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Description: Associativity of extended
real addition. The correct condition here is
"it is not the case that both ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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xaddass |
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1 | recn 7944 |
. . . . . . . . . 10
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2 | recn 7944 |
. . . . . . . . . 10
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3 | recn 7944 |
. . . . . . . . . 10
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4 | addass 7941 |
. . . . . . . . . 10
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5 | 1, 2, 3, 4 | syl3an 1280 |
. . . . . . . . 9
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6 | 5 | 3expa 1203 |
. . . . . . . 8
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7 | readdcl 7937 |
. . . . . . . . 9
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8 | rexadd 9852 |
. . . . . . . . 9
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9 | 7, 8 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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10 | readdcl 7937 |
. . . . . . . . . 10
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11 | rexadd 9852 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 10, 11 | sylan2 286 |
. . . . . . . . 9
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13 | 12 | anassrs 400 |
. . . . . . . 8
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14 | 6, 9, 13 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . 7
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15 | rexadd 9852 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | oveq1d 5890 |
. . . . . . 7
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18 | rexadd 9852 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | adantll 476 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | oveq2d 5891 |
. . . . . . 7
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21 | 14, 17, 20 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . 6
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22 | 21 | adantll 476 |
. . . . 5
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23 | oveq2 5883 |
. . . . . . . . 9
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24 | simp1l 1021 |
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25 | simp2l 1023 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | xaddcl 9860 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 24, 25, 26 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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28 | xaddnemnf 9857 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 28 | 3adant3 1017 |
. . . . . . . . . 10
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30 | xaddpnf1 9846 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 27, 29, 30 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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32 | 23, 31 | sylan9eqr 2232 |
. . . . . . . 8
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33 | xaddpnf1 9846 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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36 | 32, 35 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . 7
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37 | oveq2 5883 |
. . . . . . . . 9
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38 | xaddpnf1 9846 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . . 9
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40 | 37, 39 | sylan9eqr 2232 |
. . . . . . . 8
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41 | 40 | oveq2d 5891 |
. . . . . . 7
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42 | 36, 41 | eqtr4d 2213 |
. . . . . 6
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43 | 42 | adantlr 477 |
. . . . 5
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44 | simp3 999 |
. . . . . . 7
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45 | xrnemnf 9777 |
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46 | 44, 45 | sylib 122 |
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47 | 46 | adantr 276 |
. . . . 5
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48 | 22, 43, 47 | mpjaodan 798 |
. . . 4
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49 | 48 | anassrs 400 |
. . 3
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50 | xaddpnf2 9847 |
. . . . . . . 8
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51 | 50 | 3ad2ant3 1020 |
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52 | 51, 34 | eqtr4d 2213 |
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53 | 52 | adantr 276 |
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55 | 54, 34 | sylan9eqr 2232 |
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56 | 55 | oveq1d 5890 |
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58 | 57, 51 | sylan9eqr 2232 |
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59 | 58 | oveq2d 5891 |
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60 | 53, 56, 59 | 3eqtr4d 2220 |
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61 | 60 | adantlr 477 |
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62 | simpl2 1001 |
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63 | xrnemnf 9777 |
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65 | 49, 61, 64 | mpjaodan 798 |
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66 | simpl3 1002 |
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67 | 66, 50 | syl 14 |
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68 | simpl2l 1050 |
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69 | simpl3l 1052 |
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70 | xaddcl 9860 |
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71 | 68, 69, 70 | syl2anc 411 |
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72 | simpl2 1001 |
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73 | xaddnemnf 9857 |
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76 | 71, 74, 75 | syl2anc 411 |
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77 | 67, 76 | eqtr4d 2213 |
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78 | simpr 110 |
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79 | 78 | oveq1d 5890 |
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82 | 79, 81 | eqtrd 2210 |
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83 | 82 | oveq1d 5890 |
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84 | 78 | oveq1d 5890 |
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85 | 77, 83, 84 | 3eqtr4d 2220 |
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88 | 86, 87 | sylib 122 |
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89 | 65, 85, 88 | mpjaodan 798 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4122 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1re 7905 ax-addrcl 7908 ax-addass 7913 ax-rnegex 7920 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-id 4294 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-fv 5225 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-xadd 9773 |
This theorem is referenced by: xaddass2 9870 xpncan 9871 xadd4d 9885 |
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