Theorem uzdcinzz 13679

Description: An upperset of integers is decidable in the integers. Reformulation of eluzdc 9548. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.) (Revised by BJ, 19-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
uzdcinzz	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)

Proof of Theorem uzdcinzz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlelttric 9236	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝑀))
2		eluz 9479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑥))
3	2	biimprd 157	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑥 → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
4		zltnle 9237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑥))
5	4	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑥))
6	2	notbid 657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑥))
7	6	biimprd 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 ≤ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
8	5, 7	sylbid 149	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9	3, 8	orim12d 776	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
10	1, 9	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
11	10	ex 114	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
12	11	decidr 13677	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188   < clt 7933   ≤ cle 7934  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466   DECID_in wdcin 13674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-dcin 13675

This theorem is referenced by:  sumdc2  13680