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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xaddf | Unicode version |
Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
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xaddf |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 0xr 7836 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | a1i 9 |
. . . . . 6
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3 | pnfxr 7842 |
. . . . . . 7
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4 | 3 | a1i 9 |
. . . . . 6
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5 | xrmnfdc 9656 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | adantl 275 |
. . . . . 6
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7 | 2, 4, 6 | ifcldcd 3512 |
. . . . 5
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8 | 7 | adantr 274 |
. . . 4
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9 | 1 | a1i 9 |
. . . . . 6
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10 | mnfxr 7846 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | a1i 9 |
. . . . . 6
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12 | xrpnfdc 9655 |
. . . . . . 7
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13 | 12 | ad3antlr 485 |
. . . . . 6
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14 | 9, 11, 13 | ifcldcd 3512 |
. . . . 5
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15 | 3 | a1i 9 |
. . . . . 6
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16 | 10 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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17 | simp-4r 532 |
. . . . . . . . . 10
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18 | simp-5l 533 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | simpllr 524 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | 19 | neqned 2316 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | xrnemnf 9594 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 21 | biimpi 119 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 18, 20, 22 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 17, 23 | ecased 1328 |
. . . . . . . . 9
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25 | simplr 520 |
. . . . . . . . . 10
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26 | simp-5r 534 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | neqne 2317 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 27 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | xrnemnf 9594 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 29 | biimpi 119 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 26, 28, 30 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 25, 31 | ecased 1328 |
. . . . . . . . 9
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33 | 24, 32 | readdcld 7819 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | rexrd 7839 |
. . . . . . 7
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35 | 6 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . 7
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36 | 16, 34, 35 | ifcldadc 3506 |
. . . . . 6
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37 | 12 | ad3antlr 485 |
. . . . . 6
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38 | 15, 36, 37 | ifcldadc 3506 |
. . . . 5
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39 | xrmnfdc 9656 |
. . . . . 6
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40 | 39 | ad2antrr 480 |
. . . . 5
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41 | 14, 38, 40 | ifcldadc 3506 |
. . . 4
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42 | xrpnfdc 9655 |
. . . . 5
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43 | 42 | adantr 274 |
. . . 4
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44 | 8, 41, 43 | ifcldadc 3506 |
. . 3
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45 | 44 | rgen2a 2489 |
. 2
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46 | df-xadd 9590 |
. . 3
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47 | 46 | fmpo 6107 |
. 2
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48 | 45, 47 | mpbi 144 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-sep 4054 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1re 7738 ax-addrcl 7741 ax-rnegex 7753 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-id 4223 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-fv 5139 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-xadd 9590 |
This theorem is referenced by: xaddcl 9673 |
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