Theorem uzdcinzz 14947

Description: An upperset of integers is decidable in the integers. Reformulation of eluzdc 9628. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.) (Revised by BJ, 19-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
uzdcinzz	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)

Proof of Theorem uzdcinzz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlelttric 9316	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝑀))
2		eluz 9559	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑥))
3	2	biimprd 158	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑥 → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
4		zltnle 9317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑥))
5	4	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑥))
6	2	notbid 668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑥))
7	6	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 ≤ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
8	5, 7	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9	3, 8	orim12d 787	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
10	1, 9	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
11	10	ex 115	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
12	11	decidr 14945	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5231   < clt 8010   ≤ cle 8011  ℤcz 9271  ℤ_≥cuz 9546   DECID_in wdcin 14942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-dcin 14943

This theorem is referenced by:  sumdc2  14948