Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzdcinzz GIF version

Theorem uzdcinzz 12994
Description: An upperset of integers is decidable in the integers. Reformulation of eluzdc 9397. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.) (Revised by BJ, 19-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
uzdcinzz (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) DECIDin ℤ)

Proof of Theorem uzdcinzz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlelttric 9092 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀𝑥𝑥 < 𝑀))
2 eluz 9332 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑥))
32biimprd 157 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀𝑥𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
4 zltnle 9093 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀𝑥))
54ancoms 266 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀𝑥))
62notbid 656 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ ¬ 𝑀𝑥))
76biimprd 157 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
85, 7sylbid 149 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
93, 8orim12d 775 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑥𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))))
101, 9mpd 13 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
1110ex 114 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))))
1211decidr 12992 1 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) DECIDin ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  wcel 1480   class class class wbr 3924  cfv 5118   < clt 7793  cle 7794  cz 9047  cuz 9319   DECIDin wdcin 12989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-dcin 12990
This theorem is referenced by:  sumdc2  12995
  Copyright terms: Public domain W3C validator