Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzdcinzz GIF version

Theorem uzdcinzz 11055
Description: An upperset of integers is decidable in the integers. Reformulation of eluzdc 9006. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.) (Revised by BJ, 19-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
uzdcinzz (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) DECIDin ℤ)

Proof of Theorem uzdcinzz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlelttric 8705 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀𝑥𝑥 < 𝑀))
2 eluz 8941 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑥))
32biimprd 156 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀𝑥𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
4 zltnle 8706 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀𝑥))
54ancoms 264 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀𝑥))
62notbid 625 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ ¬ 𝑀𝑥))
76biimprd 156 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
85, 7sylbid 148 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
93, 8orim12d 733 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑥𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))))
101, 9mpd 13 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
1110ex 113 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))))
1211decidr 11053 1 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) DECIDin ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  wcel 1436   class class class wbr 3814  cfv 4972   < clt 7443  cle 7444  cz 8660  cuz 8928   DECIDin wdcin 11050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-dcin 11051
This theorem is referenced by:  sumdc2  11056
  Copyright terms: Public domain W3C validator