅))
3		rlmvalg 14036	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)))
4		ssidd 3205	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
5		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → 𝑅 ∈ 𝑋)
6	3, 4, 5	srascag 14024	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
7	6	fveq2d 5563	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (Base‘(𝑅 ↾s (Base‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
8	2, 7	eqtr3d 2231	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  Basecbs 12689   ↾_s cress 12690  Scalarcsca 12769  ringLModcrglmod 14016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-addcom 7982  ax-addass 7984  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-ltadd 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-ltxr 8069  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-5 9055  df-6 9056  df-7 9057  df-8 9058  df-ndx 12692  df-slot 12693  df-base 12695  df-sets 12696  df-iress 12697  df-mulr 12780  df-sca 12782  df-vsca 12783  df-ip 12784  df-sra 14017  df-rgmod 14018

This theorem is referenced by:  islidlm  14061  lidlrsppropdg  14077  rspsn  14116