Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xaddass Unicode version

 Description: Associativity of extended real addition. The correct condition here is "it is not the case that both and appear as one of , i.e. ", but this condition is difficult to work with, so we break the theorem into two parts: this one, where is not present in , and xaddass2 9752, where is not present. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression

StepHypRef Expression
1 recn 7844 . . . . . . . . . 10
2 recn 7844 . . . . . . . . . 10
3 recn 7844 . . . . . . . . . 10
4 addass 7841 . . . . . . . . . 10
51, 2, 3, 4syl3an 1259 . . . . . . . . 9
653expa 1182 . . . . . . . 8
7 readdcl 7837 . . . . . . . . 9
8 rexadd 9734 . . . . . . . . 9
97, 8sylan 281 . . . . . . . 8
10 readdcl 7837 . . . . . . . . . 10
11 rexadd 9734 . . . . . . . . . 10
1210, 11sylan2 284 . . . . . . . . 9
1312anassrs 398 . . . . . . . 8
146, 9, 133eqtr4d 2197 . . . . . . 7
15 rexadd 9734 . . . . . . . . 9
1615adantr 274 . . . . . . . 8
1716oveq1d 5829 . . . . . . 7
18 rexadd 9734 . . . . . . . . 9
1918adantll 468 . . . . . . . 8
2019oveq2d 5830 . . . . . . 7
2114, 17, 203eqtr4d 2197 . . . . . 6
2221adantll 468 . . . . 5
23 oveq2 5822 . . . . . . . . 9
24 simp1l 1006 . . . . . . . . . . 11
25 simp2l 1008 . . . . . . . . . . 11
26 xaddcl 9742 . . . . . . . . . . 11
2724, 25, 26syl2anc 409 . . . . . . . . . 10
28 xaddnemnf 9739 . . . . . . . . . . 11
29283adant3 1002 . . . . . . . . . 10
30 xaddpnf1 9728 . . . . . . . . . 10
3127, 29, 30syl2anc 409 . . . . . . . . 9
3223, 31sylan9eqr 2209 . . . . . . . 8
33 xaddpnf1 9728 . . . . . . . . . 10
34333ad2ant1 1003 . . . . . . . . 9
3534adantr 274 . . . . . . . 8
3632, 35eqtr4d 2190 . . . . . . 7
37 oveq2 5822 . . . . . . . . 9
38 xaddpnf1 9728 . . . . . . . . . 10
39383ad2ant2 1004 . . . . . . . . 9
4037, 39sylan9eqr 2209 . . . . . . . 8
4140oveq2d 5830 . . . . . . 7
4236, 41eqtr4d 2190 . . . . . 6
4342adantlr 469 . . . . 5
44 simp3 984 . . . . . . 7
45 xrnemnf 9662 . . . . . . 7
4644, 45sylib 121 . . . . . 6
4746adantr 274 . . . . 5
4822, 43, 47mpjaodan 788 . . . 4
4948anassrs 398 . . 3
50 xaddpnf2 9729 . . . . . . . 8
51503ad2ant3 1005 . . . . . . 7
5251, 34eqtr4d 2190 . . . . . 6
5352adantr 274 . . . . 5
54 oveq2 5822 . . . . . . 7
5554, 34sylan9eqr 2209 . . . . . 6
5655oveq1d 5829 . . . . 5
57 oveq1 5821 . . . . . . 7
5857, 51sylan9eqr 2209 . . . . . 6
5958oveq2d 5830 . . . . 5
6053, 56, 593eqtr4d 2197 . . . 4
62 simpl2 986 . . . 4
63 xrnemnf 9662 . . . 4
6462, 63sylib 121 . . 3
6549, 61, 64mpjaodan 788 . 2
66 simpl3 987 . . . . 5
6766, 50syl 14 . . . 4
68 simpl2l 1035 . . . . . 6
69 simpl3l 1037 . . . . . 6
70 xaddcl 9742 . . . . . 6
7168, 69, 70syl2anc 409 . . . . 5
72 simpl2 986 . . . . . 6
73 xaddnemnf 9739 . . . . . 6
7472, 66, 73syl2anc 409 . . . . 5
75 xaddpnf2 9729 . . . . 5
7671, 74, 75syl2anc 409 . . . 4
7767, 76eqtr4d 2190 . . 3
78 simpr 109 . . . . . 6
7978oveq1d 5829 . . . . 5
80 xaddpnf2 9729 . . . . . 6
8172, 80syl 14 . . . . 5
8279, 81eqtrd 2187 . . . 4
8382oveq1d 5829 . . 3
8478oveq1d 5829 . . 3
8577, 83, 843eqtr4d 2197 . 2
86 simp1 982 . . 3
87 xrnemnf 9662 . . 3
8886, 87sylib 121 . 2
8965, 85, 88mpjaodan 788 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wo 698   w3a 963   wceq 1332   wcel 2125   wne 2324  (class class class)co 5814  cc 7709  cr 7710   caddc 7714   cpnf 7888   cmnf 7889  cxr 7890  cxad 9655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1re 7805  ax-addrcl 7808  ax-addass 7813  ax-rnegex 7820 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-xadd 9658 This theorem is referenced by:  xaddass2  9752  xpncan  9753  xadd4d  9767
 Copyright terms: Public domain W3C validator