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Description: Associativity of extended
real addition. The correct condition here is
"it is not the case that both ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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xaddass |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | recn 7671 |
. . . . . . . . . 10
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2 | recn 7671 |
. . . . . . . . . 10
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3 | recn 7671 |
. . . . . . . . . 10
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4 | addass 7668 |
. . . . . . . . . 10
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5 | 1, 2, 3, 4 | syl3an 1239 |
. . . . . . . . 9
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6 | 5 | 3expa 1162 |
. . . . . . . 8
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7 | readdcl 7664 |
. . . . . . . . 9
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8 | rexadd 9522 |
. . . . . . . . 9
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9 | 7, 8 | sylan 279 |
. . . . . . . 8
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10 | readdcl 7664 |
. . . . . . . . . 10
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11 | rexadd 9522 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 10, 11 | sylan2 282 |
. . . . . . . . 9
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13 | 12 | anassrs 395 |
. . . . . . . 8
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14 | 6, 9, 13 | 3eqtr4d 2155 |
. . . . . . 7
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15 | rexadd 9522 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | oveq1d 5741 |
. . . . . . 7
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18 | rexadd 9522 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | adantll 465 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | oveq2d 5742 |
. . . . . . 7
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21 | 14, 17, 20 | 3eqtr4d 2155 |
. . . . . 6
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22 | 21 | adantll 465 |
. . . . 5
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23 | oveq2 5734 |
. . . . . . . . 9
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24 | simp1l 986 |
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25 | simp2l 988 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | xaddcl 9530 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 24, 25, 26 | syl2anc 406 |
. . . . . . . . . 10
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28 | xaddnemnf 9527 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 28 | 3adant3 982 |
. . . . . . . . . 10
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30 | xaddpnf1 9516 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 27, 29, 30 | syl2anc 406 |
. . . . . . . . 9
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32 | 23, 31 | sylan9eqr 2167 |
. . . . . . . 8
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33 | xaddpnf1 9516 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33 | 3ad2ant1 983 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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36 | 32, 35 | eqtr4d 2148 |
. . . . . . 7
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37 | oveq2 5734 |
. . . . . . . . 9
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38 | xaddpnf1 9516 |
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39 | 38 | 3ad2ant2 984 |
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40 | 37, 39 | sylan9eqr 2167 |
. . . . . . . 8
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41 | 40 | oveq2d 5742 |
. . . . . . 7
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42 | 36, 41 | eqtr4d 2148 |
. . . . . 6
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43 | 42 | adantlr 466 |
. . . . 5
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44 | simp3 964 |
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45 | xrnemnf 9451 |
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46 | 44, 45 | sylib 121 |
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47 | 46 | adantr 272 |
. . . . 5
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48 | 22, 43, 47 | mpjaodan 770 |
. . . 4
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49 | 48 | anassrs 395 |
. . 3
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50 | xaddpnf2 9517 |
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51 | 50 | 3ad2ant3 985 |
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52 | 51, 34 | eqtr4d 2148 |
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59 | 58 | oveq2d 5742 |
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60 | 53, 56, 59 | 3eqtr4d 2155 |
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65 | 49, 61, 64 | mpjaodan 770 |
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66 | simpl3 967 |
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68 | simpl2l 1015 |
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69 | simpl3l 1017 |
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70 | xaddcl 9530 |
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72 | simpl2 966 |
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73 | xaddnemnf 9527 |
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76 | 71, 74, 75 | syl2anc 406 |
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77 | 67, 76 | eqtr4d 2148 |
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78 | simpr 109 |
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79 | 78 | oveq1d 5741 |
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82 | 79, 81 | eqtrd 2145 |
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83 | 82 | oveq1d 5741 |
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84 | 78 | oveq1d 5741 |
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85 | 77, 83, 84 | 3eqtr4d 2155 |
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88 | 86, 87 | sylib 121 |
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89 | 65, 85, 88 | mpjaodan 770 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1404 ax-7 1405 ax-gen 1406 ax-ie1 1450 ax-ie2 1451 ax-8 1463 ax-10 1464 ax-11 1465 ax-i12 1466 ax-bndl 1467 ax-4 1468 ax-13 1472 ax-14 1473 ax-17 1487 ax-i9 1491 ax-ial 1495 ax-i5r 1496 ax-ext 2095 ax-sep 4004 ax-pow 4056 ax-pr 4089 ax-un 4313 ax-setind 4410 ax-cnex 7630 ax-resscn 7631 ax-1re 7633 ax-addrcl 7636 ax-addass 7641 ax-rnegex 7648 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 944 df-3an 945 df-tru 1315 df-fal 1318 df-nf 1418 df-sb 1717 df-eu 1976 df-mo 1977 df-clab 2100 df-cleq 2106 df-clel 2109 df-nfc 2242 df-ne 2281 df-nel 2376 df-ral 2393 df-rex 2394 df-rab 2397 df-v 2657 df-sbc 2877 df-csb 2970 df-dif 3037 df-un 3039 df-in 3041 df-ss 3048 df-if 3439 df-pw 3476 df-sn 3497 df-pr 3498 df-op 3500 df-uni 3701 df-iun 3779 df-br 3894 df-opab 3948 df-mpt 3949 df-id 4173 df-xp 4503 df-rel 4504 df-cnv 4505 df-co 4506 df-dm 4507 df-rn 4508 df-res 4509 df-ima 4510 df-iota 5044 df-fun 5081 df-fn 5082 df-f 5083 df-fv 5087 df-ov 5729 df-oprab 5730 df-mpo 5731 df-1st 5990 df-2nd 5991 df-pnf 7720 df-mnf 7721 df-xr 7722 df-xadd 9447 |
This theorem is referenced by: xaddass2 9540 xpncan 9541 xadd4d 9555 |
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