Theorem uzdcinzz 17031

Description: An upperset of integers is decidable in the integers. Reformulation of eluzdc 10026. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.) (Revised by BJ, 19-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
uzdcinzz	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)

Proof of Theorem uzdcinzz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlelttric 9700	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝑀))
2		eluz 9951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑥))
3	2	biimprd 158	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑥 → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
4		zltnle 9701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑥))
5	4	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑥))
6	2	notbid 677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑥))
7	6	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 ≤ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
8	5, 7	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9	3, 8	orim12d 798	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
10	1, 9	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
11	10	ex 115	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
12	11	decidr 17029	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380   < clt 8366   ≤ cle 8367  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937   DECID_in wdcin 17026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-dcin 17027

This theorem is used by:  sumdc2  17032