Theorem uz2mulcl 9841

Description: Closure of multiplication of integers greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
uz2mulcl	⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2))

Proof of Theorem uz2mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9764	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzelz 9764	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9532	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5		eluz2b1 9834	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀))
6		zre 9482	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	anim1i 340	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀))
8	5, 7	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀))
9		eluz2b1 9834	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
10		zre 9482	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	anim1i 340	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
12	9, 11	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
13		mulgt1 9042	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝑀 ∧ 1 < 𝑁)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
14	13	an4s 592	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
15	8, 12, 14	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
16		eluz2b1 9834	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑀 · 𝑁)))
17	4, 15, 16	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  1c1 8032   · cmul 8036   < clt 8213  2c2 9193  ℤcz 9478  ℤ_≥cuz 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by: (None)